Ekzamen_4_semestr

Билет 22. Производные правила вывода в исчисление предикатов: правила переименования связанных переменных, правило связывания квантором.

Правило переименования связанных переменных

1)| − ( )

2)| − ( )

F(x) не содержит свободных вхождений y,но содержит свободные вхождения х, ни одно из которых не входит в область действия квантора по у.

Доказательство:

1)– гипотеза

2)По аксиоме (Р1) справедлива формула → ( )

3)К шагу 2 применим правило обобщения | − ( ) → ( )

4)MP для (1) и (3): | − ( )

Для квантора существования доказать самостоятельно! Правило связывания кванторов.

| −K ( )

1) F(x) – гипотеза по условию

2) По т.2 ИВ А| −L → , то есть формула → доказуема для любого В, в том числе и для доказуемов формуле В. Значит | −K → ( )

3) По правилу обощения →( ) , B не содержит свободных вхождений х.

→( )

4) Из (3) по правилу заключения МР (для В и → ( )) следует доказуемость | −K ( ).

Билет 23. Теоремы об общезначимых формулах и о замене эквивалентных подформул в исчислении предикатов.

Теорема об общезначимых формулах

k F F– теоремами ИП являются общезначимые формулы и только они.

Опр. Две формулы F и G эквивалентны, если F G

Из теоремы об общезначимых формулах ИП следует, что между соотношениями ЛП и формальными эквивалентностями в ИП имеются аналогичные соответствия.

FG≡ F → G.

Теорема о замене эквивалентных подформул

Пусть F(A) – формула с вхождением А. F(B) – формула, полученная из F(A) заменой этого вхождения А формулой В. Тогда, если А В, то F(А) F(В). Благодаря этому правилу можно получить доказуемые эквивалентности не строя их непосредственного вывода.

Билет 24. Наиболее важные эквивалентности исчисления предикатов и их применение для построения предваренной нормальной формы.

А и В формулы, не содержащие свободных вхождений х.

8)A→ xF(x) x(AF(x))

9)xF(x) → B x(F(x) → B)

10) xF(x) → B x(F(x) → B)

Из 10 данных эквивалентностей первые 6 аналогичны закону (2) ЛП, остальные 4 доказываются с помощью закона (1) ЛП и равносильности ЛВ. Используя данные 10 эквивалентностей в формулах ИП можно выносить кванторы за скобки. С помощью правил переноса квантора через отрицание, а также правила переименования переменных кванторы можно выносить за скобки в формуле. При этом получится предварнная нормальная форма.

Билет 25 Проблемы аксиоматического исчисления предикатов.

Исчисление предикатов для своего обоснования требуют решения 4ѐх проблем: разрешимости, непротиворечивости, независимости и полноты.

1ая проблема: (разрешимости) заключается в поиске алгоритма, который бы для любой заданной формы исчисления определял был – является ли она доказуемой в этом исчислении или нет. В исчислении предикатов разрешающийся алгоритм построить невозможно из-за бесконечности предельной области, который приводит в общем случае к бесконечным таблицам истинности. Доказательство этого факта стало возможным лишь после появления точного определения алгоритма.

2ая проблема: (не противоречивость исчисления), то есть не существует в этом исчислении формулы А такой, которая была бы доказуема с не А.

Теорема: Исчисление предикатов не противоречиво.

3я проблема: (независимости системы аксиом исчисления предикатов). Система аксиом И.П. – независимая система ,то есть в этой системе нет лишних аксиом. Эту независимость можно установить, например сведением к вопросу о непротиворечивости данной системы.

4я проблема: (полноты). Аксиоматическое исчисление называется полном в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой, не доказуемой в этом исчислении формулы, в качестве новой аксиомы, приводит к противоречивому исчислению. Исчисление предикат оказывается не полным в узком смысле. К его аксиомам можно присоединить без противоречия недоказуемую в нѐм формулу. Аксиоматическое исчисление называется полном в широком смысле слова, если любая тождественно истинная формула в нѐм доказуема . Исчисление предикат полно в широком смысле по теореме Гѐделя. В И.П. нельзя вывести сколь ни будь содержательное по существу высказывание, в частности математическое.

