Лабораторный практикум по молекулярной физике

Легко заметить, что число способов размещения монет в данном состоянии (“ О”) равно числовому коэффициенту в разложении двучлена (бином Ньютона):

(p+q)4=1p4+4p3q+6p2q2+4pq3+1q4.

Как известно, биноминальные коэффициенты такого разложения равны числу сочетаний из 4-х элементов по k=4,3,2,1,0 (проверьте данные таблицы П1):

C4k = 4! k!(4 − k )!

Каждое из слагаемых бинома Ньютона определяет

вероятность конкретного состояния, т.е.: w(k 4 , p ) = C 4k p k q 4 − k .

Если эта формула справедлива для n=4, то она применима и для n =5,6, …, и т.д. (метод математической индукции). Тогда для n монет это выражение примет следующий вид: w(kn , p) = Cnk p k q n − k .

Это соотношение называется биномиальным распределением. Оно определяет вероятность того, что при n испытаниях интересующее нас событие (выпадение монет "орлом" вверх) произойдет ровно k раз.

Применительно к физической системе, которая может находиться в двух состояниях, биномиальное распределение позволяет вычислять вероятность данного состояния.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

22

Характеристики биномиального распределения 1. Математическое ожидание

Найдем, чему равно математическое ожидание для биномиального распределения. Подставляя выражение (1) в формулу (2), получим:

Это выражение можно упростить, используя свой-

ства факториала: n!=n(n-1)!, n!=n(n-1)(n-2)!, ...

Тогда будем иметь:

Здесь учтено, что (q+p)n-1=1 в силу того, что q+p=1. Таким образом, искомое выражение для математического ожидания биномиального распределения имеет следующий вид:

2. Дисперсия

Определим дисперсию биномиального распределения, воспользовавшись её математическим определением (4):

Первое слагаемое в этом выражении представляет

23

собой математическое ожидание величины k2, сумма во втором слагаемом является математическим ожиданием величины k, а сумма в третьем слагаемом представляет собой полную вероятность того, что из n опытов "орел" выпадет 0, 1, 2, ..., n раз. Очевидно, что эта вероятность должна быть равна 1, так как выпадение из n опытов любого числа "орлов" является достоверным событием:

n

∑ w (k n , p ) = 1.

k = 0

Это выражение называется условием нормировки. Учитывая сказанное, выражение для дисперсии можно записать следующим образом:

Подставляя это соотношение в выражение для дисперсии, получим:

σ k2 = m k ( k − 1 ) + np − ( np ) 2 .

Применяя определение математического ожидания, но уже для функции k(k-1), будем иметь:

=n(n −1) p2qn−2 + n(n −1)(n − 2) p3qn−3 +L+ n(n −1) pn =

=n(n − 1) p2 [qn−2 + (n − 2) pqn−2 + L+ pn−2 ]= n(n − 1) p2 ,

так как сумма в квадратных скобках равна единице:

q n − 2 + ( n − 2 ) p q n − 2 +L + p n − 2 = ( q + p ) n − 2 = 1 .

Таким образом, выражение для дисперсии биноми-

24

ального распределения получим в следующем виде:

σ 2k = n(n − 1) p2 + np − (np) 2 = (np)2 − np2 + np − (np)2 = np(1 − p) .

Имея в виду, что p = 1- q, вынося за скобки np и nq и произведя далее очевидные математические действия, придем в виду:

Если n→∞, то u/np<<1 и u/nq<<1. Поэтому в вы-

25

ражении под радикалом можно оставить только единицу. Этого делать нельзя по отношению к двум последним сомножителям, так как они возводятся в более высокие степени.

Прологарифмируем последнее выражение:

Разложим логарифмические функции в ряд по

Ограничиваясь первыми двумя слагаемыми, полу-

чим:

Подставив эти выражения в первоначальную формулу и произведя алгебраические преобразования, учтя при этом, что p+q =1, получим:

Отсюда, возвращаясь к старой переменной и потенцируя, получим искомое выражение:

Это и есть распределение Лапласа-Гаусса. Поскольку при выводе этой зависимости использовалась приближенная формула Стирлинга для факториалов, которая справедлива только при n >10, то и распределение Лапла- са-Гаусса также справедливо только при n >10. При n→∞ распределение Лапласа-Гаусса совпадает с биномиальным распределением.

