Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТВиМС1(новая)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

X a

)

G 2

Теорема 2. (Критерий независимости дискретных

случайных величин).

Для того чтобы дискретные случайные величины

Х1,…,Хn были независимы, необходимо и достаточно, чтобы

для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось

соотношение

P(X1 x1, X 2

x2 ,...,X n xn ) P(X1 x1) P(X 2 x2

Теорема

(Критерий

независимости

для

непрерывных случайных величин).

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х1,

Х2,…,Хn

были независимыми, необходимо и достаточно,

чтобы для любых действительных чисел х1,…,хn выполнялось

соотношение

px1,...,xn (x1,...,xn ) px1(x1) px2 (x2 )...pxn (xn ) .

Здесь

px ,...,x

(x1,..,xn ) —совместимая

плотность

распределения случайных величин Х1,…,Хn, то есть

совместимая

функция

распределения случайных величин

Х1,…,Хn

FX1,...,X n (x1,...,xn )

... p X1,...,X n (t1t2 ,...,tn )dt

Предположим, что случайная величина

X 0 ~ N (0,1) .

Вероятность, что X 0 ( , ).

P( X 0

) N ( ) N ( ) ( )

( )

Пусть

X ~ N (a,G2 ) .

M(C)=C.

Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая принимает одно возможное значение С с вероятностью 1. Следовательно,

M (C) C 1 C .

Замечание. Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х определяется как дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значении Х.

Свойство 2.

Постоянный

множитель

можно

выносить за знак математического ожидания:

M(CX)=CM(X).

Если случайная величин Х имеет ряд распределения

…

Ряд распределения случайной величины СХ

СХ

Сx1

Сx2

…

Сxn

…

Математическое

ожидание

случайной величины СХ

M (CX ) Cxi pi

C xi pi

CMX .

i 1

o Случайные

величины

X1,X2,…,Xn

называются

независимыми,

если

для

любых числовых

множеств

B1,B2,…,Bn

P(X1 B1 , X 2 B2 ,..., X n Bn ) P(X1

B1 ) P(X 2 B2

Если взять B1=]-∞, x1[;

B2=]-∞, x2[; …; Bn=]-∞,xn[, то

P(X1 x1, X 2

x2 ,...,X n xn ) P(X1

x1)P(X 2 x2 ).

P( X1 x1, X 2

x2 ,...,X n

xn ) FX , X

,...,X

(x1, x2 ,...,x

—совместимая функция распределения случайных величин

Х1,Х2,…,Хn.				Таким			образом,
FX , X	,...,X	n	(x1, x2	,...,xn ) FX	(x1) FX	2	(x2 ) ... FX	(xn )
1 2		n		1		2		n

. Данное равенство также можно взять в качестве определения независимости случайных величин.

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY) MX MY .

Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рано сумме математических ожиданий слагаемых:

M (X Y ) MX MY .

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Обозначим случайную величину Х—число очков, выпавших на первой кости, через Y обозначим число очков, выпавших на второй кости. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1,2,3,4,5,6, причем вероятность

каждого из этих значений равна 16 . Найдем математическое

ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости.

MX 1 16 2 16 3 16 4 16 5 16 6 16 216 72 .

Очевидно, что MY 72 .

M (X Y ) MX MY 7 .

DX (b a)2

Пример 5. Пусть случайная величина Х имеет нормальное распределение X~N(a, G2). Найти дисперсию DX.

X~N(a, G2). MX=a.


	1			(x a)2 e		( x a ) 2
DX	1					2G 2	G 2 .
						2G 2
	G 2
	G 2


Таким образом,			DX G2		.
Пример	6.	Пусть случайная величина Х имеет

e x , x 0

показательное распределение p(x) . Найти

0, x 0

DX.

MX 1 .

DX M ( X 2 ) (MX )2					x2e x dx	1	[интегрир
DX M ( X 2 ) (MX )2					x2e x dx		[интегрир
						2
	2	1	1	.
				.
	2	2	2

Таким образом, DX 12 .

