Методичка (первый курс, второй семестр)

Отже, функцiя ' лiнiйна.

Щоб знайти ядро функцiї ', зауважимо, що вектор [a; u] перпендикулярний векторовi a. Тому у випадку, коли вектори a i b колiнеарнi, скалярний добуток ([a; v]; b) завжди буде дорiвнювати 0, i ядром функцiї ' буде весь простiр V .

Розглянемо тепер випадок, коли вектори a i b не колiнеарнi. Доповнимо пару a, b до бази a, b, c простору V . Тодi довiльний вектор v можна записати у виглядi v = xa + yb + zc. Враховуючи лiнiйнiсть функцiї ', маємо:

'(v) = ([a; xa + yb + zc]; b) = x([a; a]; b) + y([a; b]; b) + z([a; c]; b):

Перший доданок дорiвнює 0, бо [a; a] = 0. Другий доданок також дорiвнює 0, бо вектори [a; b] i b перпендикулярнi. Вектор [a; c] ненульовий, а тому вiн не може бути перпендикулярним до всiх векторiв бази. Оскiльки вiн перпендикулярний до a i b, то вiн не перпендикулярний векторовi c. А тому третiй доданок дорiвнює 0 лише тодi, коли z = 0. Отже, '(v) = 0 тодi й лише тодi, коли вектор v має вигляд v = xa + yb. Таким чином, у випадку, коли вектори a i b не колiнеарнi, ядро функцiї ' збiгається з лiнiйною оболонкою ha; bi векторiв a i b.

Задача 2. Знайдiть яку–небудь базу ядра дiйсної лiнiйної функцiї f(x1; : : : ; xn) = x1 + 2x2 + ¢ ¢ ¢ + nxn.

Розв’язання. Вектор v = (x1; : : : ; xn) належатиме ядру функцiї f тодi й лише тодi, коли

Таким чином, ядро функцiї f збiгається з простором розв’язкiв однорiдної лiнiйної системи рiвнянь (34), а базою ядра буде довiльна фундаментальна система розв’язкiв системи (34). Вибираючи в якостi вiльних невiдомих x2; x3; : : : ; xn, стандартним способом знаходимо ФСР:

v2 = (¡2; 1; 0; : : : ; 0); v3 = (¡3; 0; 1; 0; : : : ; 0); : : : ; vn = (¡n; 0; : : : ; 0; 1):

Задача 3. Доведiть; що для кожної ненульової функцiї ' на n–ви- мiрному просторi V iснує така база e1; : : : ; en простору V; що '(v) дорiвнює першiй координатi вектора v у базi e1; : : : ; e2.

Розв’язання. Нехай ' : V ! P ненульова функцiя. За теоремою Сильвестра dim Ker ' + dim Im ' = n. Оскiльки функцiя ' ненульова,

141

то dim Im ' ¸ 1. З iншого боку, Im ' µ P , а розмiрнiсть P як векторного простору над P дорiвнює 1. Тому dim Im ' = 1 i dim Ker ' = n ¡ 1.

Виберемо довiльну базу e2, e3, : : : ; en ядра Ker ' i доповнимо її до

'(x1e1 + x2e2 + : : : + xnen) = x1'(e1) + x2'(e2) + : : : + xn'(en) = = x1 ¢ 1 + x2 ¢ 0 + ¢ ¢ ¢ + xn ¢ 0 = x1 ;

тобто '(v) дорiвнює першiй координатi вектора v.

Задача 4. Для кожного дiйсного числа a визначимо на просторi R[x] лiнiйну функцiю 'a правилом 'a(f) = f(a). Чи будуть функцiї 'a; a 2 R; лiнiйно незалежними?

Розв’язання. Припустимо, що функцiї 'a, a 2 R, лiнiйно залежнi. Тодi серед них має бути скiнченна лiнiйно залежна система функцiй. Отже, iснують такi попарно рiзнi числа a1, : : : ; an, що

причому серед коефiцiєнтiв c1, : : : ; cn є ненульовi. Рiвнiсть (35) можна переписати у виглядi

Остання рiвнiсть означає, що для кожного многочлена f 2 R[x] набiр його значень (f(a1); : : : ; f(an)) у точках a1, : : : ; an є розв’язком лiнiйного рiвняння

Позаяк обмежень на степiнь многочлена f нема, то за теоремою про iснування iнтерполяцiйного многочлена набiр (f(a1); : : : ; f(an)) можна вибирати довiльним. Але довiльний набiр буде розв’язком рiвняння (37) лише в тому випадку, коли всi його коефiцiєнти c1, : : : ; cn нульовi. Таким чином, припущення про лiнiйну залежнiсть функцiй 'a, a 2 R, приводить до суперечностi, i цi функцiї лiнiйно незалежнi.

