Мат.Ан

называется образом множества A при отображении F. Если C B, то множество

F −1(C) = {x A|F (x) C}

называется прообразом множества C при отображении F.

Функция не меняется при замене аргумента другой буквой: функции F (x) = x2 è G(y) = y2 совпадают, поскольку при практическом примене-

нии функций аргументы заменяются числовыми значениями. Например,

F (3) = 32 è G(3) = 32.

6. Бинарные отношения

Здесь функция будет рассмотрена с формальной точки зрения как частный случай бинарного отношения.

Определение 12. Декартово произведение A ЧB это множество упорядоченных пар (a, b) с любыми a A, b B.

Пример. A = {3, 4}, B = {7, 8, 9}

A × B = {(3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 7), (4, 8), (4, 9)}

Декартово произведение прямой на прямкую есть плоскость.

Определение 13. Бинарное отношение любое подмножество декартового произведения множеств A Ч B.

S A Ч B бинарное отношение. S A Ч A бинарное отношение

на множестве A.

Определение 14. Бинарное отношение на множестве A рефлексивное, если a A (a, a) S.

На плоскости рефлексивное бинарное отношение обязано содержать биссектрису первого и третьего квадрантов ("диагональ"декартового произведения).

11

Определение 15. Бинарное отношение на множестве A называется симметричным, если из (a, b) S (b, a) S.

На плоскости симметричное бинарное отношение обязано быть симметричным относительно диагонали.

Определение 16. Бинарное отношение называется транзитивным, если

(a, b) S, (b, c) S, то тогда (a, c) S.

Нетранзитивный пример:

A = {1, 2, 3}

S = {(1, 2), (2, 3)} A Ч A бинарное отношение. Оно не транзитивно. так как (1, 3) / S.

˜ { } транзитивное, но не рефлексивное и не

S = (1, 2), (2, 3), (1, 3)

симметричное.

Определение 17. Бинарное отношение на множестве A называется от-

ношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Определение 18. Пусть S отношение эквивалентности на множестве A, a A произвольный элемент. Множество [a] = {b A|(a, b) S}

называется классом эквивалентности элемента A.

Теорема 1.1. Классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство. [a] и [b] два класса эквивалентности по бинарному отношению S. Пусть [a] ∩ [b] 6= . Тогда существует c [a], c [b]. Это значит, что пары (a, c), (b, c) принадлежат S.

Докажем, что [a] = [c] . Для этого установим два включения

[a] [c], [c] [a].

Пусть d [a] (a, d) S (d, a) S (симметричность) и (a, c) S. Из транзитивности заключаем (d, c) S из симметричности (c, d) S d [c]. Итак, [a] [c].

12

Аналогично, если d [c] (c, d) S (a, d) S (см. выше) и

[c] [a].

Точно так же доказывается, что [b] = [c].

Часто вместо (a, b) S пишут aSb

Определение 19. Разбиением множества A называется представление его в виде объединения непересекающихся непустых подмножеств A =

A1 A2 . . . Aα . . .,ãäå Ai ∩ Aj = ïðè i 6= j.

Из предыдущей теоремы следует, что классы эквивалентности задают разбиение области. Верно и обратное утверждение.

Теорема 1.2. Всякое разбиение задает отношение эквивалентности.

Определим бинарное отношение по правилу: aSb, если i такое, что a Ai è b Ai.

1.aSa выполнено.

2.aSb bSa выполнено.

3.aSb и bSc aSc выполнено.

Множество классов эквивалентности принято обозначать так A/S = {[aα]} и называть фактор множеством.

Функция как бинарное отношение.

Определение 20. Бинарное отношение S AЧB называется функцией из A в B, если оно обладает свойством:

èç xSy1 è xSy2 следует y1 = y2.

Объяснение:

)

xSy1 y1 = S(x)

xSy2 y2 = S(x)

y1 = y2

13

Пример 1. A = {1, 2}, B = {3, 4}.

δ = {(1, 3), (2, 4)} функция.

S = {(1, 3), (2, 5)} не функция. F = {(1, 3)} функция.

H = {(1, 4), (2, 3), (2, 4)} не функция.

