![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Учебное пособие по МПП
.pdf![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh41x1.jpg)
Нормальный закон распределения может быть задан функцией распределения вероятностей случайной величины.
F( x) f( x)dx, то f(x) = F´(x).
Числовые характеристики закона определяются формулами
x М(х) xf( x)dx,
2
Д (х х) f (x)dx.
Для нормального закона распределения случайной величины укладываются на участке x 3 и называется правилом трех сигм.
Для нормального закона распределения имеет место коэффициент
вариации .
В отрасли автомобильного транспорта нормальный закон описывает:
-пробег до капитального ремонта агрегатов и узлов автомобиля;
-суточные пробеги автомобилей;
-время на операции ТО и их трудоемкости;
-наработка деталей с постепенными (износовых) характером отка-
зов;
- время на капитальный ремонт агрегатов и т.д.
Закон равномерной плотности
Закон равномерной плотности записывается так:
f(x) = 1 , при х [а, b], b a
0, при х [а, b].
График плотности распределения этого закона приведен на рис. 3.6.
x |
x |
1 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как F(x) f (x)dx |
|
dx |
x |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
a |
a |
b a |
|
b a |
|
a |
|
b a |
|
|||
|
|
|
||||||||||
то при х ≥ b; F(x) = 1. |
|
0 при x а, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F(x) = |
|
х-а |
|
при а хb, |
|
|
|
||||
|
|
b-a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x b.
41
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh42x1.jpg)
f (x)
1
b a
а |
α |
β |
b |
X |
Рис. 3.6. График распределения закона равномерной плотности
Числовые характеристики закона определяются по следующим формулам:
b |
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
b |
|
|
a b |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
M(x) xf (x)dx x |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
b a |
b a |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
a |
a |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
b |
a b |
|
|
|
|
|
|
|
(b a) |
|
|
|
||||||||||||
D(x) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x) |
|
D(x) |
b |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β], где [α, ] [a, b] (см. рис. 3.6.) определяются по формуле
P(X , ) F( ) F( ) . b a
Равномерный закон распределения описывает процессы связанные с работой светофоров, используется в задачах массового обслуживания, при статистическом моделировании процессов автомобильного транспорта.
Так, случайная величина х, распределенная по равномерному закону на отрезке [0, 1] называется «случайными числами от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайной величины с любым законом распределения.
Пример. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажиры выходят на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.
Найти М(t) и σ(t) случайной величины t - времени ожидания поезда.
42
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh43x1.jpg)
|
f (x) |
1 |
0,5; |
|
|
|||
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 1 |
dx |
1 |
; |
||
|
Р(х 0,5) |
2 |
4 |
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
М(х) 0 2 1 мин. |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
у(х) |
D(x) |
(2 0)2 |
|
1 |
0,58 мин. |
|||
|
12 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Показательный (экспоненциальный) закон распределения |
||||||||
Показательный закон распределения записывается так |
||||||||
|
f(x) = |
е- х |
,х 0; |
|
|
|||
|
0,х 0, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
где - параметр закона. |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
Так как |
|
|
|
|
xdx 1 e x,то |
|||
F(x) e |
xdx e |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
F(x) = |
1 е х ,при х 0; |
||||||
|
0, при х 0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
Графики f(x) и F(x) приведены на рис. 3.7. и 3.8. |
||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
β |
|
|
|
|
X |
|
|
Рис. 3.7 |
|
|
|
|
43
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh44x1.jpg)
В теории надежности F(x) - характеризует вероятность распределе- |
|||||
ния отказов, R = 1 - F(x) - характеризует вероятность исправного состоя- |
|||||
ния изделия. |
|
|
|
|
|
Числовые характеристики закона вычисляются по формулам |
|||||
|
|
|
|
|
|
М(х) х е-х dx 1; |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
x |
1 |
|
|
e |
; |
|||
D(x) x |
|
|
|
||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
у(х) 1 . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Вероятность попадания случайной величины в интервал [ , ] (см. |
|||||
рис. 3.7 и 3.8) определяется выражением |
|
|
|
||
|
хdx e e . |
||||
Р(х б,в ) е |
|||||
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
P(x , ) |
α |
|
β |
|
|
X |
Рис. 3.8 |
|
|
|
||
Пример. Время обслуживания автомобиля на СТОА распределено по |
|||||
показательному закону с параметром = 3 авт. час. Определить сколько |
|||||
автомобилей будет обслужено за время от t = 0,13 до t = 0,7. |
|||||
Решение. P(0,3 < t < 0,7) = e-3 ∙ 0,13 – e-3 ∙ 0,7 = 0,553. |
|||||
Экспоненциальный закон встречается в заданных надежности и мас- |
|||||
сового обслуживания. |
|
|
|
|
|
Ему подчиняются: |
|
|
|
|
|
- наработка деталей с внезапным характером отказов; |
44
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh45x1.jpg)
-промежутки времени между поступлениями автомобилей в зону ремонта;
-время восстановления автомобилей при текущем ремонте.
