Теория к экзамену ГА (2 семестр, ПИ)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

- собственное число для вектора h. Обозначим через W линейную оболочку

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

750.46 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

предположению индукции все коэффициенты в этом равенстве равны 0, и, значит ij 0 при i<s. Но тогда система es1 , ,esks - линейно зависима, что противоречит условиям теоремы. К полученному

противоречию привело допущение о линейной зависимости системы векторов e11 , ,esks , значит, эта система линейно независима, что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о количестве линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу .

Геометрической кратностью собственного числа называется дефект преобразования , а алгебраической кратностью называется кратность корня в характеристическом многочлене.

Теорема 7.25. Геометрическая кратность не превосходит его алгебраической кратности.

Доказательство. Пусть геометрическая кратность равна k. Дополним базис e1 , ,ek ядра преобразования до базиса всего пространства e1 , ,en . Матрица линейного преобразования в

				E	k	A
этом базисе имеет вид					k		и характеристический многочлен равен
этом базисе имеет вид		e		0			и характеристический многочлен равен
det				0		B
det	E k		det B E . Таким образом, алгебраическая кратность не меньше
e

геометрической кратности, что и требовалось доказать.

Теорема 7.26 Линейное преобразование линейного пространства V над числовым полем P диагонализируемо тогда и только тогда, когда характеристический многочлен раскладывается над полем P на линейные множители и алгебраическая кратность каждого корня совпадает с его геометрической кратностью.

Доказательство очевидно.

7.8Теорема Шура

Пусть - линейное преобразование пространства V над полем комплексных чисел C. Линейное преобразование имеет хотя бы один собственный вектор (Следствие 7.16). Этот факт можно усилить.

Теорема 7.27. Пусть - линейное преобразование пространства V над полем комплексных чисел C.

Существует базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид.

Доказательство проведем индукцией по размерности V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований (n-1)-мерных пространств. Покажем его справедливость для линейного преобразования n-мерного линейного пространства V. Поскольку линейное пространство над полем C, то существует собственный вектор h этого линейного преобразования. Дополним этот вектор до базиса всего пространства

векторами h2 , ,hn . Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид

векторов h2 , ,hn . Векторы h2 , ,hn образуют базис W. Обозначим через линейное преобразование

W, матрица которого в базисе h2 , ,hn равна A. По предположению индукции в подпространстве W

существует базис f2 , , fn , в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид. Пусть T – матрица перехода к этому базису. Тогда T 1 AT - верхняя треугольная матрица. Матрица

	1		0
перехода от базиса h,h2 , ,hn к базису h, f2 , , fn				, и, значит, матрица	в базисе
перехода от базиса h,h2 , ,hn к базису h, f2 , , fn	равна	0	T	, и, значит, матрица	в базисе
		0	T

h, f2 , , fn	1		0 1		a 1		0			aT		, то есть является верхней треугольной.
	равна									1
		0	T	0		0	T	0	T
					A						AT

Аналогом доказанной теоремы над полем вещественных чисел является следующий результат.

Теорема 7.28. Пусть - линейное преобразование пространства V над полем вещественных чисел R.

Существует базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали стоят блоки первого и второго порядка.

Доказательство проведем индукцией по размерности n пространства V. Пусть утверждение верно для линейных преобразований пространств размерности меньшей n. Покажем его справедливость для линейного преобразования n-мерного линейного пространства V. Линейное преобразование имеет либо одномерное, либо двумерное инвариантное подпространство (Следствие 7.17). Дополним базис этого

инвариантного подпространства до базиса всего пространства векторами hk , ,hn , где k равно либо 2,

			a
либо 3. Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет блочный вид				, где	-
	h	0		, где	-
		0	A

блок либо первого, либо второго порядка. Далее, рассуждения повторяют доказательство теоремы 7.6.

Теорема 7.29. (теорема Шура). Для линейного преобразования унитарного пространства V

существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид.

