combinatoric_lectures
.pdf
Пример для правила суммы и произведения
Пример:
бросаются два игральных кубика, сколько существует комбинаций, при которых сумма очков на кубиках четная?
Решение:
Для четной суммы необходимо, чтобы числа на кубиках были либо оба четными, либо оба нечетными. Количество четных и нечетных чисел, на каждом кубике равно 3. Каждая комбинация состоит из двух чисел ( , ), где - число на первом кубике, а - на втором. Множества четных и нечетных чисел не пересекаются. Тогда общее количество комбинаций равно 3*3 + 3*3.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Задачи на правила суммы и произведения
1. Задано разложение числа на простые множители
1 |
2 |
|
, найти количество делителей этого числа. |
= 1 |
2 |
. . . |
2.Сколько существует двоичных векторов длины .
3.Сколько существует комбинаций из 5 карт, среди которых не более 1 карты одного значения?
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Теорема о мощности объединения множеств
Теорема (Формула включения-исключения)
Пусть { | = [1, . . . , ]} - покрытие множества , тогда
| | = (| 1|+ | 2|+ . . . + | |) −(| 1 ∩ 2|+ . . . | −1 ∩ |) + . . . +
|
|
|
|
(−1) +1(| 1 ∩ 2 ∩ . . . ∩ |) = |
=1(−1) −1 |
| |
=1 |. |
|
∑ |
1 , ∑2 ,..., |
|
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Применение теоремы о мощности объединения множеств
= ∩ .
|1| = 14, |2| = 15, |3| = 12, |12| = 5, |13| = 7, |23| = 8, |123| = 3, найти |1 ∩ 2 ∩ 3|.
Решение:
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
|1 ∩ 2 ∩ 3| = (|1| + |2| + |3|) − (|12| + |13| + |23|) + (|123|) = 14 + 15 + 12 − 5 − 7 − 8 + 3 = 24
Применение теоремы о мощности объединения множеств
Задача:
В компании 12 человек используют mozilla firefox, 7 человек - opera, 9 - chrome и 1 человек internet explorer. 5 человек используют и mozilla и chrome, 4 человека - mozilla и opera, 3 человека - opera и chrome, 2 человека - mozilla, opera и chrome. Сколько всего человек в этой компании?
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Понятие функции
Функцией (отображением), действующей из множества в множество ( : → ), называется правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие ровно один элемент множества . Множество называется областью определения функции, а множество - множеством значений. Если является образом элемента под действием функции , то пишут ( ) = , называют образом , а - праобразом . Множество всех образов из , называется образом множества
, ( ) = { ( )| }.
Отображение называется инъективным, если образы различных элементов различны, если 1 ̸= 2, то ( 1) ̸= ( 2).
Отображение называется сюрьективным, если каждый элемент имеет праобраз, , , ( ) = .
Отображение называется биективным, если оно является инъективным и сюрьективным.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Способы задания функций
1. Таблицей:
1 2 3
( ) 1 4 9
2.Аналитически:
= , ( ) = ln .
3.Графиком:
√
= 1 − 1 − 2, [−1, 1].
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Примеры функций
1.Определитель матрицы ( ) : [ ] → , где
= , , , .
2.Длина вектора (| |) : → .
3.Целая часть числа ([ ]) : → .
4.Квадрат натурального числа ( 2) : → .
Задание:
Для каждой функции определить является ли она инъективной, сюрьективной, биективной.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Теорема об отображении множества самого на себя
Теорема
Пусть функция : → , тогда следующие утверждения эквивалентны
1.- инъективна,
2.- сюрьективна,
3.- биективна.
Такое отображение множества самого на себя называется
перестановкой.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Число сочетаний
Пусть - множество мощности > 0, и ≥ 0, тогда число подмножеств мощности в называется числом сочетаний из
по и обозначается или иногда ( ).
Пример:
Пусть = {1, 2, 3}, тогда у множества всего 3 двухэлементных подмножества: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. То есть 32 = 3.
Теорема(О рекуррентном соотношении для числа сочетаний)
1. 0 = = 1,
2. = 0, при > ,
3. = −1 + − .
−1 1
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей