itmo352
.pdfПо сути дела, точка |
Aω′ |
определяет положение идеального |
|||||||||||||||||||||||||||||
изображения точки Aω . |
Однако, |
при |
смещении |
точки A0ω в |
|||||||||||||||||||||||||||
положение точки |
Aω |
параксиальное изображение ее смещается из |
|||||||||||||||||||||||||||||
точки |
|
′ |
|
|
|
в |
|
точку |
|
|
′ |
положение которой определим отрезком |
|||||||||||||||||||
A0ω |
|
|
Aω0 , |
||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aω0C = −qω0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aω в точке |
Aω′ определим |
||||||
Расфокусировку изображения точки |
|||||||||||||||||||||||||||||||
проекцией |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
отрезка |
′ |
|
′ |
на |
оптическую ось. |
При этом в |
||||||||||||||||
|
|
|
ω0 |
|
|
AωAω0 |
|||||||||||||||||||||||||
соответствии с рисунком |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
′ω = q0′ − qω′0 cos ω. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.41) |
||||||||||||||||||
Из формулы Аббе следует, что |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
q0 |
= r |
|
|
|
|
|
n′q0′ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.42) |
||||||||
|
nr +(n′− n)q0′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
q0′ |
= r |
|
|
|
|
|
|
nq0 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.43) |
||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n r |
−(n − n)q0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Но q |
|
|
= |
|
q0 |
|
|
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ω0 |
|
|
cos |
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
nq0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
qω′0 |
= r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n r cos ω−(n |
|
− n)q0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
nq0 cos ω |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
′ω0 |
= q0′ − r |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n r cos ω−(n − n)q0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Заменив в этом выражении отрезок q0 соотношением (4.42) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
преобразовав его, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
− n |
1 |
−tg2 ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
′ω0 |
= − |
|
|
|
|
|
|
y0′ |
. |
|
|
(4.44) |
|||||||||||||||||||
2nr |
|
1− |
n′− n |
y0′tg ω |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nr |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При малой величине угла ω можно принять |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
′ω0 |
≈ − |
n′− n |
y0′2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.45) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2nr |
′ω0 |
определяет кривизну поверхности изображения, |
|||||||||||||||||||||||
Величина |
|
|
которую называют первичной (или пецвалевой) кривизной, равной Z′p , причем Z′p = ′ω0 .
Пусть рассматриваемая поверхность – одна из k поверхностей, образующих оптическую систему. Кривизна поверхности изображения Z′pν , образованного ν-ой сферической поверхностью,
81
соответствует кривизне поверхности изображения Z′p0ν , образованного всей системой поверхностей, равной
Z′p0ν = Z′pν n′′ ∏k Vs2 ,
nν s=ν+1
где Vs – поперечное увеличение изображения, образованного s -ой поверхностью. Положив в соответствии с формулой (4.45) величину
Z′pν = − |
nν′ − nν |
y0′2ν , получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2nνrν |
|
n′ y0′2ν ∏Vs2 |
= − n′ nν′ −nν y0′2 . |
|||||
Z′p0ν = − nν′ −nν |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2nνrν |
nν′ |
s=ν+1 |
2nν′nνrν |
При этом кривизна поверхности изображения, образованного оптической системой в целом, равна
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
k |
′ |
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
Z′p = ∑Z′p0ν |
= − n |
|
y0′2 ∑ |
nν −nν |
= − |
1 n′y0′2 |
∑ |
|
1 |
− |
|
= |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n′ |
|||||||||||||||||||||
|
ν=1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ν=1 |
n′n r |
|
|
|
2 |
ν=1 |
r n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν ν ν |
|
|
|
|
|
ν |
ν |
|
ν |
|
||||
= 1 n′y0′2 |
k |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
ν= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
1 |
ν |
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= − |
′ |
′2 |
SIV |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.46) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Z p |
2 |
n y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где SIV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– коэффициент пецвалевой кривизны (или четвертая сумма |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зейделя), равный |
SIV |
= −∑ |
1 |
|
. |
Здесь |
|
– символ |
|
Аббе для |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν=1 r |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν |
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разности двух одинакового вида выражений, различающихся только тем, что первое (со штрихом) относится к пространству изображений (к преломленному лучу), а второе – к пространству предметов. Так, например, применяя символ Аббе, закон преломления можно записать в виде: nsin ε = 0 , где nsin ε = n′sin ε′− nsin ε.