Доказательство. Пусть e1 ,e2 , ,en - базис V, в котором матрица линейного преобразования имеет верхний треугольный вид (Теорема 7.27). Применим к базису процесс ортогонализации и построим

ортогональный базис h1 ,h2 , ,hn . Матрица перехода T от базиса e1 ,e2 , ,en к базису h1 ,h2 , ,hn -


верхняя треугольная и		T 1 T	. Поскольку произведение верхних треугольных матриц является
верхняя треугольная и	h	e
верхней треугольной матрицей, то матрица h - верхняя треугольная. Положим				fi 1	hi	hi , где
				fi 1	hi	hi , где

i=1,…,n. Базис f1 , f2 , , fn - ортонормированный и матрица линейного преобразования в этом базисе – верхняя треугольная, тем самым теорема доказана.

Теорема 7.30. Для линейного преобразования евклидова пространства V существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного преобразования имеет блочный верхний треугольный вид. По главной диагонали расположены блоки первого и второго порядков.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 7.7.

8 Приведение квадратичных форм

8.1Приведение квадратичных форм к главным осям.

Рассмотрим квадратичную форму x Ax. Матрица A является симметричной. Линейное преобразование, заданное матрицей A, является самосопряженным и для этого преобразования существует ортонормированный базис из собственных векторов. Другими словами, найдется ортогональная матрица T

(T 1 T ), что T 1 AT diag 1 , , n , где 1 , , n - собственные числа A. Поскольку T 1				T ,
то квадратичная форма x Ax ортогональной заменой	n	yi2
	y Tx переходит в форму i 1 i		. Приведение

квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием называется приведением к главным осям. Полученный факт оформим в виде теоремы.

Теорема 9.31. Квадратичная форма x Ax при помощи ортогонального преобразования всегда может

быть приведена к канонической форме i 1 i yi2 , де 1 , , n - собственные числа A.

Отметим, что для квадратичной формы выполняется закон инерции. Следовательно, используя теорему Якоби, можно определить число положительных и число отрицательных собственных значений. Собственные значения матриц A и A-tE отличаются на t, поэтому, определяя число положительных и отрицательных собственных значений матрицы A-tE, мы, тем самым, определим количество собственных значений матрицы A меньших t. Выбирая различные t можно найти собственные числа с любой точностью.

8.2Приведение пары квадратичных форм

Рассмотрим задачу выбора базиса в котором пара квадратичных форм имеют диагональный вид. Не все

пары квадратичных форм можно одновременно привести к диагональному виду, например, формы x2 y2 и xy привести нельзя.

8.2.1 Первый способ

Пусть даны квадратичные формы x Ax и x Bx, причем квадратичная форма x Bx - положительно

определена. Тогда введем скалярное произведение x,y x By и найдем ортонормированный базис, а затем приведем первую квадратичную форму к главным осям. Поскольку ортогональное преобразование не меняет скалярное произведение, то обе квадратичные формы будут приведены к каноническому виду.

8.2.2 Пучок матриц

Пусть даны квадратичные формы x Ax и x Bx. Рассмотрим пучок квадратичных форм x A B x .

Если квадратичные формы x Ax и x Bx заменой координат x=Py приводятся к каноническому виду, то

все формы из пучка x A B x приводятся к каноническому виду этой же заменой координат. Пусть

P AP diag 1 , , n и P BP diag 1 , , n , тогда

P A B P diag 1 1 , , n n . Из последнего равенства выводим

det A B c in 1 i i , то есть многочлен det A B раскладывается на линейные множители над полем вещественных чисел. Из равенства

A B P P 1diag 1 1 , , n n выводим, что i-ый столбец матрицы P

удовлетворяет однородной системе уравнений i A i B x 0. Таким образом, получается следующий алгоритм приведения пары квадратичных форм к нормальному виду.

1.Раскладываем многочлен det A B на линейные множители. Если разложения не существует, то искомой замены координат не существует.

ik A , где

2.Для каждого линейного множителя многочлена det A B находим базис подпространства A B x 0. Если размерность подпространства меньше кратности множителя, то искомой замены координат не существует. В противном случае, будет построен

базис, в котором квадратичные формы имеют нормальный вид.