Билет 26 Формализация понятия алгоритма.

Алгоритм – общий, единообразный, точно установленный способ решения любой задачи из данной массовой проблемы (бесконечного множества однотипных задач). Задачи одной и той же массовой проблемы отличаются друг от друга лишь значением входящих в них параметров. Тем не менее даже при таком интуитивном понятии можно выделить некоторые характерные черты алгоритма: 1) Дискретность ( состоит из действий, выполняемых по шагам).2)Детерменированность (между всеми величинами, получаемыми алгоритмом жѐсткая причинная связь.3)Массовость (начальная система величин выбирается из некоторого множества).4)Результативность (остановка алгоритмического процесса, после конечного числа шагов, с указанием достигнутого конструктивного объекта в виде результата). Интуитивное понятие алгоритма работает, когда речь идѐт о найденном алгоритме решения конкретной проблемы. Однако строго математически доказать не существование алгоритма, пользуясь лишь его интуитивным определением невозможно. Для этого нужно формальное определение алгоритма. Тьюринг А.М. предложил определение в виде некоторой машины, теперь называемой машиной Тьюринга. Э.Л. Пост предложил определение алгоритма в виде некоторого набора правил, называемых системой продукций. А.Чѐрч, С.К. Клиник, опираясь на более ранние работы Ж.Эрбрана. К.Гѐдель

предложил определение алгоритма рекурсивными функциями. Наиболее широкое определение А.Н. Камогова.

Типы алгоритмических моделей:

1)Рекурсивные функции. Этот тип связывает понятие алгоритма с числовыми функциями, заданными на множестве натуральных чисел и принимающие значения на том же множестве.

2)Машины Тьюринга. Связывает понятия алгоритма с механическим устройством. Способна выполнять дискретно элементарные действия над элементарными объектами.

3)Нормальный алгоритм Маркова. Связывает понятия алгоритма с классом словарных преобразований, в результате замены части слов или всего слова другим словом.

Билет 27. Понятие рекурсивных функций. Примитивно рекурсивные функции: базовые функции и элементарные операции.

Рекурсивным заданием функции называется способ определения значения в некоторой точке, через известные значения этой функции в предшествующих точках.

Заданные рекурсивно числовые функции : → 0 , где 0 будем называть рекурсивными. Примитивно рекурсивные функции.

Базовые фукции.

Простые одношаговые рекурсивные функции называются базовыми. 1)Нуль функция 0(х)=0

2)Функция тождества(проектирующая функция, функция введения фиктивных переменных)

*эта функция позволяет по числу построить сколь угодно большой начальный отрезок множества натуральных чисел Элементарные операции.

Операции, с помощью которых можно получить из базовых функций рекурсивные называются

2) Операция примитивной рекурсии

Говорят, что n+1-местная функция ( 1, … , , ) получена из n-местной ( 1, … , ) и n+2- местной( 1, … , , , ) с помощью операции примитивной рекурсии если ее значения можно вычислить по формуле:

1 … , 0 = 1, … ,

1, … , , + 1 = ( 1, … , , , 1, … , , )

При n=0 схема примитивной рекурсии имеет вид

0 = =

+ 1 = ( , )

Будем говорить что функция получена из функции с помощью итераций

= ( ) если:

0 = 0

+ 1 = ( )

1)Базовые функции

функций 0(x) и

3) f(x)=x+n ПРФ т.к. f(x)=x (прибавили единицу n раз)

4) + , = + – ПРФ т.к. ее можно получить из функций тождества и следования с помощью оператора примитивной рекурсии.

+ , 0 = + 0 = 21( , )

Билет 28. Примеры простейших примитивно рекурсивных функций.

+ , + 1 = + + 1 = + + 1 = + , + 1 = ( x y)

=

(x, y, z) z 1

5), = – ПРФ т.к. ее можно получить из 0 и сложения с помощью оператора примитивной рекурсии.