Теорема 1. Если случайная величина Х имеет нормальное стандартное распределение с параметрами (a, G2),

то случайная величина	X 0	X a	имеет нормальное
		G

распределение, т.е. X 0 ~ N (0,1) .

M ( X a ) 1 (MX a) 0 ; G G

то общее число появлений события По свойству 4:

e x , x 0 p(x)

0, x 0

MX		xp(x)dx xe x dx [u
			0
u /		du] (		1	xe x /
u /		du] (			xe x /	0
0		0			0	0
0					0

	MX		1
	MX

x, d e x dx, du

( 1 )e x dx) 1 .

o Дисперсией непрерывной случайной величины Х

называется число	DX M ( X MX )2	MX 2 (MX )2 .
Если случайная	величина имеет	плотность	p(x),
DX (x MX )2 p(x)dx x2 p(x)dx (			xp(x)dx)

Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин обладают теми же свойствами, что и для дискретных случайных величин.

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х, распределенной равномерно на [a,

	1	, a x b


b]: p(x) b a		.
		[a,b]
0, x

	b 1		x2dx (MX
DX a
		b a
	(b a)(a2		ab b2 )
		3(b	a)

Нашли, что			MX				a b		.
Нашли, что			MX						.
								2
)2		1		x3	/b	(		a b		)2	3	b
)2					/b	(				)2	3
		b a	3		a			2				(
		b a	3					2				(
	(a b)				4(a2 ab b2 )
		4									12
		4									12

4(a2	ab b2 ) 3(a2 2ab b2 )	a2	2ab b2	(a
	12		12
	12		12
	54

Теорема 1. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: MX n p .

Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом,

Х Х1 Х 2 ... Х n .

MX MX1 MX 2 ... MX n .

Согласно примеру 2 MX1 MX 2 ... MX n p . Таким образом, получим MX n p .

o Дисперсией случайной величины называется число DX M ( X MX )2 . Дисперсия является мерой разброса

значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

o Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число Gx DX .

DX М ( X MX )2					M ( X 2 2XMX (MX )2 ) M ( X 2
M ( X 2 ) 2 MX MX (MX )2 M ( X 2 ) (MX )2 .
		Пример 4. Найти дисперсию случайной величины Х,
которая задана рядом распределения.
X			2	3	5

P			0,1	0,6	0,3

	MX 2 0,2 3 0,6 5 0,3 0,2 1,8 1,5 3,5.
	Ряд распределения случайной величины Х2
Х2		4		9	25
Р		0,1		0,6	0,3

					43

M ( X 2 ) 4 0,1 9 0,6 25 0,3 0,4 5,4 7,5 13,

DX MX 2 (MX )2 13,3 (3,5)2 1,05 .

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна

0. DC=0.

DC M (C MC)2 M (C C)2 0 .

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX ) C 2 DX .

D(CX ) M (CX CMX )2 M (C 2[ X MX ]2 ) C

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X Y ) DX DY .

D( X Y ) M [( X Y ) 2 ] [M ( X Y )]2 M [ X 2 2XY

M ( X 2 ) 2MXMY [(MX ) 2 2MXMY (MY ) 2 ] M (

(M ( X 2 ) (MX ) 2 ) M (Y 2 ) (MY ) 2 DX DY.

Следствие. Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: DX n p q .

Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. X X1 X 2 ... X n , где Хi—

число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.

o Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины Х с

плотностью p(x) называется число MX xp(x)dx при

условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

Пример 1. Пусть Х имеет равномерное распределение на

[a, b].

, a x

p(x)

x [a, b]

MX xp(x)dx a

xp(x)dx b xp(x)dx xp(x)dx

b2 a2

a b

2(b a)

Пример 2. Пусть случайная величина Х~N(a, G2).