Для обоснования этого подхода требуется показать, что объединение линейно независимых систем векторов, соответствующих разным линейным множителям, образует линейно независимую систему. Доказательство проводится также как и для собственных векторов.

8.3 Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.

Рассмотрим задачу упрощения уравнения квадрики с использованием ортогональным преобразованием системы координат. Отметим, что при ортогональной замене координат сохраняются метрические характеристики.

Опишем алгоритм приведения квадрики x Ax 2a x к простейшему виду ортогональным

преобразованием.

Приводим квадратичную форму x Ax к главным осям ортогональным преобразованием y Px .

2by , где b a P, k – ранг матрицы

В результате получим уравнение квадрики i 1 i yi2

A, а i - ее ненулевые собственные числа.

Сдвигом начала координат zi

bi i при i k

и zi

yi при i>k приведем квадрику к

i . Если bi

0 при i>k, то конец, а

виду i 1

i zi2 2 i k 1bi

y , где i 1bi2

иначе перейдем на следующий шаг.

Положим

, f - ортонормированная.

f 1

i k 1bi i k 1biei . Система векторов e1 , ,ek

Дополним ее до ортонормированного базиса всего пространства. Пусть T – матрица перехода к

новому базису. Сделаем замену переменных z Tu 2

ek 1. Очевидно, сделанная замена

является ортогональной. В новой системе координат уравнение квадрики

buk 1 0.

i 1 iui2 2

Оформим доказанное выше в виде теоремы.

Теорема 9.32. Ортогональным преобразованием, сдвигом начала координат и умножением на ненулевое число уравнение квадрики приводится к одному из следующих четырех видов

iui2 2uk 1 0

iui2

i 1

, i 1

1 0, i 1 iui2 1 0, i 1 iui2 0.

Обозначим через ik A

сумму всех главных миноров k-го порядка матрицы A. Величина ik A является

A E

при n k .

коэффициентом характеристического многочлена

Пусть квадрика x Ax 2a x ортогональным преобразованием x=h+Ty приводится к виду

ˆ ˆ

Tˆ

y By

2b y

, где B T

. Поскольку T ортогональная матрица, то

AT , B T

B T 1 AT , и, значит, ik A ik B , где k=1,…,n. Кроме того,

Tˆ

2 1, и, следовательно,

in 1 Aˆ Aˆ Bˆ in 1 Bˆ . Тем самым установлен следующий факт.

Свойство 9.19 При ортогональном преобразовании не меняются следующие величины k=1,…,n, и in 1 Aˆ , которые называются ортогональными инвариантами квадрики.

К сожалению, ортогональные инварианты не всегда позволяют установить простейший тип квадрики.

x Py h

Свойство 9.20. Пусть k rgAˆ и k rgA, тогда ik Aˆ не меняется при ортогональном преобразовании.

Доказательство. При ортогональном преобразовании (без сдвига) величины ik Aˆ не меняются. Пусть квадратичная форма x Ax приводится к главным осям ортогональной заменой координат x Py. Пусть

- ортогональное преобразование квадрики. Поскольку

ˆ	T		h	TP 1		0	E		PT 1h P		0
												, то для доказательства утверждения достаточно

T		0	1		0	1		0	1	0	1

рассмотреть случай, когда A - диагональная матрица и преобразование заключается в сдвиге на вектор h

					a
				0		1
		diag 1 , , k 1		0
ˆ	ˆ				a
ˆ	ˆ		0	0		k 1
начала координат. Если rgA rgA 1, то	A		0	0		0	. В этой матрице
			a1 ak 1	0

единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига.

Следовательно, утверждение в данном случае доказано. Пусть rgA rgAˆ 2, тогда

				a
					1
	diag 1 , , k 2		0
				a	k 2
ˆ					k 2
ˆ				ak 1
A		0	0		0	. В этой матрице единственный минор k порядка, не

		a1 ak 2	ak 1 0

содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение и в данном случае доказано.

