Потенциалы

Потенциал поля линейно распределенных зарядов

15.14. По тонкому кольцу радиусом R=10 см равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ= 10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а=5 см от центра.

15.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ=10 нКл/м. Вычислить потенциал φ, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

15.16. Тонкий стержень длиной l=10 см несет равномерно распределенный заряд Q= 1 нКл. Определить потенциал τ электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а=20 см от ближайшего его конца.

15.17. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а. Стержни заряжены с линейной плотностью τ= 1,33 нКл/м. Найти потенциал φ в центре квадрата.

15.18. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равно­мерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотно­стью τ=0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов Δφ двух точек поля, удаленных от нити на r₁=2 СМ и r₂==4 см.

Потенциал поля зарядов,

распределенных по поверхности

15.19. Тонкая круглая пластина несет равномерно распреде­ленный по плоскости заряд Q= 1 нКл. Радиус R пластины равен 5 см. Определить потенциал φ электрического поля в двух точках:

1) в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикулярной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на а =5см.

15.20. Имеются две концентрические металлические сферы ра­диусами R₁=3 см и R₂=6 см. Пространство между сферами запол­нено парафи­ном. Заряд Q₁ внутренней сферы равен -1 нКл, внеш­ний Q₂=2 нКл. Найти потенциал φ электри­ческого поля на рас­стоянии: 1) r₁=1 см; 2) r₂=5 см; 3) r₃=9 см от центра сфер.

15.21. Металлический шар радиусом R=5 см несет заряд Q=1 нКл. Шар ок­ружен слоем эбонита толщиной d=2 см. Вычис­лить потенциал φ электрического поля на расстоянии: 1) r₁=3 см; 2) r₂=6 см; 3) r₃=9 см от центра шара. Поcтроить график зависи­мости φ(r).

15.22. Металлический шар радиусом R₁=10cм заряжен до по­тенциала φ₁=300 В. Определить потенциал φ₂ этого шара в двух случаях: 1) после того, как его окружат сферической проводящей оболочкой радиусом R₂=15 см и на ко­роткое время соединят с ней проводником; 2) если его окружить сферической проводящей за­земленной оболочкой с R₂= 15 см?

15.23. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости с по­верхно­стной плотностью σ=10 нКл/м2. Определить; разность потен­циалов Δφ двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоско­сти на расстояние d=10 см.

15.24. Определить потенциал φ, до которого можно зарядить уединен­ный металлический шар радиусом R=10 см, если напря­женность Е поля, при- которой происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Найти также максимальную поверх­ностную плотность σ электрических зарядов пе­ред пробоем.

15.25. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас­стоянии d=0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распреде­лены заряды с по­верхностными плотностями σ₁ =0,2мкKл/M и σ₂= -0,3 мкКл/м². Определить разность потенциалов U между плоскостями.

15.26. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на рас­стоянии d= 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно рас­преде­ленные по поверхно­стям заряды с плотностями σ₁=0,2 мкКл/м² и σ₂=0,5 мкКл/м², Найти разность потенциалов U пластин.

15.27. Металлический шарик диаметром d=2 см заряжен от­рица­тельно до потенциала φ= 150 В. Сколько электронов находится на по­верхности шарика?

15.28. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенци­ала φ=20 В, сливаются в одну каплю. Каков потенциал φ₁ образовав­шейся капли?

15.29. Две круглые металлические пластины радиусом R=10 см каж­дая, за­ряженные разноименно, расположены одна против дру­гой параллельно друг другу и притягиваются с силой F=2мН. Расстояние d между пластинами 1 см. Определить разность потенциалов между пластинами.

15.30. Электрическое поле создано бесконечно длинным равномерно заряженным (σ=0,1 мкКл/м²) цилиндром радиусом R=5 см. Определить изменение ΔП потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис. 15.8).

15.31. Электрическое поле создано отри­цательно заряженным метал­лическим шаром. Определить работу A₁,₂ внешних сил по перемещению заряда Q=40 нКл из точки 1 с, потенциалом φ₁= -300 В в точку 2 (рис. 15.9).

Потенциал поля зарядов, распределенных по объему

15.32. Плоская стеклянная пластинка толщиной d=2 см заря­жена рав­номерно с объемной плотностью ρ=10 мкКл/м³. Найти разность потен­циалов Δφ между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что размеры пла­стины велики по сравнению с ее толщиной.

15.33. Сплошной парафиновый шар радиусом R=10 см равно­мерно за­ряжен с объемной плотностью ρ= l мкКл/м^З. Определить потенциал φ электрического поля в центре шара и на его по­верхности. Построить график зависимости φ (r).

15.34. Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномерно рас­пределенный по объему заряд с плотностью ρ=2 мкКл/м³. Внут­ренний радиус R₁ шара равен 3 см, наружный R₂=6 см. Определить потенциал φ шара в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара.

Градиент потенциала и его связь с напряженностью поля

15.35. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверх­ностной плотностью σ=4 нКл/м². Определить значение и направле­ние градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью.

