Дифференциальные уравнения
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 21 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
1.4. Список литературы а) Основная литература:
1)(*)Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / В.И. Арнольд. – М: МЦНМО, 2012. – 352с.
2)Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Ю.Н. Бибиков. – СПб.: Лань, 2011. – 304с.
3)Понтрягин, Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения [Текст] / Л.С. Понтрягин. – М.: Едиториал УРСС, 2011. – 208с.
4)Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений [Текст] / В.В.
Степанов. – М.: ЛКИ, 2008. – 472с.
5)Филиппов, А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений [Текст] / А.Ф. Филиппов. – М.: КомКнига, 2010. –240с.
6)Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям
[Текст] / А.Ф. Филиппов. – М.: ЛКИ, 2011. –240с.
б) Дополнительная литература:
1)Дмитриев, В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / В.И. Дмитриев. – М.: КДУ, 2007. – 220с.
2)Зайцев, В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. – М.: ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2001. – 576с.
3)Камке, Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Э. Камке. – М.: Наука, 1971. – 576с.
4)Краснов, М.Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры [Текст] / М.Л. Краснов, Л.И. Киселев, Г.И. Макаренко.
– М.: КомКнига, 2005. – 256с.
5)Матвеев, Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / Н.М. Матвеев. – СПб.: Лань, 2003. – 896с.
6)(*)Матвеев, Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям [Текст] / Н.М. Матвеев. – М.: Рос-
вузиз-дат., 1962. – 432с.
7)(*)Петровский, И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Текст] / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1970. – 280с.
8)(*)Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст] / Л.С. Понтрягин. – М.: Наука. 1965, – 400с.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 22 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
9)Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения [Текст] / А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева, А.Г. Свешников. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998. – 232с.
10)(*)Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения [Текст] / Л.Э. Эльсгольц. – М.: КомКнига, 2006. – 312с.
(* Имеется в библиотеке Троицкого филиала «ЧелГУ».)
1.5.Электронная коллекция
1)http://lib.mexmat.ru/ - Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета. Возможность читать все книги из списка литературы бесплатно.
2)http://math.semestr.ru/math/diffur.php - помощь в решении задач по
разделам «Общая теория дифференциальных уравнений и систем»
и«Линейные уравнения и системы»
3)http://www.tuio.math.csu.ru/data/files/documents/cyrsovayaNEW.pdf -
методическая разработка «Методические указания к выполнению курсовых работ по дифференциальным уравнениям»
4)http://www.tuio.math.csu.ru/data/files/documents/metodukaz.pdf - мето-
дические рекомендации по теме «Первые интегралы и уравнения в частных производных»
5)http://www.math.csu.ru/index.php?option=com_content&view=article&id =48&Itemid=56 – вопросы для подготовки к экзамену
6)http://www.math.csu.ru/?option=com_content&view=article&id=82&Item id=73 - Алеева С.Р.Задачи по курсу "Дифференциальные уравнения"
2.Методические рекомендации преподавателю
Осодержании занятий: Теория дифференциальных уравнений дает углубленные знания о природе и служит средством для построения математических моделей различных процессов. Цель проведения занятий по данной учебной дисциплине это изложить в систематическом виде общую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, чтобы студенты имели ясное представление об идеях и методах и способах решения задач этой теории, являющейся одной из важнейших ветвей анализа.
При проведении лекционных занятий ясно и, по возможности, коротко именуется тема лекции. Все формулировки должны быть с четким выделением
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 23 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
предположений и утверждений из них следующими. Формулировки утверждений (любого уровня) и определений нумеруются для удобства ссылок на них. Слова «очевидно» и «просто» при проведении любых занятий использовать не следует. Из-за сложности доказательств, следует особое внимание уделить темам: «Непродолжаемые решения», «Непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, начальных значений и параметров», «Непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, начальных значений и параметров», «Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости», «Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению» в 4 семестре, необходимо снабдить изложение теоретического материала конкретными примерами. Вообще, по возможности, каждая лекция должна сопровождаться примерами и конкретными задачами для иллюстрации изложенного теоретического материала.