, 0) = 0 = 0(

, + 1 = + = , + = + , ,= 0

(x, y, z) z + x

6)Поскольку ПРФ должны быть определены на всем N, то вместо обычной разности в теории рекурсивной функции вводят арифмитическую или усеченную разность:

x-y (всюду ниже в этом билете над минусом ставится точка)

x-y= − , ≥

0, <

функция x-1

0 − 1 = 0( )

+ 1 − 1 = = 22( , )

− , = −− , 0 = − 0 = 21 ,

− , + 1 = − + 1 = − − 1 = − , − 1

7) Cигнум

sgn(x)= 0, = 0 ↔ 1, > 0

sgn(x,y)= 0, ≤ => sgn(x,y)=sgn(x-y)

1, >

К этим двум функциям можно ввести дополнительные:

Билет 29. Теорема а примитивной рекурсивности суммы и произведения примитивно рекурсивной функции. (без доказательства). Примитивная рекурсивность функции “частное от деления х на y”, “остаток от деления х на y”, “признак деления х на y”.

Теорема. Пусть f – n – местная ПРФ, тогда также являются примитивно рекурсивными. :

S(x1,x2…xn) = ( 1, … , −1, )

=0

P(x1,x2…xn) = ( 1, … , −1, )

=0

(Без доказательства).

Примитивная рекурсивность функции ―частное от деления х на y‖, ―остаток от деления х на y‖, ―признак деления х на y‖.

div(x,y)= (rest(x,y)) => ПРФ

По аналогии с тем что −1 (x) является ЧРФ, но не является ПРФ. Есть ОРФ-ии которые не являются ПРФ-ми.

Функция Аккермана Первый пример такой функции (всюду определяемая и вычислимая) придумал немецкий математик

Аккерман. Идея заключалась в построении последовательности функций B(x, y) каждая из которых растѐт существенно быстрее предыдущей и создание с помощью этой последовательности функции А(х) которая растѐт быстрее чем любой ПРФ-ций.

Построение функции Аккермана

0(a,y)=a+y1(a,y)=a*y2(a,y)=ay

1(a,y+1)=a+ay= 0(a, 1(a,y))2(a,y+1)=aay= 1(a, 2(a,y))

Продолжим эту последовательность, положим по определению

+1(a,0)=1

+1(a,1)=a (3)+1(a,y+1)= (a, +1(a,y))

(случай n=0 исключаем)

Схема (3) имеет вид примитивно рекурсивной следовательно все функции примитивно рекурсивны растут они крайне быстро НапримерЗаметим :что схема (3) согласуется с равенством (2) для

3(a,1)=a

3(a,2)= 2(a,a)=

Зафиксируем теперь значения а. Получим последовательность функций:

Кроме того определим диагональную функцию А(х)=В(х,х)

Соотношение(4) позволяет вычислить значение функции B(x,y), а следовательно и функции А(х). При чѐм при вычислении функции в данной точке. Нужно обратиться к значению функции в предыдущеѐ точке, как в примитивной рекурсии только здесь рекурсия ведѐтся по 2ум переменным (называется двойной или рекурсией второго порядка) , и это существенно усложняет характер упорядочивания точек, следовательно и понятие предшествования точек так же усложняется.

Теорема Аккермана Функция Аккермана растѐт быстрее чем любая ПРФ и следовательно не является примитивно

рекурсивно функцией: более точно: Для любой 1местной ПРФ f(x) n:

х≥n A(x)>f(x)

Поскольку функция Аккермана всюду определена, то она является частным случаем ЧРФ, а именно ОРФ

Билет 33. Словарные функции. Определение машины Тьюринга.

Основная идея: имитация алгоритмических процессов с помощью абстрактной математической машины(т.е. машины Тьюринга). Эта машина за конечное число шагов из исходных числовых данных в соответствии с заданными правилами может получить искомый числовой результат. Такая модель была предложена А.М. Тьюрингом в 1936 году.

