билеты по матану

37. Дифференцирование сложной и обратной функций. Примеры. Инвариантность формы первого дифференциала при замене переменной.

А) Дифференцирование сложной функции.

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой

прямой, где и Пусть также эти функции

дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её

производная имеет вид:

Б) Дифференцирование обратной функции

Пусть функция является обратной для функции . Если существует отличная от нуля производная функции по переменной x, то существует и производная обратной

функции по переменной y. При этом

В) Инвариантность формы первого дифференциала при замене переменной.

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где — дифференциал тождественного отображения :

Пустьтеперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

38. Таблица производных и дифференциалов. (36)

40. Кривые и функции, заданные в параметрическом виде.

Предположим, что функциональная

зависимость y от x не задана непосредственно y = f(x), а через промежуточную величину — t. Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Если предположить, что обе эти функции φ и ψ имеют производные и для φ существует обратная функция θ, явное представление функции выражается

через параметрическое как[1]:

и производная функции может быть вычислена как

Параметрическое представление даёт такое важное преимущество, что позволяет изучать неявные функции в тех случаях, когда их приведение к явному виду иначе как через параметры, затруднительно.

41. Дифференцирование функций, заданных в параметрической форме

Опр. Пусть зависимость между переменными х и у задана с поощью 2х ур-ий: х=х(t);у=у(t)(*)

Пусть ур-е х=х(t) разрешимо отн t ,т.е t выражается через х с помощью ур-я t=t(x).Подставляя значения в ур-е у=у(t) получим зав-ть от х: у=у(t(х))в этом случае система ур-ий (*) наз параметрическим заданием ф у=у(х),а аргумент t наз параметр

Предположим,что х(t),у(t)достаточное число раз диф,

( )=

При каждом диф не нужно забывать делить на

42. Уравнение касательной к плоской кривой. Гладкие функции. Примеры.

А) y - y1 = f '(x1)(x - x1)

Б) Определение. Функцию на открытом множестве называют гладкой, если все её частные производные существуют и непрерывны на нём.

Теорема. Всякая гладкая функция всюду дифференцируема.

43. Уравнение нормали к плоской кривой. Пример.

45. Формула Лейбница. Пример.

Пример:

В случае , например, имеем:

При получается известное правило производной произведения:

46. Старшие производные функций, заданных в параметрическом виде. Пример.

Вообще не ебу, что тут требуется (

47. Старшие производная и дифференциал сложной функции. Примеры. Не инвариантность формы второго дифференциала при замене переменных.

A) Старшая производная определяет порядок уравнения. Решением дифференциального уравнения на интервале A к B является функция у f ( x), для которой существует п-я производная и которая удовлетворяет тому условию, что дифференциальное уравнение обращается в тождество для всех х на интервале ( а, Ь),

если подставить в него вместо у и производных функцию f ( x) и ее производные.

Б) Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0), тогда сложная функция y = f(u(x))

дифференцируема в точке x0, причем df(u(x))

= f '(u0)u '(x0)dx.Так как и (x0)dx = du, то df(u(x)) = f '(u0)du

48. Теорема Ферма.

Для любого натурального числа уравнение

не имеет натуральных решений , и .

48. Теорема Ролля.

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте

[a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая,

что f'(ξ) = 0.

50. Теорема Лагранжа и следствия и нее.

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте

[a, b] и имеет конечную или бесконечную производную

во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Следствия из теоремы Лагранжа:

Следствие 1. В частном случае,

когда , из теоремы Лагранжа вытекает,

что существует точка , в которой

производная функции равна нулю: . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля.

Следствие 2. Если во всех точках

некоторого промежутка , то в этом промежутке.

51. Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[,

то такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

52. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 0/0. Пример.

53. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности Пример.

Раскрывается так же, как и непределенность - ( )

Примеры:

снд р ным

54. Локальная теорема Тейлора. Пример.