Величины ik Aˆ называются полуинвариантами ортогонального преобразования.

Набор инвариантов и полуинвариантов квадрики позволяет однозначно установить простейшее уравнение квадрики.

8.4Ортогональная классификация кривых второго порядка

Теорема 9.33. Любая кривая второго порядка ортогонально эквивалентна одному из 9 классов кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые ортогонально не эквивалентны между собой.

Каноническое уравнение

Название кривой

кривой

		x	2				x	2
Эллипс		1					2
Эллипс		a2			b2				1
		a2			b2				1
	x2					x2
Мнимый эллипс	1					2
Мнимый эллипс	a2			b2					1
	a2			b2					1

Гипербола

Пара

пересекающихся

мнимых прямых

Пара

2 x2

пересекающихся

x1 ax2

прямых

Парабола

x12

2ax2

Пара параллельных

прямых

Пара параллельных

мнимых прямых

Пара совпавших

параллельных

x12

прямых

Доказательство. очевидно

8.5Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.

Теорема 9.34 Любая поверхность второго порядка ортогонально эквивалентна одной из поверхностей в одном из 17 классов, приведенных в таблице. Приведенные поверхности ортогонально не эквивалентны между собой.

	Каноническое
Название	уравнение
поверхности	поверхности
	поверхности

Эллипсоид

Мнимый

эллипсоид

Однополостный

гиперболоид

Двуполостный

гиперболоид

Мнимый конус

Конус

a2 b2 c2 0

Эллиптический

параболоид

Эллиптический

цилиндр

Мнимый

эллиптический

цилиндр

гиперболический

цилиндр

Пара

пересекающихся

x2 a2 x2 0,

мнимых

x1 ax2

плоскостей

Пара

пересекающихся

x12

2ax2

плоскостей

Параболический

x2 a2

цилиндр

Пара параллельных

плоскостей

Пара параллельных

мнимых

2 0

плоскостей

Пара совпавших

плоскостей

Гиперболический

параболоид

2x3

(седло)

Доказательство очевидно.

9 Аннулирующий многочлен

9.1Аннулирующий многочлен вектора.

Рассмотрим наименьшее (по включению) инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Очевидно,

что с вектором x в нем содержится и векторы k x , где k=1,2,… . Обозначим через k наибольшее число,

при котором система векторов x, (x), , k (x) линейно независима. Очевидно, что линейная оболочка этих векторов образует наименьшее инвариантное подпространство, содержащее вектор x. Выразим

k 1 x 0 x 1 (x) k k (x) . Это равенство запишем в виде

k 1 0 1 k k x 0, где - тождественное преобразование. Слева стоит линейное преобразование, по виду являющееся многочленом от линейного преобразования . Будем говорить, что

многочлен p(t) аннулирует вектор x, если p( )x 0. Многочлен наименьшей степени, аннулирующий вектор x, называется минимальным аннулирующим многочленом вектора x.

Минимальный аннулирующий многочлен определен с точностью до числового множителя. Далее, для определенности будем считать коэффициент при старшей степени равным 1.

Свойство 10.21 Аннулирующий многочлен вектора делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен вектора.

Доказательство. Пусть f(t) –аннулирующий многочлен, а p(t) – минимальный аннулирующий многочлен.

Разделим f(t) на p(t) с остатком f(t)=p(t)g(t)+r(t). Тогда r x f x g p x 0. Так как степень r(t) меньше степени p(t), и многочлен r(t) аннулирует вектор x, то единственная возможность r(t)=0.

Теорема 10.35 (Метод и академика Крылова). Пусть векторы x, x , , k x линейно независимы

k	k
и k 1 x i 0 i i x , тогда многочлен tk 1 i 0 iti является минимальным аннулирующим
многочленом вектора x.
k
Доказательство. Очевидно, что многочлен tk 1 i 0 iti		является аннулирующим для вектора x.
Допустим, он не является минимальным аннулирующим многочленом. Следовательно, найдется
s		s
аннулирующий многочлен меньшей степени i 0 iti	, что	i 0 i i x 0. Последнее равенство не

возможно в силу линейной независимости системы векторов x, x , , k x .

