math_logic_lectures (1)

Замкнутые классы

Класс булевых функций C называется замкнутым, если суперпозиция любых функций из C снова лежит в C.

Примеры:

1.2.

2.Класс всех коньюнкций { 1, 1 2, 3 4 1, . . .}.

3.Класс всех многочленов не выше первой степени

{0, 1, 1, 2 + 3, . . .}.

Замыканием системы функций B называется множество всех функций, которые могут быть получены как суперпозиция функций из B. Обозначается [B].

Замечание1 2 является замыканием любой полной системы функций.

Замечание2 Замыкание любой системы функций является замкнутым классом.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Важные примеры

Говорят, что функция ( 1, 2, . . . , ) сохраняет 0, если

(0, 0, . . . , 0) = 0.

Лемма Класс всех функций сохраняющих 0 ( 0) замкнут.

Говорят, что функция ( 1, 2, . . . , ) сохраняет 1, если

(1, 1, . . . , 1) = 1.

Лемма Класс всех функций сохраняющих 1 ( 1) замкнут.

Для функции ( 1, 2, . . . , ), двойственной функцией будем называть *( 1, 2, . . . , ) = ( 1, 2, . . . , ).

Функция называется самодвойственной, если = * .

Лемма Класс всех самодвойственных функций ( ) замкнут.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Важные примеры

Функция называется линейной, если ее представление в виде полинома Жегалкина есть линейный многочлен.

Лемма

Класс всех линейных функций ( ) замкнут.

Введем порядок на множестве наборов аргументов функции: пусть набор ( 1, 2, . . . , ) < ( 1, 2, . . . , ), если ≤ для любого 1 ≤ ≤ .

Функция называется монотонной, если для любых, {0, 1} , из того что ≤ , следует что ( ) ≤ ( ).

Лемма

Класс всех монотонных функций ( ) замкнут.

Лемма

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Теорема о полноте

Лемма о несамодвойственной функции

Если ̸ , то из нее путем подстановки и можно получить константу.

Лемма о нелинейной функции

Если ̸ , то из нее путем подстановки 0, 1, , и взятия, если необходимо, отрицания самой функции, можно получить коньюнкцию.

Лемма о немонотонной функции

Если ̸ , то из нее путем подстановки 0, 1 и можно получить функцию .

Теорема о функциональной полноте

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Индекс простоты

Индексом простоты называется функция (R) от ДНФ R, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1.Неотрицательность: R (R) ≥ 0.

2.Монотонность (относительно умножения): пусть R = R′ ′, тогда (R) ≥ R′ ′.

3.Выпуклость (относительно сложения): пусть R = R1 R2, где R1 и R2 не имеют общих членов, тогда

(R) ≥ (R1) + (R2).

4.Инвариантность (относительно изоморфизма): переименование переменных не меняет .

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Примеры

I— число символов переменных в записи ДНФ.

I— число элементарных коньюнкций.

I0 — число символов отрицания.

ДНФ реализующая функцию , и имеющая минимальный индекс называется минимальной относительно .

ДНФ минимальную относительно будем называть

минимальной.

ДНФ минимальную относительно будем называть

кратчайшей.

Задача построения ДНФ минимальной относительно данного индекса называется проблемой минимизации булевых функций.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Геометрическая постановка задачи

Обозначим — множество векторов ( 1, 2, . . . , ) {0, 1} . Его можно рассматривать как множество вершин -мерного двоичного куба. Так как других точек мы не рассматриваем, то будем называть — двоичным кубом, а набор ( 1, 2, . . . , ) — его вершиной.

Пусть 1 , 2 , . . . , — фиксированная система чисел из {0, 1},

такая что 1 ≤ 1 < 2 < . . . < ≤ . Множество всех вершин ( 1, 2, . . . , ) куба , таких что , 1 ≤ ≤ , = называется − -мерной гранью куба .

Пусть ( 1, . . . , ) — булева функция. Сопоставим ей подмножество вершин куба , так что ( 1, 2, . . . , ) тогда и только тогда, когда ( 1, 2, . . . , ) = 1.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Геометрическая постановка задачи

Возьмем в качестве исходной функции элементарную

соответствующее этой коньюнкции представляет из себя ( − )-мерную грань.

Пусть функция обладает ДНФ R = 1 2 . . . , тогда

= 1 2 . . . — есть покрытие множества гранями, соответствующими коньюнкциям ДНФ R.

Рангом − -мерной грани называется число . А рангом покрытия называется сумма рангов входящих в него граней.

Геометрическая форма

Проблема минимизации ДНФ функции эквивалентна поиску покрытия множества минимального ранга.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ

Сокращенная ДНФ

Грань называется максимальной относительно , если не существует такой грани ′ , что ′ .

Коньюнкция , соответствующая максимальной грани

называется простой импликантой.

ДНФ являющаяся дизъюнкцией всех простых импликант функции называется сокращенной ДНФ, будем обозначать ее

R .

Алгоритм построения

Берем любую КНФ функции (например совершенную), и раскрываем все скобки. После этого удаляем все нулевые, поглощаемые и дублирующие члены, т.е. выполняем преобразования вида 1 2 1 = 1 и 1 1 = 1. В результате придем к сокращенной ДНФ.

Леонид

Шалагинов

Нормальные

формы

Полнота и замкнутость

Минимизация

ДНФ