Область определения функции F :

DF = {a A| b B : aF b} для a существует b, что a переходит в b.

Область значений функции F :

RF = {b B| a A : aF b}.

Пример 2. A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}.

F = {(1, 4), (2, 4)}. DF = {1, 2}.

RF = {4}.

Если aF b, то a называют аргументом функции, b значением функции, b = F (a) aF b. Прообразом элемента b B называют множество

F −1(b) = {a A|aF b}

Пусть функция F отображает множество A в множество B: F A Ч B F : A → B.

Определение 21. Две функции F A Ч B и G A Ч B называются равными если они равны как множества

F = {(1, 3), (2, 4)} A × B

A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {3, 4, 5}

G = {(1, 3), (2, 4)} A × C.

F и G лучше считать разными.

Определение 22. 1. F называется всюду определенной, если DF = A;

2.F называют сюрьекцией, если RF = B;

3.F называется инъекцией, если x1 6= x2 F (x1) 6= F (x2);

14

4.F называется биекцией, если она сюрьекция, инъекция и всюду определена.

Пример 3. A = {1, 2}, B = {3, 4}

Функция F = {(1, 3), (2, 4)} инъекция. Функция G = {(1, 3), (2, 3)} не инъекция. Функция F = {(1, 3), (2, 4)} биекция.

Пусть R+ = {x R| x > 0}. Функция y = ex, рассматриваемая как отображение

R → R+ биекция. x = loge y

Функция G = {1, 3} инъекция.

Функция y = x2, рассматриваемая как отображение R → R+ {0},

определена всюду и сюрьективна.

Функция y = x2, рассматриваемая как отображение R+ → R+, áèåê- тивна.

Определение 23. Если F A Ч B и G B Ч C две функции, то их суперпозицией называется функция H A Ч C такая, что если aHc, то

b : aF b è bGc.

Суперпозицию (композицию) принято записывать так H = G ◦ F ,

H(x) = G(F (x)).

Пример 4. A = {1, 2}, B = {3, 4}, C = {7, 8, 9}.

F = {(1, 3), (2, 4)}, G = {(3, 7)}.

H = G ◦ F = {(1, 7)}. F1 = {(1, 3), (2, 3)}. G1 = {(4, 8)}.

G1 ◦ F1 = .

Теорема 1.3. Суперпозиция функций ассоциативна.

(H ◦ G) ◦ F = H ◦ (G ◦ F ).

15

Доказательство. (G ◦ F )(x) = G(F (x))

(H ◦ (G ◦ F ))(x) = H((G ◦ F )(x)) = H(G(F (x)))

((H ◦ G) ◦ F )(x) = (H ◦ G)(F (x)) = H(G(F (x))).

Функции еще называют отображениями, операторами, функционалами.

Определение 24. Тождественное отображение IA : A → A определяется формулой

IA(x) = x x A, èëè IA A × A, IA = {(x, x)|x A}.

Пример 5. A{1, 2}, B{3, 4, 5}

F = {(1, 3), (2, 4)}

G= {(3, 1), (4, 2)}

G◦ F = IA.

Определение 25. Пусть F : A → B и B : B → A две функции такие, что G ◦ F = IA. Тогда функция G называется левой обратной для F .

Теорема 1.4. Функция F имеет левую обратную тогда и только тогда когда:

1.F всюду определена;

2.F инъекция.

Доказательство. ) Пусть имеется левая обратная G ◦ F = IA.

1.Поскольку правая часть определена на всем множестве A следовательно левая часть должна быть определена на всем множестве A, следовательно F определена всюду.

2.Пусть

16

надо доказать, что a = a˜.

Применим к равенствам 1.1 и 1.2 функцию G.

G(F (a)) = G(b) IA(a) = G(b)

G(F (˜a)) = G(b) IA(˜a) = G(b)

)

a = G(b)

a = a˜

a˜ = G(b)

) Предположим, что определенная всюду функция инъективна. До-

кажем, что существует левая обратная функция. Пусть F A Ч B. Определим множество

G = {(b, a)| (a, b) F }, G B × A.

Убедимся, что множество G действительно задает функцию. Это сле-

дует из инъективности функции F :

Итак, композиция G ◦ F является тождественным отображением.