Теорема 10.36 Минимальный аннулирующий многочлен вектора является делителем характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть система векторов x, x , , k x - линейно независима и

	k		i i x . Дополним систему векторов							x, x , , k x до базиса всего пространства и
k 1 x i 0			i i x . Дополним систему векторов							x, x , , k x до базиса всего пространства и
найдем матрицу линейного преобразования в этом базисе. Эта матрица имеет блочный вид
					0		0	0
	A B						0
	A B			A	1		0	1
		,	где	A					- блок порядка k+1. По теореме Лапласа
		,	где						- блок порядка k+1. По теореме Лапласа
	0 C
						0	1	k
						0	1	k

A E

1 k 1 k 1

i - минимальный аннулирующий

A E

C E

, а

i 0

многочлен вектора x.

Следствие 10.18. (теорема Гамильтона – Кэли) Линейное преобразование является корнем своего характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть - характеристический многочлен. Тогда для любого x имеем x 0, и,

следовательно, 0.

9.2Аннулирующий многочлен подпространства

Будем говорить, что многочлен p(t) аннулирует подпространство W, если он аннулирует каждый вектор из W. Аннулирующий многочлен подпространства W наименьшей степени называется минимальным аннулирующим многочленом подпространства W. Как и минимальный аннулирующий многочлен вектора, минимальный аннулирующий многочлен подпространства определен с точностью до множителя. Для определенности, будем считать старший коэффициент минимального аннулирующего многочлена подпространства равным 1.

Свойство 10.22. Аннулирующий многочлен подпространства делится без остатка на минимальный аннулирующий многочлен этого же подпространства.

Доказательство. Пусть f(t) –аннулирующий многочлен, а p(t) – минимальный аннулирующий многочлен. Разделим f(t) на p(t) с остатком f(t)=p(t)g(t)+r(t). Тогда для вектора x из W справедливо равенство

r x f x g p x 0 . Так как степень r(t) меньше степени p(t), и многочлен r(t) аннулирует любой вектор x из W, то единственная возможность r(t)=0.

Теорема 10.37. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства равен наименьшему общему кратному минимальных аннулирующих базисных векторов.

Доказательство. Пусть e1 , ,ek - базис подпространства W, h - минимальный аннулирующий многочлен подпространства W,а fi t - минимальный аннулирующий многочлен вектора ei , где i=1,…,k. Многочлены

fi t являются делителями h(t) (Свойство 10.21). С другой стороны, наименьшее общее кратное этих многочленов аннулирует все базисные векторы, а значит и любой вектор из W.

Следствие 10.19. Минимальный аннулирующий многочлен подпространства является делителем характеристического многочлена.

Доказательство. Пусть e1 , ,ek - базис подпространства W, а fi t - минимальный аннулирующий

многочлен вектора ei , где i=1,…,k. Многочлены fi t являются делителями характеристического многочлена (Теорема 10.36), следовательно, характеристический многочлен делится и на их наименьшее общее кратное, равное минимальному аннулирующему многочлену подпространства.

Если в качестве подпространства взять все пространство, то минимальный аннулирующий многочлен подпространства называется минимальным аннулирующим многочленом.

Следствие 10.20. Минимальный аннулирующий многочлен является делителем характеристического многочлена и имеет то же самое множество корней.

Доказательство очевидно.

9.3Функции от матриц

Пусть f(t) некоторый многочлен, и требуется вычислить значение матрицы A от этого многочлена. В арифметическом пространстве матрица A задает линейное преобразование. Обозначим через g(t) минимальный аннулирующий многочлен этого преобразования. Разделим многочлен f(t) на g(t) с остатком f(t)=h(t)g(t)+r(t). При подстановке матрицы A получим равенство f(A)=h(A)g(A)+r(A)=r(A). Таким образом, вычисление значения многочлена от матрицы сводится к вычислению значению его остатка. Остаток от деления r(t) можно вычислить как интерполяционный многочлен Лагранжа - Сильвестра от корней минимального многочлена.