15.36. Напряженность Е однородного электрического поля в не­кото­рой точке равна 600 В/м. Вычислить разн0cть потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на прямой составляющей угол α=60º с направлением вектора напряженности. Расстояние, между точ­ками равно 2 мм.

15.37. Напряженность Е однородного электрического поля равна 120 В/м. Оп­ределить разность потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на той же силовой линии и отстоящей от первой на Δr=1 мм.

15.38. Электрическое поле создано положительным точечным заря­дом. Потен­циал поля в точке, удаленной от заряда на r=12 см, равен 24 В. Определить значе­ние и направление градиента потенциала в этой точке.

15.39. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно рас­преде­ленный по длине нити заряд с плотностью τ= 1 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние r=10 см от нити? Указать направление градиента потен­циала.

15.40. Сплошной шар из диэлектрика (ε=3) радиусом R=10 см заряжен с объ­емной плотностью ρ=50 нКл/м^З. Напряженность электрического поля внутри и на поверхности такого шара выражается форму­лой, где r - расстояние от центра шара до точки, в которой вычисляется напряженность поля. Вычислить разность потен­циалов Δφ между центром шара и точками, лежащими на его поверхности.

Работа по перемещению зарядов в поле

15.41. Точечные заряды Q₁=1 мкКл и Q₂=0,1 мкКл находятся на рас­стоянии r₁=10 см друг от друга. Какую работу А совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на рас­стояние: 1)r₂= 10 м; 2) r_З=?

15.42. Электрическое поле создано двумя одинаковыми положитель­ными то­чечными зарядами Q. Найти работу А₁,₂ сил поля по перемеще­нию за­ряда Q_l = 10 нKл из точки 1 с потенциалом φ₁ = 300 В в точ­ку 2 (рис. 15.10).

15.43. Определить работу А₁,₂ по перемещению заряда Q_l =50 нКл из точки 1 в- точку 2 (рис. 15.11) в поле, созданном двумя точечными заря­дами, модуль |Q| которых равен 1 мкКл и a=0,l м.

15.44. Электрическое поле создано бесконечной равномерно заряжен­ной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ =2 мкКл/м². В этом поле вдоль прямой, составляющей угол α=60˚ с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние l между которыми равно 20 см (рис. 15.12), перемещается точечный электрический заряд Q=10 нКл. Опре­делить работу А сил поля по перемещению заряда.

15.45. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ =1 мкКл/м. Определить работу А cил поля по перемещению заряда Q= 1 нКЛ из точки В в точку С (рис. 15.13).

15.46. Тонкий стержень согнут в полукольцо. стержень заряжен с линейной плотностью τ = 133 нКл/м. Какую работу А надо совер­шить, чтобы перенести за­ряд Q=6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность?

15.47. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R=10 см. Он заряжен с ли­нейной плотностью τ =300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перене­сти заряд Q=5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии l=20 см от центра его?

15.48. Электрическое поле создано равномерно распределенным по кольцу зарядом (τ = 1 мкКл/м). Определить ра­боту А₁,₂ сил поля по перемещению за­ряда Q=10 нКл из точки 1 (в центре кольца) в точку 2, находящуюся на пер­пендику­ляре к плоскости кольца (рис.15.14).

15.49. Определить работу А₁,₂ сил поля по перемещению заряда Q= 1 мкКлиз точки 1 в точку 2 поля, созданного заряженным проводящим шаром (рис. 15.15). Потенциал φ шара равен 1 кВ.

15.50. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределенный за­ряд (τ=0,1 мкКл/м). Определить работу A_1,2 сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.16).

Движение заряженных частиц в электрическом поле

15.51. Электрон находится в однородном электрическом поле напря­женностью Е=200 кВ/м. Какой путь пройдет электрон за время t= 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю? Ка­кой скоростью будет обладать электрон в конце этого интервала времени?

15.52. Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется для того, чтобы сообщить скорость ν=30 Мм/с: 1) электрону; 2) про­тону?

15.53. Разность потенциалов U между катодом и анодом электронной лампы равна 90 В, расстояние r = 1 мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость ν электрона в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от ка­тода до анода? Поле считать однородным.

15.54. Пылинка массой т= 1 пг, несущая на себе пять электронов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U=3 МВ. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость ν приобрела пы­линка?

15.55. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность по­тенциалов U=600 кВ, приобрела скорость ν=5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда в массе).

15.56. Протон, начальная скорость ν которого равна 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле (Е=300 В/см) так, что вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь l должен пройти протон в направлении линий поля, чтобы его скорость удвои­лась?

15.57. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверхностной плотностью σ =35,4 нKл/м². По направлению силовой линии поля, соз­данного плоскостью, летит электрон. Определить минимальное рас­стояние l_min, на которое может подойти к плоскости электрон, если на расстоянии l₀=5 см он имел кинетическую энер­гию Т=80 эВ.