MX xp(x)dx

( x a)2

x a

2G2 dx [t

2 G

(a Gt)

dt a

2 dt

(t)dt 1. (интеграл

Поскольку

от

плотности φ(t)).

Таким образом,

MX a, если X ~ N(a, G2 )

т.е.

смысл параметра а—математическое ожидание случайной величины Х.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины Х, имеющей показательное распределение с параметром λ>0, т.е. X~M(λ)

(x) 0x (t)dt .

1 (x)

2 N (x)

Ф(x)

x x

N (x) Ф(x) 12

o Любая функция (правило, характеристика),

позволяющая вычислить вероятность того, что случайная величина Х принадлежит В—числовому множеству на прямой, т.е. P(X B), называется законом распределения

случайной величины Х.
1. F(x)—функция распределения является			законом
распределения	любой	случайной	величины.

P(a X b) F(b) F(a) .

2. Ряд распределения дискретной случайной величины также является законом распределения дискретной случайной величины.

3. Плотность распределения непрерывной случайной величины p(x) является законом распределения непрерывной случайной величины.

P( X B) p(x)dx .

		DX DX1 DX 2 ... DX n .
		DX	1	M ( X 2 ) [MX		]2 .	Т.к.	MX1=p.
			1	1	1
M ( X12 ) 12 p 02 q p ,								то
DX	1	p p2 p(1 p) p q . Очевидно, что дисперсия
	1
остальных				случайных	величин также		равна	pq, откуда

DX n p q .

Пример. Проводятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений события в этих испытаниях.

n=10; p=0,6; q=0,4.

DX n p q 10 0,6 0,4 2,4.

o Начальным моментом порядка к случайным величинам Х называют математическое ожидание случайной величины Хk:

	k	M ( X k ) . В частности,		MX ,
	k		1

2 M ( X 2 ) .

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии DX M ( X 2 ) (MX )2 можно записать так:

DX 2 12 .

Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ.

o Центральным моментом порядка k случайной

величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)k.

			k	M[(X MX )k ] . В частности
			k
1 M[ X MX ] MX MX 0 ,
	2	M[(X MX )2 ] DX .			Следовательно,
	2

2	2 1	2 .
	Исходя	из определения центрального момента и
		45

пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы:

3 3 3 2 1 2 13 .

4 4 4 3 1 6 2 12 3 14 .

Моменты более высоких порядков применяются редко. Замечание. Моменты, определенные выше, называют

теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

***********************************

§ 15. Непрерывные случайные величины.

o Говорят, что случайная величина Х имеет плотность вероятности или плотность распределения вероятностей

p(x) px (x) , если существует функция p(x) такая, что

функция		распределения
x
F (x) P( X x)	p(t)dt	(1).

Пример. Нужно определить массу стержня длины l, если плотность массы равна p(x).

		l
		m p(x)dx
		0
o Случайная величина называется		непрерывной,	если
она имеет плотность распределения.
Пусть	р(х)—непрерывная	функция.	Тогда
	46

результате испытания Х попадет в интервал (0,3; 1).

1.P(0,3 х 1) 10,3 2e 2x dx e 2x /10,3 e 2 e

0,13534 0,41.

2. P(0,3 x 1) F(1) F(0,3) 1 e 2 1 (1 e 2 0,3

o Говорят, что случайная величинf Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G2, если она непрерывна и

	1			( x a)2
имеет плотность p(x)			e	2G2	. Обозначение

		G
	2

Х~N(a, G2), те Х имеет нормальное распределение с параметрами a, G2.

График плотности нормально распределенной случайной величины имеет вид:

o Если случайная величина Х~N(0,1), то говорят, что случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение. В этом случае плотность обозначается

(x)

2 .

Через

N(x)

обозначим

P{X 0

x} Fx (x) , где Х0~N(0,1).

