m4sbornik

4. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задание: В задачах методом Гомори (или методом ветвей и границ) найти

оптимальные решения задач целочисленного линейного программирования

1.Z 3x1 2x2 max

при ограничениях:

x1 x2 13,x1 x2 6,

3x1 x2 9,

x1 0,x2 0,

x1,x2 - целые числа

2.Z 5x1 7x2 min

при ограничениях:

3x1 14x2 78,5x1 6x2 26,

x1 4x2 25,

x1 0,x2 0,

x1,x2 - целые числа

3.Z 2x1 x2 max

при ограничениях:

6x1 4x2 24,

3x1 3x2 9,x1 3x2 3,

x1 0,x2 0,

x1,x2 -целые числа

4.Z 6x1 x2 min

при ограничениях:

3x1 x2 9,

2x1 3x2 50,

x1 4x2 18,

x1,x2 - целые числа

21

5.F 16x1 9x2 max

при ограничениях:

5x1 2x2 20,

x1 x2 6

x1 0,x2 0,

x1,x2 - целые числа

6.F 2x1 3x2 min

при условиях:

2x1 x2 9,3x1 4x2 3

x1 0,x2 0,

x1,x2 - целые числа

7.F 3x1 x2 max

при условиях:

2x1 3x2 6,

2x1 3x2 3,

x1 0,x2 0,

x1,x2 - целые числа

8.F 4x1 x2 max

при условиях:

4x1 2x2 7,

3x1 10x2 15

22

10.

Z(X) 3х1 -3х2 2х3 -2х4 → max,

11.

Z(X) -2х1 -4х2 5х3 -7х4 → max

12.

13.

Z(X) 3х1 2х2 -7х3 → min,

-х1 -3х2 2х3 ≥ 3,

-2х2 3х3 ≤ 4,

-3х2 4х3 ≤ 7,

хi ≥ 0, i, хi -целые.

14.

Z(X) 6х1 -3х2 -3х3 → max,

2х1 х2 -3х3 5,

хi ≥ 0, i, хi -целые.

23

15.

4x1 3x2 max, 3x1 2x2 8,

x1 4x2 10, x1 0,x2 0, x1,x2 целые.

16.

F(x) х1 2х2 3х3 mах;

17.

F(x) = 3x1+3х2 mах

x1 + 3х2 ≥ 3

3 x1 + 2х2 ≤ 36

3x1 + х2 ≤15 х2 ≤ 13

x1,х2 ≥ 0 и целые;

18.

F(x) = 3x1+4х2 mах

3x1 + 2х2 ≤ 8

x1 + 4х2 ≤ 10 x1,х2 ≥ 0 и целые.

19.

Z(X) = x1+5x2 + x3 - x4 → max,

x1 2x2 x3 3,2x1 x2 x4 4,

xj 0, j 1, 2, 3, 4. и целые.

20.

Z(X) = -3x1 - 5x2 + x3+ x4 → min,

2x1 3x2 x3 6,x1 3x3 x4 3,

xj 0, j 1, 2, 3, 4. и целые.

24

5. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Задание 1: Использовать аппарат теории двойственности для экономико-

математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Вариант 1

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3

единицы сырья III вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вариант 2

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

25

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от

реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья II и III видов на 120 и 160 единиц соответственно и уменьшении на 60

единиц запасов сырья I вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вариант 3

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8'и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

•оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

26

Вариант 4

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и III видов на 4 единицы каждого;

•ценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2 единицы каждого вида сырья, и изделия Д ценой 12 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Вариант 5

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой

продукции.

27

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на . 18 единиц;

•оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70

единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Вариант 6

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II — уменьшить на 9 кг;

•оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 11 единиц, на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья.

28

Вариант 7

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

•оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единицы соответственно.

Вариант 8

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой

продукции.

29

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II — уменьшить на 5 единиц;

• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е.,

если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

Вариант 9

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

•определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

•оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2,4 и 3 единицы.

30