Закон Вейбулла
Плотность распределения вероятности закона Вейбулла имеет вид
f (t) n |
n |
t |
n 1 |
t n |
|
e |
при t ≥ 0, n ≥ 0, ≥ 0; |
(3.1)
f(t) = 0 при t < 0, n < 0, < 0,
где t - случайная величина (время, пробег и т. д.);
п - параметр формы (при п = 1 закон Вейбулла преобразуется в показательный закон, при п = 2 - в закон Релея, при п = 3,25 - в нормальный закон); - параметр масштаба.
Итак, плотность распределения Вейбулла задается двумя параметрами п и , что обусловливает широкий диапазон его применения на практике.
Распределение Вейбулла находит широкое применение при исследовании функционирования автотранспортных средств. Хорошо описывает постепенные отказы изделий.
В некоторых случаях вместо μ применяют величину, обработанную по параметру масштаба α = 1/ , тогда плотность вероятности записывается так:
|
|
|
t n 1 |
|
t n |
||
|
n |
|
|
|
|||
|
|
||||||
f (t ) |
|
|
|
|
e б . |
||
|
|
||||||
|
б б |
|
|
|
(3.2)
График плотности распределения Вейбулла приведен на рис. 3.9. Функция распределения закона Вейбулла имеет вид
|
|
|
|
|
|
t n |
|
|
t |
n |
|
n 1 t n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
1 e |
a |
. |
|||||
F(t ) nм |
e |
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В теории надежности кривая функции распределения F(t) характеризует вероятность отказа изделия, а функция
t n
R(t ) 1 F(t ) e a
45
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh46x1.jpg)
характеризует вероятность исправного состояния изделия и называется кривой ресурса.
При решении задач надежности приходится вычислять интенсивность отказов изделий, которая в общем случае равна отношению плотности распределения к вероятности безотказной работы изделия
(t) = f(t)/R(t).
f(t) |
|
|
|
|
|
0,8 |
n = 1 |
n = 2 |
n = 3,25 |
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
t |
|
Рис. 3.9. Графики плотности распределения |
|
|
Очевидно, что если по мере течения времени вероятность исправной работы изделия уменьшается, то и значение интенсивности отказа изделия изменяется (возрастает) (рис. 3.10).
Формулы математического ожидания и дисперсии закона Вейбулла имеют вид:
|
|
n |
|
|
n |
(3.3) |
M(t) tn ntn 1e t |
|
dt te |
t |
d ntn , |
||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
d ntn M(t ) 2. |
(3.4) |
|||
D(t ) t |
2e t |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
Указанные интегралы легко вычисляются с помощью гамма-функ- |
||||||
ции |
|
|
|
|
|
|
Г( ) x 1exdx.
0
Значения гамма - функции Эйлера в зависимости от параметра α приведены в табл. 3 приложения 1.
Преобразуя выражения (3.3) и (3.4) к виду, удобному для применения гамма - функции Эйлера, получим:
46
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh47x1.jpg)
M(t) |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
м |
Г 1 |
, |
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|||||
D(t) |
Г 1 |
|
|
|
|
м |
. |
м2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
Рис. 3.10. Кривые интенсивности отказов:
1 - показательного закона; 2 - закона Вейбулла; 3 - нормального закона
Формула для вычисления коэффициента вариации в этом случае принимает вид:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
Г2 1 |
|
|
|||
|
у(t) |
|
|
n |
n |
||||||||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n). |
|||
M(t) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Г 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Как видим, коэффициент вариации является функцией параметра формы закона (п). В свою очередь, параметр формы закона п является функцией коэффициента вариации V:
у(t) n ш(V) ш .
M(t)
Следовательно, если известны М(t) и σ(t) закона Вейбулла, то можем определить значения параметра формы п и на основании этого определить параметр масштаба .
Для удобства вычисления параметра формы заранее составлены таблицы (табл. 4 приложения 1.).
47
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh48x1.jpg)
3.3.Генеральная и выборочная совокупности
иих характеристики
Задачи, возникающие при изучении процессов автомобильного транспорта, требуют знаний основных положений теории вероятностей и математической статистики.
Если математическая статистика занимается разработкой методов сбора и обработки результатов наблюдений случайных процессов, то теория вероятностей изучает их закономерности.
При решении задач математической статистики и теории вероятностей приходится сталкиваться с понятием генеральной и выборочной совокупностей.