Тезис Тьюринга:

Всякий алгоритм может быть задан некоторой функциональной схемой и реализован на соответствующей машине Тьюринга.

Словарные функции.

Пусть А -набор букв(алфавит),то А={а1,...аn}.Такая конечная последовательность букв этого алфавита называется словом.

=а1,…,аn, -слово, а1,…,аn-буквы, ai A, | |-длина слова(число букв), -пустое слово, т.е. | |=0.

Свойства слов.

1) = = ,

2) Закон ассоциативности: ( ) = ( ), 3) Отсутствие коммутативности:

Билет 34. Способы задания машин Тьюринга. Реализация на машине Тьюринга программы “перенос нуля”.

Машина Тьюринга включает в себя:

1. Внешний алфавит - конечное множество символов A {a0 , a1, a2 , , an}. В этом алфавите

в виде слова кодируется та информация, которая подается в машину. Машина перерабатывает информацию, поданную в виде слова, в новое слово. Обычно символ Внешний алфавит - конечное множество символов a0 обозначает пробел.

2.Внутренний алфавит - конечное множество символов Q {q0, q1, q2, , qm} . Для любой машины число состояний фиксировано. Два состояния имеют особое назначение q1 -

начальное состояние машины, q0 - заключительное состояние (стоп-состояние).

3.Бесконечная лента Бесконечная лента характеризует память машины. Она разбита на клеточки. В каждую клеточку может быть записан только один символ из внешнего алфавита.

4.Управляющая головка. Управляющая головка (УГ) передвигается вдоль ленты и может останавливаться напротив какой-либо клетки, т. е. считывать символ.

УГ

Работа машины складывается из следующих один за другим тактов, по ходу которых происходит преобразование начальной информации в промежуточные информации (к концу каждого такта совокупность знаков, хранящихся на ленте, образует соответствующую промежуточную информацию). В качестве начальной информации на ленту можно подать любую конечную систему знаков внешнего алфавита (любое слово в этом алфавите), расставленную произвольным образом по ячейкам.

В каждом такте работы машины она действует по функциональной схеме, которая имеет вид:

aiqj avДqs

Здесь ai,av – буквы внешнего алфавита; qiqs – состояния машины; Д {R,L,C,P,E}. Символ стирания Е подразумевает запись в данную ячейку пустого символа.

101 1

N: 01 10 00

a)0 11 - работа алгоритма заканчивается после шага 0, т.к. алгоритм не может переработать 0 .

b)0 001

001

011 - результат работы N (001) 111 (111 переработать не может)

111

c)0 10101

10101

101 - N (10101) 101(т.к. 101 – заключительная подстановка)

d)0 10 10

Тезис Маркова:

Любой алгоритм в алфавите А может быть реализован некоторым нормальным алгоритмом над алфавитом А.

Теорема об эквивалентности МТ и НАМ:

Какова бы ни была МТ – Т ( НАМ - N) в алфавите А, существует НАМ N (МТ Т) над алфавитом А такой, что для всех слов , A* , справедливо:

N ( ) тогда и только тогда, когда Т ( )

Билет 38. Сравнительный анализ трех типов алгоритмических моделей. Оценка сложности алгоритма.

Анализ трех типов моделей показал, что основные свойства алгоритмов дискретности, детерминированности, массовости и результативности остаются неизменными для различных способов описания. Все три алгоритмических модели эквивалентны, что позволяет рассматривать вычислительный алгоритм инвариантным к способу описания.

Различия наблюдаются в использовании конструктивных объектов.

Все алгоритмические модели обеспечивают способ получения значений вычислимой функции, причем, согласно тезису Черча, совпадают множества вычислимых и частично рекурсивных функций, а также множества всюду определенных вычислимых и общерекурсивных функций.

При реализации алгоритма с привлечением одной из трех моделей возникает задача оценки сложности алгоритма. Выделяют сложность описания алгоритма и сложность вычисления алгоритма.

Сложность описания алгоритма есть величина, характеризующая длину описания алгоритма.