55. Представление по формуле Тейлора основных элементарных функций.

56. Глобальная теорема Тейлора.

57. Применение формулы Тейлора на практике. Примеры.

Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Рассмотрим примеры:

Так как в знаменателе стоит х5, то при представлении функций, стоящих в числителе, по формуле Маклорена,

мы должны брать многочлены не ниже пятой степени:

; (следую щий член разложения имеет шестую

58. Признак монотонности функции. Примеры.

Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на (a,b), для того, чтобы ф-ция возрастала(убывала) на этом интервале необходимо и достаточно чтобы во всех точках этого интервала выполнялось f’(x)>=0 (f’(x)<=0) Если во всех точках интервала f’(x)>0 (f’(x)<0), то ф-ция строго возрастает (убывает) на интервале (a;b).

Пример:

Необходимо исследовать интервалы монотонности функции .

Сначала находим производную:

.

Это парабола, которая пересекает ось x в

точках и и чьи ветви направлены вверх. Поэтому производная отрицательна в

интервале (функция убывает) и положительна в интервалах

и (функция возрастает).

Ответ:

функция возрастает в интервалах и , убывает в интервале .

59. Необходимое условие локального экстремума. Примеры.

Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции

Если - точка экстремума функции f, то

60. Достаточные условия локального экстремума функции (правила 1,3).

1. Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

, является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке

3. Пусть функция дифференцируема раз в точке и

, а . Если чётно и , то -

точка локального максимума. Если чётно и , то - точка локального минимума.

Если нечётно, то экстремума нет.

61. Достаточные условия локального экстремума функции (правила 2).

Пусть функция непрерывна и дважды

дифференцируема в точке . Тогда при условии

и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

62. Достаточные условия локального экстремума функции (правила 2).

Найти глобальные экстремумы функции при ограничениях:

Решение. Область допустимых решений — часть окружности с радиусом 4, которая расположена в первой четверти

Линиями уровня целевой функции являются параллельные прямые с угловым коэффициентом, равным -2. Глобальный минимум достигается в точке O

(0, 0), глобальный максимум — в точке А касания линии уровня и окружности. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную линии уровня. Прямая проходит через начало координат, имеет угловой коэффициент

1/2 и уравнение x2 = 1/2х1.Решаем систему

откуда находим х1 = 8/5, x2 = 4/5, L = 16/5 + 4 /5 = 4Ответ. Глобальный минимум, равный нулю, достигается в точке O (0, 0), глобальный максимум,

равный 4, — в точке А(8/5, 4/5).

Задача с нелинейной целевой функцией и линейной системой ограничений

63. Достаточное условия выпуклости, вогнутости функции. Примеры.

1) Достаточное условие выпуклости

66. Числовые ряды. Сходимость, необходимые условия сходимости.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность u1, u2,…,un,…. Выражение

(1)

называется числовым рядом

Сходимость.

сумма . Числовой ряд называется сходящимся, если существует

предел , при этом называется суммой ряда.

Необх условия сходимости. Теорема.

Если ряд сходится, то .

67. Знакоположительные ряды. Сходимость.

Определение.

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы все отрезки этого ряда с достаточно большими

68. Признак сравнения. Признак Коши. Признак Даламбера

Сходимость

Признак Даламбера:

Дан ряд . Пусть , тогда Если - ряд сходится Если - ряд расходится

Признак Коши:

Теорема (первый признак сравнения). Даны числовые

1)Если ряд - сходится,

то ряд сходится.

2)Если ряд - расходится, то и

ряд расходится.

Теорема (второй признак сравнения). Даны числовые

ряды , ,

Пусть , тогда ряды сходятся или

расходятся одновременно.

69. Абсолютная и условная сходимость. Признак

Лейбница.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Признак Лейбница

сходимости знакочередующегося ряда: если члены знакочередующегося ряда

Монотонно убывают

и стремятся к нулю то ряд сходится; при этом

остаток ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.