pechat_33

28.Свойства гармонических функций: принцип максимума/минимума.

Теорема: Если функция U x является гармонической в области и непрерывной вплоть до границы этой области, то внутри области она не имеет ни max ни min достигая своего наибольшего и наименьшего значения на границе области.

►Будем рассматривать только случай max.

Пусть функция U x удовлетворяет условию теоремы и достигает max значение в некоторой внутренней точке x* области .Окружим точку x* шаровой поверхностью радиус которой выберем настолько малым, чтобы выполнялось неравенство U x * U набл. , где Uнабл-это макс значение ф-и U(x) на поверности шара,-это произвольная точка лежащая на поверхности шара или находящаяся внутри. Расстояние между точкой x и точкой x .

Всегда можно подобрать таким образом, чтобы

x * 2 2 .Рассмотрим теперь вспомогательную функцию

2 если точка совпадает с точкой x*, то

V x * U x * U набл. , это означает, что значение V в точке x* превосходит наибольшее значение этой функции на , так как Vнабл. U набл. x * 2 U набл. .Отсюда следует, что max

функции V находится внутри шаровой поверхности.

v u 2 n 0 полученное противоречие говорит о том, что max ф-ции v, а значит и u не может нах-ся во внутренней точке Ώ.

Аналогично рассм. случай min.Т.к. ф-ция u(x) имеет непрерывные производные вплоть до гран-ой обл. , то по теор. Вейерштрасса max и min значения этой ф-ции достигаются на границе.◄

Следствие1: если ф-ция u(x) является гарм. в огр. обл. Ώ, то

| u(x) | max | u( ) |

Следствие2: если ф-ция u(x) является гарм. в неогр. обл. Ώ с

конечной границей Г, то max | u( ) | достигается на границе.

►окружим конечную границу сферой радиуса R. Обл. между границей и сферой конечна и ф-ция явл. гармонической в ней.

=> что если u(x) | 0, то u(x)=0◄

30. Решение задачи Дирихле для ур-я Лапласа внутри и вне круга. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге и вне круга методом разделения переменных. Формула Пуассона.

точностью до const. В случае внешней задачи её реш-е ищем в виде:

32. Функция Грина в задаче Дирихле и неймана.

Т.к. ф-ция u(x) явл. Гармонической в обл. Ώ, то в случае

векотор. Ф-цию q(x,ξ), котор. Является гармонической внутри обл. Ώ, как ф-ция переменной ξ, имеет вплоть до границы производные 1-ого порядка.

q(x, ) | E(x, ) | Запишем вторую формулу Грина в случае

если ввести q(x,ξ) гармоническую в обл. Ώ и применить 2- ую формулу Грина, то приходим к рав-ву:

33.Формула Пуассона решения внутр. задачи Дирихле для шара