Для оптической системы, состоящей из двух преломляющих поверхностей, т.е. для простой линзы, имеем
|
|
1 |
|
1 1 |
|
|
1 |
|
1 1 |
|
1 |
|
1 |
|
n1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
SIV = − r |
|
|
|
− n |
− r |
|
− n |
= n |
|
− n r |
− n |
|
− r |
|||||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
r |
|
r |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
1 |
|
1 |
3 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
||||||||||
При n1 = n3 =1, n2 |
= n (для линзы в воздухе) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
n −1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
SIV = |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
− r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
Следовательно, кривизна поверхности изображения, образованного отдельной тонкой линзой в воздухе, в соответствии с выражениями (4.27) и (4.46) равна
Z′p = −12 y0′2SIV при SIV = ϕn .
Кривизна поверхности изображения, образованного оптической системой, состоящей из q тонких линз, определяется коэффициентом
q |
ϕ |
ν . |
(4.47) |
SIV = ∑ |
n |
||
ν=1 |
|
|
|
|
ν |
|
Заметим, что чем больше величина показателя преломления материала линзы, тем меньше кривизна образованного ею изображения.
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
Aω |
|
|
|
|
|
|
As′ |
Aω0 |
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
A |
|
|
|
n |
|
|
Am |
n′ |
|
y0′ |
|
|
−ε |
N |
σ′ω |
|
|||
|
A0 |
−ε′ |
C −ω |
|
|
A0′ |
||
|
P |
O |
|
|
||||
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
− y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−σω |
r |
|
|
|
|
|
|
|
− s0 |
|
s0′ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
Рис. 4.6. Схема хода лучей через сферическую поверхность |
|
|||||||
Будем считать, |
что |
точка предмета A0 и |
ее |
параксиальное |
||||
изображение |
′ |
образованное |
сферической |
преломляющей |
||||
A0 , |
поверхностью, определяют положение оптической оси, как показано на рис. 4.6. На следе предметной плоскости, перпендикулярной к оптической оси, на произвольном расстоянии − y0 от точки A0
выберем предметную точку A . Из точки A через точку C проведем прямую линию до пересечения в точке Aω′ со следом плоскости
изображения, |
параллельной предметной плоскости |
и проходящей |
|
через точку |
′ |
′ |
|
A0 . |
Назовем луч AAω , проходящий под углом −ω к |
||
оптической |
оси |
через центр C сферической |
поверхности, |
83
центральным главным лучом (ЦГЛ). Точка Aω′0 представляет собой
точку пересечения ЦГЛ с пецвалевой поверхностью изображения. Определим центр входного зрачка преломляющей поверхности
точкой P на оси A0 A0′. При этом главный луч из точки A под углом −σω к ЦГЛ проходит через точку P в точку N сферической
преломляющей поверхности, после преломления в которой направляется в точку A′ плоскости изображения, пересекает ЦГЛ в точке As′, образуя с ним угол σ′ω в пространстве изображений.
Отрезок Aω′0 As′ определяет продольную сферическую аберрацию в изображении точки Aω′0 на линии ЦГЛ.
Качнув главный луч ANA′ вокруг ЦГЛ ACAω′ на бесконечно
малый угол в противоположные стороны, образуем узкий пучок лучей в саггитальной плоскости (в плоскости, содержащей главный луч и нормальной к плоскости рисунка), исходящий из точки A и собирающийся после преломления на сферической поверхности в точке пересечения главного луча с ЦГЛ, т.е. в точке As′. При этом
сагиттальная |
составляющая |
кривизны |
поверхности |
изображения |
||||||||||||||
равна проекции отрезка |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||||||
A As главного луча на оптическую ось |
A0 A0 : |
|||||||||||||||||
|
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
′ |
′ |
|
′ |
|
|
(4.48) |
||
|
Zs |
= −A As |
cos(−ω−σω )= −A As cos(ω+ σω ). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
δgk′ |
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am1 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Рис. 4.7. Структура внеосевого пучка лучей |
|
|
|
|
||||||||||
|
Из внеосевой точки |
A предмета через крайние точки входного |
||||||||||||||||
зрачка B1 и B2 проведем лучи, падающие на сферическую |
||||||||||||||||||
поверхность |
в |
точках |
N1 |
и |
N2 , как |
показано на рис. 4.7. |
После |
|||||||||||
преломления в этих точках лучи пересекают главный луч в точках |
′ |
|||||||||||||||||
Am1 |
||||||||||||||||||
и |
′ |
соответственно |
и |
пересекаются |
в некоторой |
точке |
~′ |
на |
||||||||||
Am2 |
Am |
|||||||||||||||||
расстоянии |
|
′ |
от главного |
луча. |
Это |
расстояние |
определяет |
|||||||||||
δgk |
||||||||||||||||||
меридиональную кому в изображении точки A . Вполне очевидно, что |
||||||||||||||||||
если точки |
B1 |
и |
B2 устремить к точке |
P , |
то величина |
′ |
будет |
|||||||||||
δgk |
стремиться к нулю, а точки пересечения лучей с главным лучом, т.е.
