ДУ РФ

Ре ш е н и е. Матрица системы равна

имеет корни λ1 = 2, λ2 = λ3 = 1. Ищем решения, соответствующие этим корням.

λ1 = 2

Система для нахождения собственного вектора имеет вид

Для нахождения вектора γ1 вычислим алгебраические дополнения элементов первой строки определителя этой системы

−6 2 5

6 −3 −6 .

−8 3 7

61

Легко видеть, что в этом случае n = 3, m = 2, r = 2 и n − m = r. В отличие от предыдущего примера решение, соответствующее λ2 = λ3 = 1, ищем методом неопределенных коэффициентов.

x = (A + Bt) et, y = (C + Dt) et, z = (E + F t) et.

Подставляя предполагаемые решения в систему дифференциальных уравнений и сокращая на et, имеем

A + B + Bt = −4A − 4Bt + 2C + 2Dt + 5E + 5F t,

C + D + Dt = 6A + 6Bt − C − Dt − 6E − 6F t,

E + F + F t = −8A − 8Bt + 3C + 3Dt + 9E + 9F t.

Приравнивая коэффициенты при t и свободные члены, получим систему алгебраических уравнений

x = (C2 + C3 + C3t) et, y = 3C3 et, z = (C2 + C3t) et.

Теперь нетрудно составить общее решение исходной системы дифференциальных

уравнений

x = C1 e2t + (C2 + C3 + C3t) et,

y = −2C1 e2t + 3C3 et,

z = 2C1 e2t + (C2 + C3t) et.

Задачи для практических занятий

62

Домашнее задание

Ответы:

C1 e2t + C3 e3t. 13.4. x = (C1 + C2t) et + C3 e2t, y = (C1 −2C2 + C2t) et, z = (C1 −C2 + C2t) et + C3 e2t. 13.5. x = C1 + 3C2 e2t, y = −2C2 e2t + C3 e−t, z = C1 + C2 e2t −2C3 e−t.

13.6. x = C1 e2t + e3t(C2 cos t + C3 sin t), y = e3t((C2 + C3) cos t + (−C2 + C3) sin t), z = C1 e2t + e3t((2C2 − C3) cos t + (C2 + 2C3) sin t). 13.7. x = C1 e3t + (C2 − 2C3) e−t, y = −C1 e3t + C2 e−t, z = −3C1 e3t + C3 e−t. 13.8. x = (C2 + C3t) e−t, y = 2C1 et −

(2C2 + C3 + 2C3t) e−t, z = C1 et − (C2 + C3 + C3t) e−t.

Занятие 14. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Не вдаваясь в подробности исследований сходимости рядов и существования решения, покажем этот метод на примерах.

П р и м е р ы

1) Для уравнения

(1 − x2)y − xy − y = 0

найти линейно-независимые решения (фундаментальную систему) y1(x) и y2(x) в виде степенных рядов по степеням x и построить общее решение.

63

Р е ш е н и е. Ищем решение уравнения в виде ряда

Для удобства ”подравняем“ показатели степеней у переменной x. С этой целью заменим индекс суммирования в первой сумме, полагая k − 2 = m, а в остальных суммах положим k = m.

Выписывая коэффициенты при одинаковых степенях и приравнивая их к нулю, получаем

Из последнего равенства выводим рекуррентное соотношение

1. Для нахождения решения y1(x) положим c0 = 1, c1 = 0. Тогда

c3 = c5 = · · · = c2m+1 = · · · = 0

в силу рекуррентного соотношения. Далее имеем (снова используя рекуррентное соотношение)

64

y= C1y1(x) + C2y2(x).

2)С помощью степенных рядов найти фундаментальную систему решений уравнения

x2y − x2y + (x − 2)y = 0.

Р е ш е н и е. Данное уравнение имеет особенность в точке x = 0. Поэтому его решение будем искать в виде обобщенного степенного ряда

∞

y = xσ ckxk ,

k=0

где показатель σ подлежит определению. Имеем

65

Заменим в первой сумме k на m, а во второй положим k + 1 = m:

Откуда следует

(σ(σ − 1) − 2)c0 = 0,

[(m + σ)(m + σ − 1) − 2]cm = (m + σ − 2)cm−1.

Полагая в первом равенстве c0 = 1, находим показатели σ = 2 и σ = −1. Второе

Если m = 3, то оно превращается в рекуррентное соотношение

При m = 3 выполняется тождество m(m −3)cm = (m −3)cm−1. Поэтому в качестве коэффициента c3 можно взять любое значение. Полагая c3 = 0, из рекуррентного соотношения получаем, что cm = 0 для всех m ≥ 3. В этом случае

Подстановкой в уравнение убеждаемся, что это будет второе фундаментальное решение.

Общее решение исходного уравнения имеет вид y = C1y1(x) + C2y2(x).

66

Задачи для практических занятий

Найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рядов.

14.1.(1 − x2)y − 4xy − 2y = 0.

14.2.(1 − x)y − 2y + y = 0.

14.3.y + y sin x = 0.

Найти линейно независимые решения следующих уравнений в виде обобщенных степенных рядов.

14.4.xy + 2y + xy = 0.

14.5.2x2y + (3x − 2x2)y − (x + 1)y = 0.

Домашнее задание

Найти линейно независимые решения каждого из данных уравнений в виде степенных рядов.

14.6.y − xy − 2y = 0.

14.7.(x2 + 1)y + 5xy + 3y = 0.

14.8.xy + y ln(1 − x) = 0.

Найти линейно независимые решения в виде обобщенных степенных рядов.

14.9. 9x2y − (x2 − 2)y = 0.

Ответы:

67