15.58. Электрон, летевший горизонтально со скоростью ν= l,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е=90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направле­нию скорость v электрона через 1 нс?

15.59. Вдоль силовой линии однородного электрического поля дви­жется протон. В точке поля с потенциалом φ₁ протон имел ско­рость ν₁=0,1 Мм/с. Определить потенциал φ₂ точки поля, в которой скорость протона возрастает в п=2 раза. Отношение заряда про­тона к его массе е/m=96 МКл/кг .

15.60. В однородное электрическое поле напряженностью Е =1 кB/M влетает вдоль силовой линии электрон со скоростью ν_o= l Mм/c. определить расстояние l; пройденное электроном до точки, в которой его скорость ν_l будет равна половине начальной.

15.61. Какой минимальной скоростью ν_min должен о6ладать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потен­циала φ=400 В металлического шара {рис. 15.17)?

15.62. Электрон движется вдоль силовой. линии однородного электри­ческого поля. В некоторой точке поля с потенциалом φ₁ =100 В элек­трон имел ско­рость ν₁=6 Mм/c. Определить потенциал φ₂ точки поля, в которой скорость v₂ электрона будет равна 0,5ν₁.

15.63. Из точки 1 на поверхности бесконечно длин­ного отрица­тельно заряженного цилиндра (τ =20 нKл/м) вылетает электрон (v_o=0). Опреде­лить кинетическую энергию Т электрона в точке 2, находящейся на рас­стоянии 9R от поверхности цилиндра, где R ­- его радиус (рис. 15.18).

15.64. Электрон с начальной скоростью ν₀=З Мм/с влетел в однородное электри­ческое поле напряженностью Е=150 B/м. Вектор началь­ной скорости перпендику­лярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на элек­трон; 2) ускорение а, при­обретаемое элек­троном; 2) скорость ν электрона через t=0,1 мкс.

15.65. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v=10 Mм/c, направленной параллельно пла­стинам. На сколько при­близится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конден­сатора (поле считать одно­родным), если расстояние d между пластинами равно 16 мм, разность потенциалов U=30 В и длина l пластин равна 6 см?

15.66. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость ν= 10 Mм/c, на­правленную параллельно пластинам. В момент вылета из кон­денсатора направле­ние скорости электрона составляло угол α=35˚ с первоначальным направлением скорости. Определить разность потен­циалов U между пластинами (поле считать однородным), если длина l пластин равна 10 см и расстояние d между ними равно 2 см.

15.67. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинако­вом расстоя­нии от каждой пластины и имея скорость ν = 10 Мм/с, на­правленную парал­лельно пластинам, расстояние dмежду которыми равно 2 см. Длина l каждой пластины равна 10 см. Какую наи­меньшую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы элек­трон не вылетел из конденсатора?

15.68*. Протон сближается с α-частицей. Скорость ν₁ протона в лабораторной системе отсчета на достаточно большом удалении от α-частицы равна 300 км/с, а скорость ν₂ α-частицы можно принять равной нулю. Определить минимальное расстояние r_min, на кото­рое подойдет протон к α-частице, и скорости ν₁ и ν₂ обеих частиц в этот момент. Заряд α-чacтицы равен двум элементарным поло­жительным зарядам, а массу т₁ ее можно считать в четыре раза большей, чем масса т₂ протона.

15.69. Положительно заряженная частица, заряд которой равен элементарному заряду е, прошла ускоряющую разность потенциа­лов U=60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем элементарным зарядам. На какое наи­меньшее расстояние r_min частица может приблизиться к ядру? Начальное рас­стояние ча­стицы от ядра можно считать практически бесконечно большим, а массу частицы - пренебрежимо малой по сравнению с массой ядра.

15.70.^* Два электрона, находящиеся на большом расстоянии, друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью v=10 Mм/c. Определить ми­нимальное расстояние r_min на которое они могут подойти друг к другу.

15.71.* Две одноименные заряженные частицы с зарядами Q_l и Q₂ сближаются с большого расстояния. Векторы скоростей ν₁ и ν₂ частиц лежат на одной прямой. Определить минимальное рас­стояние r_min на которое могут подойти друг к другу частицы, если их массы соответственно равны т₁ и т₂. Рассмотреть два случая: 1) т₁=т₂ и 2) т₂>>m₁.

15.72.* Отношение масс двух заряженных частиц равно k = т₁/т₂. Частицы на­ходятся на расстоянии r₀ друг от друга. Какой кинетической энергией Т₁ будет обладать частица массой т₁, если она под действием силы взаимодействия со второй частицей удалится от нее на расстояние r>>r₀. Рассмотреть три случая: 1) k= 1; 2) k=0; 3) k . Заряды частиц принять равными Q_l и Q₂. Начальными скоростями частиц пренебречь.

*Задачи 15.68 ;15.70-15.72 следует решать в движущейся инерциальной системе координат, начало отсчета которой находится в центре масс обеих частиц

*

217