84
точки |
′ |
и |
′ |
, и точка |
~′ |
сливаются в одну точку |
′ |
Am1 |
Am2 |
Am |
Am , |
расположенную на главном луче, как показано на рис. 4.6. При этом проекция отрезка A′Am′ на оптическую ось A0 A0′ равна
меридиональной составляющей кривизны поверхности изображения:
′ |
|
|
|
′ ′ |
′ |
|
′ |
(4.49) |
||||||
Zm |
= −A Am cos(ω + σω ). |
|||||||||||||
Величину относительной дисторсии определим отношением |
||||||||||||||
вида: |
|
y′− y0′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
δ = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y0 |
|
′ ′ ′ |
на рис. 4.6 находим, что |
|||||||||
Из треугольника |
||||||||||||||
A AωAs |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ ′ |
|
|
|
|
′ ′ |
||
y0′ − y′ = |
|
|
A As |
|
sin σ′ω = − |
sin σωZs |
||||||||
|
|
. |
||||||||||||
sin(90°+ ω) |
cos ωcos(ω+ σ′ω ) |
|||||||||||||
При этом y0′ = q0′tgω. Тогда |
||||||||||||||
δ = |
Zs′ |
sin σ′ω |
|
|
. |
(4.50) |
||||||||
q0′ |
|
sin ωcos(ω+ σ′ω ) |
Итак, в результате изложенного установлена весьма сложная нелинейная зависимость аберраций изображения, образованного сферической преломляющей поверхностью, от положения предмета относительно поверхности, от ее кривизны и показателей преломления разделяемых поверхностью сред, при этом различные виды аберраций взаимосвязаны между собой и эта зависимость также сложна. За исключением редких частных случаев выразить аналитически эту зависимость практически невозможно, а, следовательно, и невозможно теоретически решить задачу коррекции аберраций изображения, образованного оптической системой преломляющих поверхностей. Этим определяется тот факт, что успех решения задачи разработки конструкции и расчета оптической системы достигается благодаря профессиональным знаниям, опыту специалиста, а иногда и счастливому случаю, поскольку сам процесс создания оптической системы носит творческий характер, при этом нередко трудно провести границу между инженерным решением задачи и искусством. Важно отметить, что подбор показателя преломления материала линз разрабатываемой системы нередко является решающим фактором в достижении успеха. А для этого надо располагать достаточным набором применяемых материалов, отличающихся друг от друга значениями оптических параметров в пределах допустимо широкого диапазона при малом различии оптических параметров для конкретной пары материалов.
85
4.2.2. Дисперсия света. Хроматические аберрации
Зависимость показателя преломления n вещества от длины волны света или зависимость фазовой скорости световых волн от их частоты называется дисперсией света [48].
Положение изображения внеосевой точки предмета, лежащей в меридиональной плоскости (в плоскости, содержащей оптическую ось), в параксиальной области определяется двумя координатами: абсциссой (задним отрезком) s0′ и ординатой (линейной величиной
изображения предмета) l0′. Поэтому изображение точки обладает двумя хроматическими аберрациями:
−хроматической аберрацией положения, определяемой различной величиной абсциссы s0′ для различных длин волн излучения точки;
−хроматической аберрацией увеличения, определяемой различной величиной ординаты l0′ для различных длин волн излучения точки.
Для оценки количественной величины хроматических аберраций расчет хода лучей выполняют для двух длин волн λ1 и λ3 ,
определяющих границы спектрального диапазона используемого излучения, при этом основной расчет оптической системы выполняют для излучения принятой длины волны λ2 («средней» длины волны),
удовлетворяющей условию |
λ1 < λ2 < λ3 . Так, |
например, |
в видимой |
||||||||
области спектра от |
λ1 = 479,99 нм (линия F′ |
излучения кадмия) до |
|||||||||
λ3 = 643,85 нм |
(линия C′ |
излучения |
кадмия) |
значение |
показателя |
||||||
преломления при λ2 |
= 546,07 нм (линия e излучения ртути) |
принято |
|||||||||
считать |
средним. |
Разность показателей |
преломления |
среды |
|||||||
n(λ1 )− n(λ3 ) |
называется |
средней |
дисперсией, а |
отношение |
|||||||
|
n(λ2 )−1 |
|
|
называется коэффициентом дисперсии или числом Аббе. |
|||||||
|
n(λ )− n(λ |
3 |
) |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для видимой области спектра средняя дисперсия равна разности nF′ −nC′ , а коэффициент дисперсии определяется отношением:
νe = ne−−1 . nF′ nC′
Хроматическая аберрация положения определяется расстоянием δs′хр между двумя изображениями одной и той же осевой точки
предмета, образованными излучением двух длин волн λ1 и λ3 .