Задача 5. Доведiть; що коли двi лiнiйнi функцiї '1 та '2 на векторному просторi V мають однаковi ядра; то вони вiдрiзняються скалярним множником.

142

Розв’язання. Нехай dim V = n i Ker '1 = Ker '2 = U. Якщо U збiгається з усiм простором V , то обидвi функцiї '1 i '2 нульовi i твердження задачi очевидне.

Нехай тепер U 6= V . У розв’язаннi зад. 11.3 показано, що розмiрнiсть ядра ненульової лiнiйної функцiї дорiвнює n ¡ 1, тому dim U = n ¡ 1. Виберемо в U якусь базу e1, : : : ; en¡1 i доповнимо її до бази e1, : : : ; en¡1, en всього простору. Тодi для довiльного вектора v = x1e1 + ¢ ¢ ¢ + xn¡1en¡1 + xnen маємо:

'1(v) = x1'1(e1) + : : : + xn¡1'1(en¡1) + xn'1(en) = xn'1(en);

'2(v) = x1'2(e1) + : : : + xn¡1'2(en¡1) + xn'2(en) = xn'2(en):

Оскiльки en 62U, то '1(en) =6 0. Але тодi '2(v) = '2(en) '1(v).

'1(en)

Задача 6. Нехай dim V = n. Доведiть; що функцiї '1; : : : ; 'n з простору V ¤ утворюють базу цього простору тодi й лише тодi; коли для довiльного вектора v з рiвностей '1(v) = ¢ ¢ ¢ = 'n(v) = 0 випливає рiвнiсть v = 0.

Розв’язання. Необхiднiсть. Нехай функцiї '1; : : : ; 'n утворюють базу

простору V ¤ i '1(v) = ¢ ¢ ¢ = 'n(v) = 0. Припустимо, що v =6 0. Тодi вектор v можна доповнити до бази v, e2, : : : ; en простору V . Розглянемо

лiнiйну функцiю ', яка кожному вектору u = x1v + x2e2 + ¢ ¢ ¢ + xnen ставить у вiдповiднiсть його першу координату x1. Позаяк v має в базi v, e2, : : : ; en координати (1; 0; : : : ; 0), то '(v) = 1. З iншого боку, функцiю ' можна записати у виглядi лiнiйної комбiнацiї ' = c1'1 + ¢ ¢ ¢ + cn'n функцiй бази. Тому

'(v) = c1'1(v) + ¢ ¢ ¢ + cn'n(v) = 0 :

Отримана суперечнiсть доводить, що v = 0.

Достатнiсть. Нехай тепер з рiвностей '1(v) = ¢ ¢ ¢ = 'n(v) = 0 завжди випливає рiвнiсть v = 0. Оскiльки dim V ¤ = dim V = n, а в n–вимiрному просторi довiльнi n лiнiйно незалежнi вектори утворюють базу, то досить показати, що функцiї '1; : : : ; 'n лiнiйно незалежнi. Припустимо, що це не так. Тодi iснують такi коефiцiєнти c1, : : : ; cn, причому не всi нульовi, що

c1'1 + ¢ ¢ ¢ + cn'n = 0 :

143

Без обмеження загальностi можна вважати, що cn 6= 0. Оскiльки

dim Ker ' ¸ n ¡ 1 для кожної лiнiйної функцiї ', то згiдно теореми Ґрасмана:

Тому в перетинi Ker '1 \ ¢ ¢ ¢ \ Ker 'n¡1 можна взяти ненульовий вектор v. Цей вектор належить кожному з ядер Ker 'k, 1 · k · n ¡ 1, тому '1(v) = ¢ ¢ ¢ = 'n¡1(v) = 0. Крiм того,

Отже, припущення приводить до суперечностi i функцiї '1; : : : ; 'n лiнiйно незалежнi.

