Алгебра (Кораблев)

Решение. 1. Для того, чтобы доказать, что отображение ' является линейным, необходимо проверить два свойства:

1.Для любых векторов a; b 2 R3 справедливо равенство '(a + b) = '(a) + '(b);

2.Для любого вектора a 2 R3 и любого числа 2 R справедливо равенство '( a) =

'(a).

1.1.Пусть a = (a1; a2; a3) и b = (b1; b2; b3). Тогда a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3). Найдем значение '(a + b):

'(a + b) = '(a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3) = ( (a1 + b1) + (a2 + b2) 3(a3 + b3);

(a1 + b1) (a2 + b2) + 3(a3 + b3); (a2 + b2) + 2(a3 + b3); (a1 + b1) + (a2 + b3)):

Раскроем скобки и соберем компоненты векторов a и b по отдельности. Получим:

'(a + b) = (( a1 + a2 3a3) + ( b1 + b2 3b3); (a1 a2 + 3a3) + (b1 b2 + 3b3);

( a2 + 2a3) + ( b2 + 2b3); (a1 + a3) + (b1 + b3)):

Найдем теперь значения '(a) и '(b) по отдельности:

'(a) = ( a1 + a2 3a3; a1 a2 + 3a3; a2 + 2a3; a1 + a3); '(b) = ( b1 + b2 3b3; b1 b2 + 3b3; b2 + 2b3; b1 + b3):

Тогда:

'(a) + '(b) = ( a1 + a2 3a3; a1 a2 + 3a3; a2 + 2a3; a1 + a3)+

+( b1 + b2 3b3; b1 b2 + 3b3; b2 + 2b3; b1 + b3) =

=(( a1 + a2 3a3) + ( b1 + b2 3b3); (a1 a2 + 3a3)+

+(b1 b2 + 3b3); ( a2 + 2a3) + ( b2 + 2b3); (a1 + a3) + (b1 + b3)) = '(a + b):

1.2.Пусть a = (a1; a2; a3) и 2 R. Тогда a = ( a1; a2; a3). Найдем значение '( a):

'( a) = '( a1; a2; a3) = ( a1 + a2 3 a3; a1 a2 + 3 a3; a2 + 2 a3; a1 + a3):

Вынесем коэффициент за скобки в каждой компоненте получившегося вектора. Получим:

'( a) = ( ( a1 + a2 3a3); (a1 a2 + 3a3); ( a2 + 2a3); (a1 + a3)) = = ( a1 + a2 3a3; a1 a2 + 3a3; a2 + 2a3; a1 + a3) = '(a):

Таким образом, отображение ' действительно является линейным.

21

2. Найдем матрицу отображения ' в стандартных базисах пространств R3 и R4. Напомним, что стандартный базис пространства R3 состоит из векторов

e1 = (1; 0; 0) e2 = (0; 1; 0) e3 = (0; 0; 1)

Стандартный базис пространства R4 состоит из векторов

f1 = (1; 0; 0; 0) f2 = (0; 1; 0; 0) f3 = (0; 0; 1; 0) f4 = (0; 0; 0; 1)

Чтобы найти матрицу отображения ' в базисах fe1; e2; e3g и ff1; f2; f3; f4g достаточно найти образы векторов e1; e2; e3 под действием отображения ' и найти координаты этих образов в базисе ff1; f2; f3; f4g.

'(e1) = '(1; 0; 0) = ( 1; 1; 0; 1) = f1 + f2 + f4 '(e2) = '(0; 1; 0) = (1; 1; 1; 0) = f1 f2 f3

'(e3) = '(0; 0; 1) = ( 3; 3; 2; 1) = 3f1 + 3f2 + 2f3 + f4

Записав координаты образов векторов e1; e2; e3 в базисе ff1; f2; f3; f4g в столбцы матрицы, получим искомую матрицу линейного отображения

Задача 11. Найти базис ядра и образа линейного отображения, заданного в некотором базисе матрицей

Решение. 1. Пусть матрица из условия задачи задает линейное отображение ': R4 ! R4.

Напомним, что

ker' = fx 2 R4j'(x) = 0g:

22

Пусть x = (x1; x2; x3; x4). Вектор x является элементом ядра тогда и только тогда,

Тогда условие '(x) = 0 эквивалентно следующей системе линейных однородных уравнений:

8

>x1 + 2x2 x3 + x4 = 0

>

>

<2x1 + x2 x3 = 0

>>3x1 + 3x2 2x3 + x4 = 0

>

: 3x2 + x3 2x4 = 0

Базисом ядра ker' является в точности базис пространства решений этой системы линейных однородных уравнений. Найдем его (то есть фундаментальную систему решений):

Мы привели матрицу коэффициентов исходной системы к “каноническому” виду, так как первый и третий столбы как раз образуют единичную подматрицу. Из получившейся матрицы следует, что неизвестные x1; x2; x3; x4 связаны соотношениями:

(

x1 = x2 + x4 x3 = 3x2 + 2x4

Следовательно фундаментальная система решений состоит из двух векторов:

e1 = (1; 1; 3; 0) e2 = (1; 0; 2; 1)

Векторы e1; e2 образуют базис ядра линейного преобразования '. 2. Найдем базис образа Im'. Напомним, что

Im' = fx 2 R4j9y 2 R4; '(y) = xg:

23

то столбцы этой матрицы являются образами под действием отображения ' базисных векторов пространства R4. Образ полной системы векторов является полной системой в образе Im', поэтому следующие векторы:

f1 = (1; 2; 3; 0) f2 = (2; 1; 3; 3)

f3 = ( 1; 1; 2; 1) f4 = (1; 0; 1; 2)