Рассмотрим величину хроматической аберрации положения в изображении, образованном отдельной тонкой линзой в воздухе. Дифференцируя формулу отрезков (4.28), получаем
86
|
a′2 |
2 |
|
|
da′ = |
|
da − a′ |
dϕ. |
(4.51) |
a2 |
Оптическая сила бесконечно тонкой линзы определяется формулой (4.27). Вполне очевидно, что при изменении показателя преломления материала линзы изменяется и ее оптическая сила. Дифференцируя формулу (4.27), получаем
|
df |
′ |
|
1 |
|
1 |
|
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dϕ = − |
|
|
= dn |
|
− |
|
|
= |
|
|
ϕ. |
(4.52) |
f ′ |
2 |
|
|
n −1 |
||||||||
|
|
r1 |
|
r2 |
|
|
|
Средняя дисперсия применяемых материалов линз, как правило, невелика. Так, например, для подавляющего большинства оптических материалов в спектральном диапазоне видимого излучения отношение средней дисперсии к показателю преломления для излучения основной, расчетной, длины волны не превышает 1 %, для тяжелых флинтовых стекол – не превышает 2 % и лишь для сверхтяжелых флинтов составляет около 3 %. Это позволяет среднюю дисперсию оптических материалов считать величиной малой. При этом при n = n(λ2 ) и при dn = n(λ1 )− n(λ3 ) имеем
dϕ= |
ϕ |
, |
(4.53) |
|
ν |
|
|
где для излучения видимого диапазона спектра коэффициент
дисперсии νe = |
ne −1 |
. Будем считать, что положение предмета |
|
||
|
nF′ −nC′ |
остается неизменным во всем рассматриваемом спектральном диапазоне излучения, т.е. будем считать, что da = 0 . Если при этом величину dϕ в выражении (4.51) определим соотношением (4.53), то
приращение отрезка a′ (отрезок da′) будет определять хроматическую аберрацию положения. Тогда, заменив в выражении (4.51) дифференциалы конечными разностями, получаем
δs′ |
= s′ |
′ − s′ |
′ = −a′2 |
ϕ |
. |
(4.54) |
|
||||||
хр |
F |
C |
|
νe |
|
|
|
|
|
|
|
Оптическая сила оптической системы из двух тонких линз, расстояние между которыми d ≈ 0, равна ϕ = ϕ1 + ϕ2 . При этом
dϕ = dϕ1 + dϕ2 . Учитывая формулу (4.53), это выражение можно
представить в виде: dϕ = ϕ1 + ϕ2 . В этом случае
νe1 νe2
′ |
|
′2 |
|
ϕ1 |
|
ϕ2 |
|
|
δsхр |
= −a |
|
|
|
+ |
|
. |
(4.55) |
|
νe1 |
νe2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
87
Из выражения (4.55) следует, что δs′хр = 0 при a′ = 0, т.е. в том
случае, когда осевая точка предмета (а, соответственно, и осевая точка изображения) совпадает с осевой точкой тонкой системы.
Пусть |
|
ϕ1 |
+ |
ϕ2 |
|
= 0 . |
(4.56) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
νe1 |
νe2 |
|
|
||||||
Тогда δs′хр = 0 |
|
независимо от величины a′. При этом, учитывая, |
||||||||||
что ϕ = ϕ1 + ϕ2 , получаем |
|
|||||||||||
ϕ = |
|
|
ν |
e1 |
|
ϕ, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
νe1 −νe2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(4.57) |
||||||||
|
|
|
|
νe2 |
|
|
|
|
|
|
||
ϕ2 = − |
|
|
|
|
|
ϕ. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
νe1 −νe2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким |
|
образом, |
чем больше абсолютная величина |
разности |
νe1 −νe2 , тем меньше абсолютная величина оптических сил ϕ1 и ϕ2 .
Итак, пусть хроматическая аберрация положения в изображении, образованном рассматриваемой тонкой системой, исправлена для излучения спектральных линий F′ и C′. При этом кривая зависимости a′ от длины волны λ имеет вид, показанный на рис. 4.8. Такую коррекцию хроматической аберрации положения принято называть ахроматической.