Задача 7. Нехай V = Rn[x]; a 2 R; а функцiї '0; '1; : : : ; 'n визначенi правилом : 'k(f) = f(k)(a).

a)Доведiть; що функцiї '0, '1; : : : ; 'n утворюють базу простору V ¤.

b)Знайдiть спряжену базу f0; f1; : : : ; fn простору V .

c)Якого змiсту набуває в цьому випадку формула f = Pn 'k(f)fk?

k=0

Розв’язання. a) Розклад многочлена f(x) 2 Rn[x] за степенями x ¡ a має вигляд:

Тому якщо

'0(f) = '1(f) = ¢ ¢ ¢ = 'n(f) = 0;

то

f(a) = f0(a) = f00(a) = f(n)(a) = 0;

144

13.Чи вичерпуються всi лiнiйнi функцiї на просторi Rn[x] функцiями вигляду 'a : f(x) 7!f(a)?

14.Знайдiть максимальну лiнiйно незалежну пiдсистему системи

лiнiйних функцiй i виразiть через неї решту функцiй системи.

15.Доведiть, що кожний (n¡1)–вимiрний пiдпростiр n–вимiрного простору є ядром деякої лiнiйної функцiї на цьому просторi.

16.Доведiть, що кожний k–вимiрний пiдпростiр n–вимiрного простору є перетином ядер певних n ¡ k визначених на цьому просторi лiнiйних функцiй.

17.Доведiть, що n лiнiйних функцiй на n–вимiрному просторi будуть лiнiйно незалежнi тодi й лише тодi, коли перетин їх ядер мiстить лише нульовий вектор.

18.Доведiть, що система функцiй ¿(1); ¿(2); : : : ; ¿(n+1) iз зад. 11.12 є базою простору, спряженого до простору Rn[x].

19.Нехай V = Rn[x], a0; a1; : : : ; an попарно рiзнi дiйснi числа, а функцiї '0, '1, : : : ; 'n визначенi правилом: 'i(f) = f(ai).

a)Доведiть, що функцiї '0, '1, : : : ; 'n утворюють базу простору V ¤.

b)Знайдiть спряжену базу f0, f1, : : : ; fn простору V .

c)Якого змiсту набуває в цьому випадку формула f = Pn 'k(f)fk?

k=0

Додатковi задачi

20.Кожному вектору a площини V поставимо у вiдповiднiсть функцiю

'a : V ! R, x 7!(x; a). Доведiть, що вiдображення a 7!'a є iзоморфiзмом простору V на V ¤.

21.Доведiть, що вектори v1; : : : ; vk 2 V лiнiйно незалежнi тодi й лише тодi, коли iснують такi лiнiйнi функцiї '1; : : : ; 'k на просторi V , що

det('i(vj)) =6 0.

146

22¤. Доведiть, що простiр многочленiв Q[x] не iзоморфний своєму спряженому.

23.¤ Доведiть, що жоден нескiнченновимiрний простiр не iзоморфний своєму спряженому.

24. Нехай U пiдпростiр простору V . Множина

U? = f' 2 V ¤ j '(u) = 0 для всiх u 2 Ug

називається анулятором пiдпростору U. Симетрично визначається анулятор пiдпростору W µ V ¤. Доведiть, що:

a)анулятор пiдпростору U µ V є пiдпростором спряженого простору V ¤;

b)U1 µ U2 тодi й лише тодi, коли U1? ¶ U2?;

c)U1? = U2? тодi й лише тодi, коли U1 = U2;

d)кожний пiдпростiр простору V ¤ є анулятором деякого пiдпросто-

ру U µ V ;

e)dim U + dim U? = dim V ;

f)(U?)? = U;

g)(U1 + U2)? = U1? \ U2?;

h)(U1 \ U2)? = U1? + U2?.

25¤. Нехай добуток l1(v) ¢ l2(v) двох лiнiйних функцiй l1 i l2, визначених на просторi V (не обов’язково скiнченновимiрному), тотожно дорiвнює нулю. Доведiть, що принаймнi одна з лiнiйних функцiй l1 i l2 тотожно дорiвнює нулю.

26.¤ Доведiть, що для кожної лiнiйної функцiї f : Mn(P ) ! P iснує, причому єдина, така матриця A, що f(X) = tr(AX) для всiх X 2 Mn(P ).

Домашнє завдання

27.З’ясуйте, чи буде лiнiйною визначена на звичайному тривимiрному просторi V функцiя a) v 7!cos(v; a), b) v 7!(v; [a; v]), i в разi, якщо буде, знайдiть її ядро (a фiксований ненульовий вектор).