Определение 26. Пусть F : A → B и G : B → A две функции такие, что F ◦ G = IB тогда G называется правой обратной для F .

Пример 6. A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}

F = {(1, 4), (2, 5), (3, 5)}

G = {(4, 1), (5, 2)}

F ◦ G = {(4, 4), (5, 5)} = IB

Определение 27. Функция называется обратимой, когда она имеет левую и правую обратные.

17

Теорема 1.5. Функция является обратимой тогда и только тогда когда она биекция. При этом левая и правая обратные совпадают .

Доказательство. ) Пусть F : A → B обратима, тогда существуют Gл : B → A и Gп : B → A такие, что Gл ◦ F = IA, F ◦ Gï = IB.

Существует левая обратная, следовательно F всюду определена и инъекция. Существует правая обратная, следовательно F сюрьекция. Отсюда следут, что F является биекцией.

Gë = Gë ◦ IB = Gë ◦ (F ◦ Gï) = (Gë ◦ F ) ◦ Gï = IA ◦ Gï = Gï

) Пусть дана биекция F . Тогда она всюду определена и инъективна. По предыдущей теореме существует левая обратная функция:

G : B → A, G = {(b, a) |(a, b) F } B Ч A. Проверим, что G является правой обратной.

Так как F сюрьекция, то b B найдется a A такое, что (a, b) F . Поэтому (F ◦ G)(b) = F (a) = b, или F ◦ G = IB.

7. Рациональные числа

Рациональными числами называют элементы множества

Q = {mn |n N, m Z}

. При этом считаем, что mn = pq , если mq = np. Рациональные числа с операциями сложения и умножения

образуют поле, то есть удовлетворяют известным из школы свойствам:

1.a + b = b + c (коммутативность).

2.(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность).

3.a + 0 = a (нейтральный элемент).

4.a · 1 = a (нейтральный элемент).

18

5.a · b = b · a (коммутативность).

6.(ab)c = a(bc) (ассоциативность).

7.( a !a0)[a + a0 = 0], a0 противоположный элемент.

8.( a Q, a 6= 0, !a−1)[a · a−1 = 1], a−1 обратный элемент.

9.(a + b)c = ac + bc (дистрибутивность).

На множестве рациональных чисел действует также отношение порядка:

{a < b} Q × Q.

То есть для пары чисел выполнено одно из трех соотношений:

a < b,

a, b Q a > b,

a = b.

a < b b > a.

1.Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность). Если a = b и b = c, то a = c.

2.a > b a + c > b + c

3.a > b è c > 0 ac > bc.

8. Действительные числа

Действительными числами называют бесконечные десятичные дроби

x = 2, 8762913... При этом девятка в периоде запрещена. Покажем, что

√ √

2 иррациональное число. Предположим 2 = m

n несократимая

дробь.

2 = mn22 2n2 = m2 m четное число.

m = 2k 2n2 = (2k)2 = 4k2 n2 = 2k2 n четное m

n

сократимая дробь. Получили противоречие.

19

Бесконечные десятичные дроби = множество действительных чисел =

вещественные числа. Положительные действительные числа сравнивают следующим образом.

a = a0, a1a2...anan+1....

b = a0, b1b2...bnbn+1....

Пусть a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn è an+1 < bn+1.

Тогда a < b.

Приближение действительных чисел рациональными π = 3, 1415926...

3, 1 < π < 3, 2

3, 14 < π < 3, 15

x R è ε > 0, r1, r2 Q r1 < x < r2 è r2 − r1 < ε

Верхняя грань множества.

Определение 28. Пусть M R такое подмножество, что a R такое, что при x M, x ≤ a, тогда a называется верхней гранью множества

M, а само множество называется ограниченным сверху.

Множество верхних граней множества M будем обозначать B(M).

Теорема 1.6. Множество верхних граней B(M)ограниченного множества M имеет наименьший элемент b, то есть b ≤ a, a B(M).

Число b называется супремумом ограниченного множества M, b =

sup M.

Отметим, что R+ положительные числа не имеют наименьшего элемента.

Будем использовать следующие три определения супремума.

20