образуют полную систему в образе Im'. Векторы f1; f2; f3 и f4 составлены из столбцов матрицы отображения '. Чтобы найти базис, достаточно выделить из них максимальную линейно независимую подсистему. Составим линейную комбинацию:

1f1 + 2f2 + 3f3 + 4f4:

Подставив числовые значения векторов f1; f2; f3; f4 и приравняв эту линейную комбинацию к нулевому вектору пространства R4, получим:

( 1 + 2 2 3 + 4; 2 1 + 2 3; 3 1 + 3 2 2 3 + 4; 3 2 + 3 2 4) = (0; 0; 0; 0):

Неизвестные 3 и 4 являются свободными, следовательно каждый из векторов f3; f4 линейно выражается через векторы f1; f2. Тогда максимальной линейно независимо подсистемой является система, состоящая из векторов f1 и f2.

Ответ. Базис ядра: e1 = (1; 1; 3; 0); e2 = (1; 0; 2; 1). Базис образа: f1 = (1; 2; 3; 0); f2 = (2; 1; 3; 3).

Задача 12. Найти какой-нибудь прообраз вектора (1; 2; 3) под действием линейного отображения, заданного в некотором базисе матрицей

0 1

2 1 1

@1 4 2 A : 1 3 3

24

Решение. Пусть ': R3 ! R3 отображение, заданное в некотором базисе матрицей

0 1

2 1 1

@1 4 2 A : 1 3 3

Прообраз вектора (1; 2; 3) это такой вектор x = (x1; x2; x3) 2 R3, что справедливо соотношение:

'(x) = (1; 2; 3):

Найдем образ вектора x под действием отображения ':

Тогда равенство '(x) = (1; 2; 3) эквивалентно следующей системе линейных уравнений:

8

>2x1 x2 + x3 = 1

<

x1 + 4x2 + 2x3 = 2

>

:x1 + 3x2 + 3x3 = 3

Будем решать эту систему методом Гаусса, приводя ее матрицу к ступенчатому виду:

Неизвестная x3 является свободной, следовательно исходная система имеет бесконечно много решений. Это означает, что у вектора (1; 2; 3) сущесвтует бесконечно много прообразов. Найдем один из них.

Неизвестные x1; x2 связаны с x3 следующими соотношениями:

(

x1 = 67 67 x3 x2 = 57 57 x3

Выбрав x3 = 1, найдем одно из решений исходной системы:

(0; 0; 1):

Таким образом, вектор x = (0; 0; 1) является прообразом вектора (1; 2; 3) под действие отображения '.

Ответ. (0; 0; 1).

25

Задача 13. Пусть линейное отображение ': V ! W в базисах fe1; e2; e3g пространства

жения ' в базисах fe1 + e2 + e3; e1 + e2; e1 + e2g и f2f1 + f2; f1 + f2g.

e03 = e1 + e2

Матрицы A и A0 связаны соотношением:

A0 = Tf!1 f0 A Te!e0 ;

где Te!e0 матрица перехода от базиса fe1; e2; e3g к базису fe01; e02; e03g, и Tf!f0 матрица перехода от базиса ff1; f2g к базису ff10; f20g. Так как векторы e01; e02; e03 и f10; f20 заданы, как линейные комбинации векторов e1; e2; e3 и f1; f2 соответственно, то

01

Найдем обратную матрицу Tf!1 f0 :

26

4Инвариантные подпространства

Задача 14. Линейное преобразование ' задано в некотором базисе матрицей

Найти собственные векторы и собственные значения преобразования '.

Решение. 1. Найдем собственные значения преобразования '. Напомним, что собственные значения это корни уравнения

det(A E) = 0;

=(2 )( (1 )2 2 + 2 2(1 ) + + 2(1 )) =

=(2 )( (1 )2) = (2 ) (1 1 + )(1 + 1 ) = (2 )2 2

Тогда корнями уравнения det(A E) = 0 являются 1 = 2; 2 = 0, причем оба корня имеют кратность 2.

2. Найдем собственные векторы, отвечающие собственным значениям 1 и 2.

2.1. 1 = 2. Напомним, что ненулевой вектор v является собственным вектором, отвечающим собственному значению 1 = 2, тогда и только тогда, когда выполняется условие:

A(v) = 2 v:

Пусть v = (v1; v2; v3; v4). Найдем образ вектора v под действием преобразования A:

27

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора (0; 1; 0; 1). Собственные векторы, отвечающие собственному значению 2, образуют пространство размерности 1, поэтому ищется базис этого пространства. Найденный вектор из фундаментальной системы решений образует базис этого пространства, и следовательно является собственным вектором, отвечающим собственному значению 2 = 0.

Ответ. Собственный вектор (1; 0; 0; 1) отвечает собственному значению 1 = 2. Собственный вектор (0; 1; 0; 1) отвечает собственному значению 2 = 0.

Задача 15. Доказать, что преобразование A, заданное в некотором базисе матрицей

имеет в некотором другом базисе диагональный вид и найти этот вид.

Уравнение det(A E) = 0 имеет три корня:

1 = 12 = 33 = 4

Так как кратность каждого корня равна 1, то базис каждого из пространств собственных векторов, отвечающих этим собственным значениям, состоит ровно из одного вектора. Преобразование A в базисе из этих собственных векторов имеет диагональный вид

где по главной диагонали стоят собственные значения преобразования A.

0 1

1 0 0

Ответ. @ 0 3 0 A.

0 0 4

29