При проведении практических занятий следует брать за основу сборник задач по дифференциальным уравнениям, составленный Филипповым А.Ф.[6]. В рабочей программе для практических занятий предоставлен примерный план решения задач по соответствующим темам на практических занятиях, а также задания для самостоятельной работы студентов, названные домашними заданиями (Д/З). О проведении промежуточной контрольной работы, ее сроках и темах в нее входящих, студентов необходимо предупреждать за 2 недели. Давая им тем самым возможность подготовиться в полном объеме.
В 3 семестре особое внимание при проведении практических занятий следует уделить темам: «Уравнения с разделяющимися переменными. Задача Коши», «Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Квазимногочлены. Задача Коши», «Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами», так как эти темы являются базовыми и наиболее часто используются в дальнейшем обучении. В 4 семестре особое внимание следует уделить темам: «Теоремы существования и единственности», «Устойчивость по Ляпунову, определение», «Исследование на устойчивость по первому приближению», «Функция Ляпунова» из-за фундаментальности рассматриваемых теорем; «Производная решения по параметру», «Производная решения по начальному условию» из-за сложности в понимании студентами данных тем; «Уравнения в частных производных первого порядка», так как данная тема является переходной к занятиям учебной дисциплине «Уравнения математической физики» в 5 семестре.
Оформе проведения занятий: Предусматривается широкое использование
вучебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития профессио-
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 24 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
нальных навыков обучающихся. Эффективность применения интерактивных форм обучения обеспечивается реализацией следующих условий:
создание диалогического пространства в организации учебного процесса;
использование принципов социально-психологического обучения в учебной и научной деятельности;
формирование психологической готовности преподавателей к использованию интерактивных форм обучения. Они направлены на развитие внутренней активности студента и достижения ряда важнейших образовательных целей. Таких как: стимулирование мотивации и интереса в области углубленного изучения теории математического моделирования в общеобразовательном, общекультурном и профессиональном плане; повышение уровня активности и самостоятельности научно-исследовательской работы; развитие навыков анализа, критичности мышления, научной коммуникации.
При проведении лекционных занятий целесообразно использовать такие формы проведения занятий как «Проблемная лекция», «Лекция с заранее запланированными ошибками» и «Лекция–пресс-конференция»; при проведении практических занятий применять «Мозговой штурм».
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет 50% от аудиторных занятий.
3. Методические рекомендации студенту
Изучение каждой темы следует начинать с проработки соответствующего теоретического материала в учебниках [а)1], [а)2], [а)3], [а)4], [а)5], [б)1], [б)7], [б)8], [б)9], [б)10] или использовать собственный конспект лекций данной дисциплины. Для усвоения теоретического материала также нужно разобрать предлагаемые в лекционном материале примеры. Только затем следует закрепить разобранный материал изучаемой темы самостоятельным решением предлагаемых домашних заданий. Самостоятельная работа над задачами дисциплины может, кроме основного источника [а)6], проводится по задачникам [б)4], [б)6]. Не стоит пренебрегать и справочной литературой [б)2], [б)3], [б)5]. Успешное написание промежуточных контрольных работ возможно только при внимательном, всестороннем и качественном изучении тем практических занятий, предшествующих данной работе и объявленных преподавателем.
Необходимо тщательно и добросовестно изучить основную и дополнительную литературу, использовать электронную коллекцию. Активная и добросовестная, систематическая работа в течение семестра, проявление инициативы
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 25 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
на лекционных и практических занятиях, постоянное выполнение домашних, контрольных и самостоятельных работ являются необходимым условием достаточного овладения материалом учебной дисциплины и успешного прохождения итоговой аттестации по дисциплине.