λ
λC′
λe
λF′
a′ |
δs′ ′ |
, e |
= δs′ |
′ |
a′ |
e |
F |
e, C |
|
|
a′F′ = aC′′
Рис. 4.8. Ахроматическая коррекция хроматической аберрации положения
88
При δs′F′, C′ = 0 величину δs′F′, e = δse′, C′ называют вторичным спектром изображения. Определим величину вторичного спектра в случае тонкой оптической системы из двух тонких линз. Для этого применим формулу (4.55) в виде:
δsF′′, e |
= −a′2 |
|
ϕ1 |
+ |
ϕ2 |
|
, |
(4.58) |
|
|
|
||||||||
* |
* |
||||||||
|
|
|
νe1 |
|
νe2 |
|
|
|
где ν*e = |
ne −1 |
. |
|
||
|
nF′ −ne |
|
При |
δs′хр = 0 оптические силы линз определяются формулами |
(4.57). Выполнив соответствующую этим формулам замену величин ϕ1 и ϕ2 в выражении (4.58), получаем
|
δsF′′, e |
= −a′2ϕ |
PF′, e1 |
− PF′, e2 |
, |
|
|
(4.59) |
|||||||
|
|
νe1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−νe2 |
|
|
nx − ny |
|
|||
|
P ′ |
|
|
n |
F |
′ − n |
|
|
|
P |
|
|
|||
где |
, e |
= |
|
|
e |
. |
В общем случае отношение |
= |
|
при |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
F |
|
nF′ − nC′ |
|
|
|
x, y |
|
nF′ − nC′ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(λx −λy ) (λC′ −λF′ |
) называется относительной частной дисперсией. |
Еще Э. Аббе заметил, что параметры обычных оптических стекол на координатном поле νe , PF′, e располагаются вблизи к некоторой
прямой, называемой «нормальной». В отечественном каталоге бесцветных оптических стекол в качестве нормальной принята прямая, определяемая параметрами PF′, e и νe стекол марок К18,
(изъято из номенклатуры), и Ф13, представленными в табл. 4.1.
|
|
Таблица 4.1. Параметры стекол К18 и Ф13 |
||
|
|
|
|
PF′, e |
Марка стекла |
ne |
|
νe |
|
К18 |
1,521230 |
|
60,15 |
0,5086 |
Ф13 |
1,624083 |
|
36,09 |
0,5223 |
При этом тангенс угла наклона нормальной прямой, показанной на рис. 4.9, равен
tgγ = |
PF′, e2 |
− PF′, e1 |
= |
0,5223 |
−0,5086 |
≈ −0,00057. |
|
νe2 |
−νe1 |
36,09 −60,15 |
|||||
|
|
|
В этом случае вторичный спектр в изображении точки равен
δs′F′, e ~= 17601 a′2ϕ.
89
PF′,e
0,53
Φ13
0,52
OΦ4
0,51 |
|
|
|
OK1 |
OK 4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
K18 |
|
CaF2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,50 |
|
|
|
|
|
νe |
|
|
|
|
|
||
20 |
50 |
|
100 |
Рис. 4.9. «Нормальная» прямая для оптических стекол в видимой области спектра
Из выражения (4.59), определяющего величину вторичного спектра изображения, образованного двухлинзовой тонкой системой, следует, что δs′F′, e = 0 при PF′, e1 = PF′, e2 , т.е. в том случае, если параметры νe и PF′, e одного из стекол не лежат на «нормальной»
прямой. Таким свойством обладают специально разработанные стекла, которые называют стеклами с особым ходом дисперсии. Выдающимся достижением в области разработок новых стекол является особый крон ОК4, производство которого освоено Лыткаринским заводом оптического стекла. Обычное стекло К8 образует с ним идеальную апохроматическую пару, причем стекло К8 принимается в качестве материала линзы с отрицательной оптической
силой. При этом остаточный вторичный спектр δs′xp = −4 10−6 a′2ϕ.
Кроме особых оптических стекол с особым ходом дисперсии задачу апохроматизации изображения решают путем применения в качестве материала одной из линз кристаллического фтористого кальция CaF2 , называемого флюоритом. Параметры флюорита
νe = 94,97 и PF′,e = 0,5087 на рис. 4.9 определяют точку, весьма
далеко расположенную от «нормальной» прямой.
Для стекла БК13 имеем: ne =1,56167 , νe = 60,90 и PF′,e = 0,5086 . Из сопоставления величин PF′, e стекла БК13 и флюорита следует, что
применив их в качестве материала линз, получим тонкую двухлинзовую систему, формирующую изображение без вторичного
90