2_Kinematyka

45

Зауважимо, що оскільки можливе додавання векторів кутової швидкості, то й, навпаки, будь-

який вектор кутової швидкості можна подати як векторну суму його складових за певними

напрямками 1 1 ..., де всі вектори визначені в одній і тій же самій системі відліку.

2.2.5. Рух абсолютно твердого тіла як суперпозиція поступального та обертового руху

Розглянемо довільне елементарне переміщення твердого тіла як суму двох рухів:

поступального руху, при якому радіус-вектори всіх точок твердого тіла набувають однакових приростів, і обертового, при якому відбувається нескінченно малий поворот твердого тіла. Нехай

відліку K1 , жорстко зв’язаної з тілом. Поділимо рівність (2.43) на нескінченно малий проміжок

46

часу dt , за який відбувається розглядуване переміщення dr , введемо відповідно до означень лінійні та кутову швидкості

Таким чином, швидкість будь якої точки твердого тіла відносно деякої нерухомої системи

відліку K може бути виражена через лінійну швидкість деякої точки твердого тіла V1 , яку можна назвати миттєвою швидкістю поступального руху твердого тіла в даний момент часу, та кутову

швидкість 1 обертання цього тіла навколо осі, що проходить через цю точку.

У лівих частинах (2.48) та (2.49) стоїть вектор швидкості однієї і тієї ж самої точки P

твердого тіла, визначеної відносно системи K . Отже праві частини цих двох рівностей також рівні між собою

відмінною від нуля швидкістю A у напрямку поступального руху циліндра, тобто в напрямку VC . У

такому випадку кажуть про кочення з ковзанням. Легко зрозуміти, що при цьому миттєва вісь обертання

лежить поза межами циліндра під площиною, по якій він котиться (Рис. 2.16в). Зокрема, при 0 маємо

чисте ковзання циліндра: миттєва вісь обертання M віддаляється при цьому на нескінченність.

геометричною віссю циліндра. Якщо в процесі руху циліндра по площині змінюється співвідношення між

VC та , то траєкторія точки M може бути доволі складною.

2.2.6. Степені вільності та зв’язки

З попереднього можна помітити, що для опису положення матеріальної точки або твердого тіла і зміни його з часом у різних ситуаціях потрібна різна кількість незалежних змінних.

Наприклад, для опису нічим не обмеженого руху однієї частинки в фізичному тривимірному просторі необхідно задати залежність від часу трьох величин. Це можуть бути три координати частинки (декартові, сферичні, циліндричні чи ще якісь), величини, що характеризують її радіус-

вектор, такі наприклад, як довжина та два кути, що задають його напрям тощо. Кажуть, що в цьому випадку частинка має три степені вільності.

Може трапитись, що переміщення частинки не може бути довільним, а обмежується якоюсь поверхнею. Наприклад маленька кулька, прив’язана на кінці неростяжної нитки, інший кінець якої закріплено (так званий сферичний маятник), при натягнутій нитці може переміщуватись лише по поверхні сфери з центром у точці закріплення. У такому випадку кажуть, що на рух частинки

50

накладено зв’язки, які обмежують її можливі рухи. Математично наявність зв’язків виражається рівностями, що встановлюють зв’язок між змінними, за допомогою яких описують рух частинки.

У нашому прикладі сферичного маятника координати кульки x, y, z повинні в будь-який момент часу задовольняти рівняння поверхні, по якій може рухатись кулька, яке має загальний вигляд

F(x,y,z)=0. Завдяки цьому незалежними залишаються тільки дві координати, наприклад, x та y.

Третю координату z завжди можна знайти з рівняння F(x,y,z)=0. У такому випадку говорять, що частинка має два степені вільності.

Нарешті, якщо частинка може переміщуватись лише вздовж деякої просторової кривої, яка може бути задана системою рівнянь F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0 як перетин двох поверхонь, то кількість незалежних величин, необхідних для визначення її положення, зменшується до однієї, тобто частинка має один ступінь вільності. Такою величиною може бути, наприклад, відстань відрахована вздовж кривої від частинки до деякої обраної на кривій точки — початку відліку (див. 2.1.3 про природний спосіб опису руху частинки). У цьому випадку кажуть, що частинка має один ступінь вільності.