4. Требования (критериальные показатели) к уровням освоения программы
Формы контроля:
-текущий контроль осуществляется путем регулярного решения задач на практических занятиях и обсуждения домашних заданий;
-промежуточный контроль осуществляется в форме проверочных контрольных работ;
-итоговый контроль осуществляется в форме письменного экзамена в конце
каждого семестра.
Итоговый экзамен: проводится в присутствии преподавателя и предполагает развернутый ответ на вопросы, а также решение задач. Вопросы составляются с учётом материала, пройденного как на лекционных занятиях, так и на практических занятиях. Время, отводимое на выполнение итоговой работы, 2 астрономических часа (120 минут).
Критерии оценки знаний студентов на экзамене:
«Отлично» – выставляется студенту в том случае, если он: глубоко и правильно усвоил программный материал, последовательно, грамотно и логически стройно его излагает; владеет основными математическими методами и алгоритмами решения задач; умеет строить математические модели, увязывать теорию с практикой, показывает умение применять знания.
«Хорошо» – выставляется студенту, если: он твердо знает программный материал, грамотно и по существу его излагает; владеет основными математическими методами; не допускает существенных ошибок, но и испытывает затруднения в выводах и доказательствах; умеет применять основные положения и формулы для решения задач.
«Удовлетворительно» – выставляется студенту в том случае, если он: имеет знания только основного материала, но не умеет делать выводов и доказательств; допускает ошибки, недостаточно правильные формулировки; с трудом увязывает основные положения с практикой.
«Неудовлетворительно» – выставляется студенту в том случае, если он: не знает основополагающих вопросов изучаемой дисциплины или значительной
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 26 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
части программного материала; допускает ошибки, обнаруживает неумение их исправлять; не может увязать теорию с практикой.
5.Фонды оценочных средств
5.1.Контрольные работы
Контрольная работа №1 по теме «Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной».
Контрольная работа №2 по теме «Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами».
Контрольная работа №3 – Контроль знаний, полученных на ПЗ №19-23. Контрольная работа №4 – Контроль знаний, полученных на ПЗ №25-35.
5.2. Вопросы для итоговой оценки качества освоения дисциплины
Вопросы к экзамену 3 семестр
1.Определение дифференциального уравнения и решения дифференциального уравнения. Задача Коши и краевая задача.
2.Геометрическое истолкование дифференциального уравнения (векторное поле) и его решения (интегральная кривая).
3.Задача обратная решению дифференциального уравнения.
4.Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
5.Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.
6.Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения.
7.Комплексная функция. Нормальная система дифференциальных уравнений. Расщепление комплексной системы на систему действительных уравнений.
8.Теорема существования и единственности (формулировка). Теорема существования и единственности для уравнения n-го порядка (формулировка).
9.Экспонента комплексного числа, свойства.
10.Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях, свойства решений (с доказательством).
11.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение оператора L p , его свойства. Доказательство формулы:
L p e t L e t.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 27 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
12.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней). Теорема о виде решения.
13.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней). Действительное решение уравнения с действительными коэффициентами.
14.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней). Формула смещения. Предложение о семействе функций
0 t , 1 t , , k 1 t , k t .
15.Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней). Теорема о виде решения.
16.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Вид решения. Определение квазимногочлена. Теорема о виде частного решения.
17.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Свойство квазимногочленов.
18.Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами. Случай простых корней характеристического уравнения.
19.Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами. Общий случай.
20.Нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Простейшие свойства решений однородной системы. Линейная зависимость системы решений.
21.Нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений. Её существование, выражение решения с помощью фундаментальной системы решений.
22.Нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Детерминант Вронского. Соответствие между произвольной матрицей с ненулевым определителем и фундаментальной матрицей линейной системы.
23.Нормальная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Правило дифференцирования детерминанта. Формула Лиувилля.
24.Нормальная неоднородная система линейных уравнений с переменными коэффициентами. Вид решения. Метод вариации постоянных.
25.Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Сведение к нормальной линейной системе. Эквивалентность решения уравнения и системы.