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

26

кулы заключена в интервале [υx, υy, υz, υx+dυx, υy+dυy, υz+dυz], по закону умножения вероятностей выражается в виде:

dP(υx ,υy ,υz )= A 3e−[α(υx2 +υy2 +υz2 )]dυxdυydυz . (П3)

Постоянная А находится из условия нормировки:

− ∞ − ∞ − ∞

Это условие означает следующее: вероятность того, что скорость молекулы может быть любой внутри интервала (-∞,∞), равна единице, то есть это событие является абсолютно достоверным.

28

чим: mυ2 = 3m .

2 4a

Используя связь между средней кинетической энергией молекул и температурой: mυ22 = 32 kT , получим выраже-

ние для α: α = m 2 kT .

С учетом полученного выражения и формулы (П5) уравнение для вероятности (П3) примет вид:

От распределения проекций скорости перейдем к распределению модуля скорости. Для этого, поскольку распределение скоростей изотропно, нужно перейти в сферическую систему координат в пространстве скоростей и

проинтегрировать уравнение (П6) по сферическому слою толщиной du, радиус которого равен u=(ux2+uy2+uz2)1/2.

Тогда имеем: duxduyduz=u2dW×du,

где dW - телесный угол, под которым из начала координат виден элемент поверхности сферического слоя. Очевидно, интеграл по всей поверхности сферического

слоя равен:

∫υ 2dΩ = υ 2 ∫ dΩ = 4πυ 2 .

Ω = 4π Ω = 4π

Поэтому в результате интегрирования в (П6) по сферическому слою толщиной du получаем вероятность нахождения модуля скорости молекулы в интервале скоро-

стей [u, u+du]:

− mυ 2

dP(u) = 4p (m2pkT )32 e 2 kT u 2 du .

Функция

29

называется плотностью распределения вероятностей Максвелла. Поскольку молекулы движутся независимо и случайно, число молекул dn(u), скорости которых заключены в интервале [u, u+du], равно:

d n(u)=n×dP(u),

где n - полное число молекул в системе. Относительное число молекул в интервале

[u, u+du] равно: dn(u ) = dP(u ) = f (u )× du , или, с учетом n

(П7), получим закон Максвелла распределения молекул по скоростям:

30

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ БОЛЬЦМАНА

1. Цель работы

1.1. Изучить экспериментальный метод определения постоянной Больцмана.

1.2. Определить величину постоянной Больцмана и оценить погрешность измерения.

2. Краткое теоретическое ведение

Согласно современным представлениям, все вещества состоят из молекул и атомов, которые находятся в непрерывном хаотическом движении. Между частицами вещества действуют силы взаимного притяжения и отталкивания, убывающие обратно пропорционально расстоянию в определенной степени. В зависимости от интенсивности хаотического движения и сил взаимодействия между молекулами, которые зависят от внешних условий (температуры, давления), различают три агрегатных состояния вещества: твердое, жидкое, газообразное. С изменением внешних условий наблюдается переход вещества из одного состояния в другое – фазовый переход первого рода. В газообразном состоянии тепловое движение наиболее интенсивно, а силы взаимодействия малы. Пренебрегая взаимодействием молекул и размерами, получаем модель идеального газа как совокупности материальных точек, не взаимодействующих друг с другом и находящихся в непрерывном хаотическом движении. Ясно, что такая модель газа выбрана для простоты расчета. Реальный газ, конечно, не удовлетворяет таким представлениям, однако, если газ находится под небольшим давлением, то по своим свойствам он приближается к идеальному. Несмотря на существенные упрощения, представления об идеальном газе позволяют находить зависимость макроскопических параметров

39