Ничего не изменится в проведенных рассуждениях, если вместо многочлена f(t) использовать произвольную функцию, значения которой, а также значения ее производных соответствующих порядков, определены на множестве корней минимального многочлена.

В некоторых случаях в качестве минимального многочлена берут характеристический многочлен.

9.4Вычисление линейных рекуррентных последовательностей

Последовательность an называется линейной рекуррентной, если существуют такие коэффициенты

1 , , k , что для любого n справедливо равенство an k 1an kan k 1. Для задания линейной

рекуррентной последовательности, кроме ее коэффициентов, необходимо знать первые k членов a1 , ,ak , которые называются начальными условиями. Рассмотрим задачу выражения n-го члена последовательности через его номер и начальные условия.

Обозначим через an вектор столбец, состоящий из k компонент an k 1 , ,an , через A — матрицу

k		k 1	2		1
1		0		0	0
	0	1		0	0
размерами k k вида						. По правилу перемножения матриц имеем:

	0	0		1	0

Aan 1 an . Многократным применением полученной формулы выводим An 1a1 an . Задача вычисления n-го члена последовательности свелась, тем самым, к вычислению матрицы An 1.

Характеристический многочлен матрицы А равен 1 k k k k 1 1 . Разделим многочлен n 1 на с остатком. Пусть n 1 g r , где r - остаток от деления.

Подставив вместо λ матрицу А, получим An 1 χ A g A r A . По теореме Гамильтона-Кэли каждая

матрица является корнем своего характеристического уравнения, то есть A 0, где 0 - нулевая
матрица. Таким образом, An 1 r A , и задача вычисления An 1 свелась к вычислению многочлена r(λ).
s	где t1 ts	k .
Разложим многочлен на линейные множители 1 k i 1 i ti ,
j	0, где	j
Для каждого неотрицательного j строго меньшего ti справедливо равенство i		- j-
ая производная характеристического многочлена. Продифференцировав j раз равенство
n 1 g r и, подставив в него i , получим n 1! n 1 j ! in 1 j r i j . Этими

условиями многочлен r(λ) степени k-1 определяется однозначно. В литературе задача вычисления многочлена по таким условиям носит название «интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра».

В качестве примера вычислим n-ый член линейной рекуррентной последовательности an 2 4an 1 4an ,

где a1 a2

1. Положим

. Характеристический многочлен равен 2 .

и r 2 n 1 2n 2 .

Остаток от деления n 1

на 2 2

удовлетворяет соотношениям r 2 2n 1

Единственный многочлен первой степени, удовлетворяющий этим условиям, равен

r 2n 1

2 n 1 2n 2

. Таким образом,

1 n 2n

n 1

E n 1 2

n 2

A 2E

n2n 1

n 2

2 n 2

n 1

и an 3 n 2

n 1 2

Лекции за 2 семестр, факультет ВМК, специальность Прикладная Информатика

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.12.2018141.31 Кб2теория байков д.а..doc
#
11.11.20193.61 Mб22Теория графов.doc
#
24.09.201955.81 Кб2Теория и методология истории.doc
#
23.12.201874.75 Кб4теория и ответы по 2 семинару.doc
#
01.11.20181.73 Mб3Теория инвестиций.doc
#
27.03.2015750.46 Кб4Теория к экзамену ГА (2 семестр, ПИ).pdf
#
27.03.201541.61 Кб8Теория контактов.docx
#
10.09.2019199.68 Кб9теория литературы.doc
#
18.09.201933.17 Кб0Теория организации.docx
#
28.10.2018326.14 Кб6Теория организаций.doc
#
13.09.2019108.54 Кб3теория по исэ.doc