26.Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Линейная независимость. Фундаментальная система решений. Её существование, выражение решения с помощью фундаментальной системы решений.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 28 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
27.Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Детерминант Вронского. Формула Лиувилля.
28.Линейные уравнения n-го порядка с переменными коэффициентами. Метод вариации постоянных.
29.Показательная функция матрицы. Ряд от матрицы. 30.Экспонента матрицы. Свойства и способы ее нахождения. 31.Экспонента диагональной и жордановой матрицы.
32.Линейные уравнения второго порядка. Приведение к виду без первой производной.
33.Понятия колеблющегося и неколеблющегося на интервале решения. Теорема о неколеблющемся решении.
34.Теорема Штурма и ее следствие.
35.Теорема сравнения и ее следствие.
36.Теорема Кнезера.
37.Понятие о краевых задачах. Теорема об альтернативе. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка.
38.Функция Грина для краевой задачи и ее свойства. Теорема о существовании и способе построения функции Грина.
39.Выражение решения краевой задачи для линейного уравнения через функцию Грина. Примеры.
40.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы линейных уравнений. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения n-го порядка.
41.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для одного уравнения. Ломаные Эйлера.
42.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
Вопросы к экзамену 4 семестр
1.Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности, следствие.
2.Дискриминантная кривая, особое решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной.
3.Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной: разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения Клеро.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 29 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
4.Уравнения, допускающие понижение порядка. Промежуточные интегралы. Уравнения, которые не содержат явно искомую функцию или независимую переменную.
5.Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной производной.
6.Непродолжаемые решения. Предложение о существовании непродолжаемого решения.
7.Предложение о выходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы. Пример.
8.Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения. Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий.
9.Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра.
10.Дифференцируемость решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру, система уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируемости решения по начальным значениям, система уравнений в вариациях.
11.Теорема о дифференцируемости по параметру высоких порядков, следствие о разложении решения по степеням малого параметра.
12.Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Понятие автономной системы и нормальной автономной системы. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. Совпадение двух траекторий.
13.Положения равновесия и замкнутые кривые. Три вида траекторий автономной системы.
14.Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы.
15.Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Невырожденный случай.
16.Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Вырожденный случай.
17.Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Существование нулевого собственного значения.
18.Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Функциональная независимость первых интегралов в области, ее связь с линейной независимостью.
19.Теорема о существовании n независимых первых интегралов.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВПО «ЧелГУ») Троицкий филиал Кафедра математики и информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальные уравнения» по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика» общемупрофилю ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»
Версия документа - 1 |
стр. 30 из 31 |
Первый экземпляр __________ |
КОПИЯ № _____ |
|
|
|
|
20.Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов.
21.Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого интеграла, не содержащего t.
22.Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от исследования устойчивости произвольного решения к исследованию устойчивости нулевого решения.
23.Достаточное условие устойчивости для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
24.Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова. Производная функции в силу системы уравнений. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Примеры.
25.Теорема Четаева о неустойчивости. Пример.
26.Теорема об устойчивости по первому приближению. Пример. 27.Уравнения с частными производными первого порядка. Линейное однород-
ное уравнение, теорема о связи решения с первым интегралом системы дифференциальных уравнений. Лемма о первых интегралах системы меньшего порядка. Теорема об общем решении линейного уравнения.
28.Квазилинейное уравнение, понятие характеристики уравнения. Теорема о решении квазилинейного уравнения. Теорема о получении решения из первого интеграла. Теорема об общем решении квазилинейного уравнения (формулировка).
29.Задача Коши для квазилинейного уравнения, теорема о существовании единственного решения задачи Коши, геометрический смысл условия теоремы, пример.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки 010400.62 «Прикладная математика и информатика».
Автор:
___________ кан.физ.-мат.наук, доцент, Белов Е.Г.
Учебно-методический комплекс дисциплины одобрен и рекомендован кафедрой математики и информатики
Протокол заседания от 03.09.2012, протокол № 1 Заведующий кафедрой __________________ Нужнова С.В.
ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»