Як видно з двох наведених прикладів використовувати декартові координати як незалежні не завжди зручно. Натомість можуть бути введені будь-які величини, кількість яких співпадає з кількістю степенів вільності, і які однозначно визначають положення частинки. Такі величини

називають узагальненими координатами і традиційно позначають буквами q1 , q2 , q3 тощо. У

наведеному вище прикладі руху частинки вздовж фіксованої в просторі кривої за узагальнену координату взято довжину шляху s вздовж кривої, тобто q1 s .Якщо частинка рухається по колу,

то її положення можна характеризувати як величиною s , так і, наприклад, величиною центрального кута , що його утворює в кожний поточний момент часу радіус-вектор частинки

проведений з центру колової траєкторії з напрямом, що він його займав у деякий момент часу,

наприклад при t 0 . Узагальненій координаті q відповідає узагальнена швидкість q dqdt , яка в

останньому прикладі є q . Для згаданого вище сферичного маятника можна запропонувати різні варіанти конкретного вибору двох узагальнених координат, що відповідають його двом степеням вільності. Наприклад, можна ввести q1 як кут відхилення нитки від вертикалі, а q2 як

51

азимутальний кут між площиною, яка містить вертикаль та нитку в поточний момент часу, і

деякою вертикальною площиною, що проходить через точку підвісу.

У повсякденному житті узагальненими координатами ми користуємось частіше, ніж може здатися на перший погляд. Візьмемо приклад визначення координат різних транспортних засобів. Для визначення положення поїзда в даний момент часу досить назвати одне число (узагальнену координату) відстань вздовж колії до найближчої вузлової станції. Надводний корабель на поверхні океану на відміну від поїзда має два степені вільності і його положення визначене двома узагальненими координатами: географічною широтою

q1 та географічною довготою q2 . Підводний човен або літак на відміну від надводного корабля має три

степені вільності: до широти і довготи слід додати третю узагальнену координату q3 — глибину занурення або висоту польоту.

Сказане вище про степені вільності легко узагальнити на випадок системи частинок, яка складається із довільного числа частинок. Якщо кожна із частинок системи (нехай їх буде n ),

може рухатись незалежно від інших без будь-яких обмежень, то оскільки для визначення положення кожної точки потрібно один радіус-вектор або три координати, то для визначення положення всіх точок системи в деякий момент часу потрібно n незалежних радіус-векторів або

3n незалежних координат. Але якщо можливість переміщення частинок обмежена, то на їх

координати накладаються додаткові умови — зв’язки, які виражаються рівняннями зв’язку, що встановлюють певні співвідношення між координатами частинок у процесі руху і зменшують,

таким чином, кількість незалежних координат. Тоді для однозначного визначення положення всіх

частинок системи досить знати меншу кількість координат f 3n . Інші 3n f координат

можуть бути обчислені з рівнянь зв’язку. Як і у випадку однієї частинки для однозначного опису руху системи достатньо обрати належним чином f узагальнених координат q1 , q2 ,..q f . Це можна

зробити по-різному, але завжди кількість узагальнених координат, що є незалежними, повинно бути однаковим і рівним кількості степенів вільності системи f.

Наприклад, система, що складається із двох частинок, жорстко зв’язаних невагомим стержнем, має п’ять степенів вільності, оскільки кількість степенів вільності двох незв’язаних частинок є 6, але вона зменшується на одиницю за рахунок наявності зв’язку. Дійсно, якщо одну частинку можна вважати вільною (3 степені вільності), то рух другої відносно першої обмежений сферичною поверхнею, описаною навколо першої частинки радіусом рівним довжині стержня (2

степені вільності).

52

Аналогічні міркування можуть бути застосовані і до визначенні числа степенів вільності абсолютно твердого тіла, рух якого нічим не обмежений. Як було відзначено раніше, положення абсолютно твердого тіла в просторі може бути однозначно задане положенням будь-яких його трьох точок, що не лежать на одній прямій. Якщо до двох жорстко зв’язаних точок додати третю,

відстані якої до перших двох фіксовані, то вона може рухатись лише по коловій траєкторії центр якої лежить на прямій, що проходить через перші дві точки. Отже третя точка має лише один ступінь вільності руху відносно перших двох і, таким чином, повна кількість степенів вільності трьох жорстко зв’язаних точок, а значить і всього твердого тіла складає f 3 2 1. Такий же

результат можна отримати із дещо інших міркувань: 3 вільні точки мали б 9 степенів вільності,

але оскільки існують 3 зв’язки (3 фіксовані відстані між ними), то кількість степенів вільності є f 9 3 6 . При тих чи інших обмеженнях руху твердого тіла кількість його степенів вільності

зменшується. Так, при вільному поступальному русі тверде тіло має 3 степеня вільності, які часто називають поступальними, при вільному обертанні навколо однієї нерухомої точки також 3

степеня вільності, які називають обертовими. При обертанні навколо нерухомої осі тверде тіло має

1 степінь вільності, а при плоскому русі – 3, один з яких відповідає обертанню тіла навколо осі,

перпендикулярної до фіксованої в просторі площині, а два інших — поступальним переміщенням у цій площині.

53

Контрольні запитання і вправи.