28.Знайдiть яку–небудь базу ядра дiйсної лiнiйної функцiї

f(x1; : : : ; xn) = x2 + x4 + ¢ ¢ ¢ + 1+(¡1)n xn.

2

147

називається матрицею бiлiнiйної функцiї ' : V £ V ! P у базi e1, e2,

: : : ; en.

Бiлiнiйна функцiя ' на просторi V називається симетричною (вiдповiдно кососиметричною), якщо для довiльних векторiв v; u 2 V виконується рiвнiсть '(v; u) = '(u; v) (вiдповiдно '(v; u) = ¡'(u; v)).

Якщо ' бiлiнiйна функцiя на просторi V , то вiдношення

u ?v , '(u; v) = 0

називається вiдношенням ортогональностi (перпендикулярностi). Лiвим Sl? i правим Sr? ортогональними доповненнями непорожньої

пiдмножини S µ V називаються вiдповiдно множини

Sl? := fu 2V j u?v для всiх v 2Sg та Sr? := fu 2V j v?u для всiх v 2Sg:

Якщо бiлiнiйна функцiя ' симетрична, то Sl? = Sr? i говорять просто про ортогональне доповнення S?.

Функцiя f : V ! C на комплексному векторному просторi V називається напiвлiнiйною, якщо виконуються такi двi умови:

1)f(u + v) = f(u) + f(v) для довiльних u,v 2 V ;

2)f(®u) = ®f(u) для довiльних ® 2 C i u 2 V .

Функцiя f : V £ V ! C на комплексному векторному просторi називається пiвторалiнiйною, якщо вона лiнiйна за першим аргументом i напiвлiнiйна за другим. Пiвторалiнiйна функцiя називається ермiтовою, якщо для довiльних векторiв x i y

'(x; y) = '(y; x) :

Матриця A 2 Mn(C) називається ермiтовою, якщо A> = A.

Необхiднi твердження. 1. Якщо e1; e2; : : : ; en база простору V , то бiлiнiйна функцiя зображується у виглядi

де aij = '(ei; уj). Таке зображення бiлiнiйної функцiї через координати вiдповiдних векторiв часто називають бiлiнiйною формою.

2. Якщо A матриця бiлiнiйної функцiї ' у базi e1; : : : ; en, а [v ] i [w ] координати векторiв v i w у цiй же базi, то

'(v; w) = [v ]> ¢ A ¢ [w ] :

149

3. При переходi до нової бази у просторi V матриця бiлiнiйної функцiї ' : V £ V ! P змiнюється за правилом

A0 = S> ¢ A ¢ S ;

де S матриця переходу до нової бази.

4.Ранг матрицi бiлiнiйної функцiї не залежать вiд вибору бази.

5.Теорема про канонiчний вигляд симетричної бiлiнiйної функцiї: для кожної симетричної бiлiнiйної функцiї ' iснує ортогональна база, в якiй вона має вигляд

'(x; y) = a1x1y1 + a2x2y2 + ¢ ¢ ¢ + akxkyk:

6. Теорема про канонiчний вигляд кососиметричної бiлiнiйної функцiї: для кожної кососиметричної бiлiнiйної функцiї ' iснує база, в якiй вона має вигляд

'(x; y) = x1y2 ¡ x2y1 + x3y4 ¡ x4y3 + ¢ ¢ ¢ + x2k¡1y2k ¡ x2ky2k¡1:

7. Теорема Якобi. Якщо всi головнi кутовi мiнори ¢1, ¢2, : : : ; ¢n¡1 матрицi A бiлiнiйної функцiї ' ненульовi, то iснує ортогональна база f1; : : : ; fn, в якiй функцiя ' зображується у виглядi

8. Якщо характеристика поля P не дорiвнює 2, то простiр усiх бiлiнiйних функцiй розкладається в пряму суму пiдпростору симетричних та пiдпростору кососиметричних бiлiнiйних функцiй.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. З’ясуйте; якi з наступних функцiй будуть бiлiнiйними функцiями на просторi R3 векторiв–рядкiв :

a)f(x; y) = jx + yj2 ¡ jxj2 ¡ jyj2;

b)f(x; y) дорiвнює сумi координат вектора [x; y];

c)f(x; y) = x> ¢ y.

Уразi позитивної вiдповiдi знайдiть матрицю вiдповiдної бiлiнiйної функцiї в стандартнiй базi простору R3.

Розв’язання. Нехай x = (x1; x2; x3); y = (y1; y2; y3) 2 R3.

150