N (x) x

(t)dt

2 dt .

p(x)

S=1

0			x
Найдем	функцию		распределения	показательно
распределенной случайной величины Х.
а) x≤0
F (x) x		0dt 0 .

б) x>0

F (x) 0 0dt 0x e t dt 0x e t d ( t) e t /0x

0, x 0

Таким образом F (x)

1- e- x , если x 0

p(x)

0 x

Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения. Ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Пример. Непрерывная случайная величина Х

распределена			по		показательному	закону
	2x		, х 0
2e			, х 0	.	Найти вероятность того,	что в
p(x)				.	Найти вероятность того,	что в
	x	0
0,	x	0
					50

					x x		x
P(x X x x) F (x x) F (x)						p(t)dt p(

( p(x) ) x p(x) x 0( x).
Где x c x x , α—бесконечно малая						величина	при
х→0.
Т.к. p(c) p(x) p(c) p(x) ,						при	х→0.
Таким образом,	p(x X x x) p(x) x 0( x) .
p(x)	lim		P(x X x x)	F`( x) .
p(x)	lim			F`( x) .
x 0			x
Свойства плотности распределения.
Свойство 1.		F'(x) p(x) .
Свойство 2.	Плотность				распределения—
неотрицательная функция: p(x) 0 .
Поскольку F(x)—неубывающая функция, то F’(x)≥0.
Следовательно			p(x) F'(x) 0 —неотрицательная

функция.

Геометрически это свойство означает, что график плотности распределения расположен либо над осью ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.

Свойство 3. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до +∞ равен единице:

p(x)dx 1.

В формуле (1) подставим х=+∞, F ( ) p(t)dt .

Поскольку F( ) 1, то p(t)dt 1.

Свойство 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение из множества В, равна интегралу по множеству В от плотности распределения.

P( X B) p(t)dt .

Пример. Задана плотность вероятности случайной

величины Х.
0, при х 0		и х 1
p(x)	х 1		.
2x, при 0	х 1

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Искомая вероятность

P(0,5 x 1) 2 1 xdx x 2 1 1 0,25 0,75 .

0,5 0,5

o Говорят, что случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [a, b], если она непрерывна и имеет плотность вероятности:

	1	, если a x b;


p(x) b a

0, если x [a, b].

Найдем функцию распределения равномерно распределенной случайной величины X.

а) x<a

F (x) x

p(t)dt x

0dt 0 ;

б) a≤x≤b

F (x)

p(t)dt

t /

b a

в) x>b

F (x) x

p(t)dt a

p(t)dt b p(t)dt x p(t)dt

b a

0,	x a
	a
x
F (x)		, a x b
	a
b
1,	x b

y x a , если

b a

p(x)

b a

x a y 0 x b y 1

F(x)

S=1

Примером равномерно распределенной случайной величины может служить Х-координата точки, наудачу брошенной на [a, b].

o Говорят, что случайная величина Х имеет показательное (экопоненциальное) распределение с параметром λ>0, если она непрерывна и имеет плотность распределения

		x	, если x 0
e			, если x 0	; обозначают Х~M(λ).
P(x)				; обозначают Х~M(λ).
	если х 0
0,	если х 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.03.2015263.01 Кб61Таксация 3.docx
#
25.03.20151.77 Mб106таксация 4.docx
#
04.12.201825.26 Mб564Таксация Учебник.doc
#
25.03.20151.49 Mб19тарле очерки.docx
#
25.03.20151.53 Mб85ТВиМС КР.doc
#
25.03.20151.25 Mб35ТВиМС1(новая).pdf
#
25.03.2015552.29 Кб46ТВиМС1_книжкой.pdf
#
25.03.201517.11 Кб29Текст свадебных приглашений.docx
#
17.09.2019346.11 Кб30Текстология лекции.doc
#
09.03.20162.59 Mб8897Тексты для изложений 11 класс.pdf
#
25.03.20151.28 Mб176Тексты лекций по философии.doc