Генеральной совокупностью называют совокупность всех объектов (элементов), подлежащих изучению. Очевидно, что подвергать исследованию всю генеральную совокупность затруднительно или нецелесообразно. В связи с этим из генеральной совокупности извлекают лишь некоторую ее часть, называемую выборочной совокупностью (выборкой).
Используя методы математической статистики, возможно определить числовые характеристики выборочной совокупности. И перенеся их по определенным правилам на генеральную совокупность, оценить числовые характеристики последней.
Итак, пусть требуется исследовать некоторую генеральную совокупность «Г.с.» (рис. 3.11), которая характеризуется параметрами:
М(х) - математическое ожидание; D(х) - дисперсия;
σ(х) - среднее квадратическое отклонение; f(х) - плотность распределения;
F(х) - функция распределения.
Рис.3.11. Схема процесса выборки
48
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh49x1.jpg)
Непосредственно вычислить их невозможно. Однако можно оценить (принять) по данным выборочной совокупности. Для чего из генеральной совокупности извлечем выборку «В.с.», для которой методами математической статистики можем вычислить:
Х- среднее арифметическое; D*(х) - статистическая дисперсия; σ*(х) - статистически среднее квадратическое отклонение; W(x) - относительная частота;
F*(х) - статистическая (экспериментальная) функция распределения. Найдя интересующие нас числовые характеристики выборочной совокупности, можем перенести их при определенных условиях на всю гене-
ральную совокупность, т.е, принять:
М(х) Х;D(x) n D(x);у(х) n D(x). |
|
n-1 |
n-1 |
3.4. Обработка опытных данных выборочной совокупности
Пусть имеем доброкачественный объем выборки (статистический ряд). Порядок обработки его следующий:
-зарегистрированные значения рассматриваемого признака Xi расположить в возрастающем порядке;
-найти наибольшее Хmax и наименьшее Хmin значения параметра;
-определить размах измерения значений параметра R = Xmax - Хmin;
-вычислить число интервалов К в зависимости от объема выработки
n
K = 1 + 3,32 lg n;
- определить ширину частичного интервала h:
h R ; K
- определить границы интервалов, для чего установить нулевое (крайнее) значение интервала Х0:
Х0 = Хmin - h/2.
Следующие границы интервалов определяются последовательным прибавлением ширины интервала h к предыдущему значению границы:
Х1 = Х0 + h, Х2 = Х1 + h и т.д. до тех пор пока Хk не будет больше
Хmax;
- определить число элементов значений признаков, попавших в i - й интервал (эту величину называют опытной частотой тi*, данного интервала);
49
![](/html/2706/468/html_JEqWqMtLgE.DeuF/htmlconvd-mmhGsh50x1.jpg)
- результаты расчета свести в таблицу 3.2, которую называют интервальным вариационным рядом.
Относительную величину частоты называют частостью i - го интервала Wi
Wi = mi /n.
Накопление частости Wн получается путем последовательного прибавления частости Wi, очередного интервала
|
|
|
|
W н |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
Wi, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для последнего интервала: |
|
k |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Wkн |
|
|
||
|
|
|
|
|
Wi 1. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
Таблица 3.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сводная таблица обработки выборочных данных |
|
|||||||
Номер |
Ширина |
Середина |
|
Частота |
Частость |
Накопленная |
|||
интервала |
интервала |
интервала |
|
|
|
частость |
|||
|
Xi - Xi-1 |
|
|
|
|
|
mi* |
Wi |
Wiн |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X1 - X0 |
|
|
|
|
|
m1* |
W1 |
W1н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
X2 - X1 |
|
|
|
|
|
m2* |
W2 |
W2н |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
…. |
… |
|
… |
|
… |
… |
|
||
k |
Xk - Xk-1 |
|
|
|
|
|
mk* |
Wk |
Wкн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные числовые характеристики для интервального вариационного ряда вычисляются по следующим формулам:
- среднее арифметическое:
X |
1 |
X m |
X W ; |
||||
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
i i |
|
|
i i |
|
|
|
|
||||
|
|
|
n i 1 |
i 1 |
- статистическая дисперсия:
D* X |
1 |
k _ |
|
_ 2 |
|
|
k _ |
|
|
_ 2 |
|
k _ |
2 |
_ |
2 |
||||||||
X |
i |
X |
m X |
i |
X |
W |
W X |
|
X |
; |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
i 1 |
i |
i |
|
|
|
|||||||||
|
ni 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
- среднее квадратическое отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
2 mi . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Графическое выражение закона распределения можно представить в виде гистограммы и наклонной (кумулятивной) кривой (рис. 3.12 и 3.13).
50