НГТУтв2
.pdf
Размещения
Определение. Упорядоченное множество, состоящее из l неповторяющихся элементов, выбранных из данного множества из k элементов, назовём размещением.
Число таких размещений обозначим Akl .
Пусть произвольное размещение длины l имеет вид:
(x1, x2, …, xl).
Элемент x1 можно выбрать k способами. После каждого выбора x1 элемент x2 можно выбрать (k - 1) способами, и т.д. После каждого выбора элементов x1 , x2, …, xl-1 элемент xl можно выбрать (k −(l − 1)) = (k − l + 1) способами.
По правилу произведения, последовательность (x1,x2 , …, xl ) можно выбрать числом способов, равным
k (k − 1)(k − 2) … (k − l + 1) = (k k−!l )! = Akl ,
где k! =1 2 ... k .
Размещения называются также упорядоченной выборкой.
Например, из букв a,b,c можно составить такие размещения по два элемента:
ab, ac, ba, bc, ca, cb.
Их число A32 = 3 2 = 6.
Перестановки
Если в размещениях из k элементов по l элементов положить l=k, то такие размещения называются перестановками.
Перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов в них, число перестановок из k элементов обозначается Pk :
Pk = k!
Например, из букв a,b,c возможны 3!=6 перестановок:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Назовём множество, содержащее k элементов, k-множеством
Сочетания
Неупорядоченная выборка из k элементов по l без повторений называется сочетанием.
Число сочетаний из k элементов по l обозначим Ckl .
Если каждое сочетание упорядочить всеми возможными способами, то получим все множества из l элементов, выбранных из k элементов без повторений,
то есть все размещения длины l:
Cl |
l! = Al |
Cl |
= |
Akl |
= |
k! |
|
|
|||||
k |
k |
k |
|
l! |
|
l!(k −l)! |
|
|
|
|
|
Например, из трех букв a,b,c можно составить такие сочетания по два элемента: ab, ac, bc.
Число сочетаний C32 = 2!1!3! = 3.
Основные свойства сочетаний
1.Ck0
2.Ck1
3.Ckl
4.Ckl
=0!kk!! =1;
=k! =
1!(k −1)!
= |
k! |
|
= |
|
l!(k −l)! |
||||
|
|
|||
= Ckl−−11 +Ckl −1
k ;
k! |
|
= Ckk−l ; |
|
(k −l)!l! |
|||
|
|||
(k −1)! |
+ |
(k −1)! |
= |
|
|
(l −1)!(k −l)! |
|
l!(k −l −1)! |
|
|
|
= l(k −1)!+(k −1)!(k −l) |
= |
k! |
|||
|
l!(k −l)! |
|
|
l!(k −l)! |
|
Пример задачи
В урне находятся 5 шаров: 3 белых и 2 черных. Вынимаются наудачу 2 шара. Какова вероятность, что они окажутся белыми – событие А.
Решение. Эксперимент состоит в вынимании из урны 2-х шаров из 5 без возвращения. Не важно, в каком порядке шары вынимаются из урны. Поэтому число равновозможных элементарных исходов определяется числом сочетаний
n =C52 = 2!3!5! = 15 24 =10.
Число элементарных исходов, благоприятствующих событию А: m = C32C20 = 13 22 1 = 3.
Следовательно, P(A) = mn =103 .
Недостаток классического определения вероятности состоит в том, что число элементарных исходов опыта должно быть конечным. В случае бесконечного (континуального) числа исходов прибегают к геометрическому определению вероятности.
Принцип геометрической вероятности
Предположим:
1. Множество Ω есть непрерывное ограниченное множество с бесконечным числом элементов, например, отрезок, многоугольник, шар и т.д. (вид множества определяется условиями задачи);
2. Опыт состоит в |
бросании |
идеальной точки |
(не имеет ни размера, |
ни веса) |
в множество Ω; |
3.Вероятность попадания ее в какую-нибудь
область А Ω пропорциональна мере этой области
μ(А).
Тогда вероятность наступления события А
Р(А) = μ(А)/ μ(Ω)
Принцип геометрической вероятности позволяет утверждать, что выбор любой точки из Ω –
равновозможен.
Пример. Два студента условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами. Пришедший первым ждет 15 мин и уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого независимо и равновозможно в течение указанного часа.
Решение. Пусть х - время прихода одного студента, у - время прихода второго. Чтобы встреча состоялась, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось:
-15 ≤ x - y ≤ 15. Область возможных значений - квадрат со стороной, равной 60.
Область А - часть квадрата между прямыми х – у = -15 и х - у = 15. Следовательно,
P( A) = μ( A) = 602 −452 = 7 μ(Ω) 602 16