Теория множеств(пособие ЕНФ)(Водопьянов)
.pdf3. Доказать, что отношение m n, если n делится на m, является отношением порядка на N. Проверить, что для всякого конечного множества А N в этом упорядочении существует точные грани.
10 Элементы комбинаторики
10.1 Пусть есть некоторое конечное множество элементов U = {a1, a2, ..., an}. Рассмотрим набор элементов ai1 , ai2 , ..., air , , где a i j U, j = 1, 2, ..., r.
Этот набор называется выборкой объема r из n элементов. Любое подмножество U является выборкой, но не всякая выборка является подмножеством U, так как в выборку один и тот же элемент может входить несколько раз (в отличие от подмножества).
Комбинаторные задачи связаны с подсчетом числа выборок объема r из n элементов, где выборки подчиняются определенным условиям, т.е. выбор производится по какому-нибудь принципу. Подсчет числа выборок основывается на двух правилах теории множеств.
10.2Принцип суммы: если card A = m, card B = n и A B = , то card A
B = m+n. На комбинаторном языке это означает: если объект A можно выбрать m способами, объект B другими n способами и их одновременный выбор невозможен, то выбор “A или B” может быть осуществлен m+n способами.
10.3Принцип произведения: если card A = m, card B = n, то card
(A B) = m n. На комбинаторном языке это означает: если объект A может быть выбран m способами, при любом выборе A объект B может быть выбран n способами, то выбор “A и B” может быть осуществлен m n способами.
10.4Пример. A = {10 различных шоколадок}, B = {5 различных пачек печенья}. Выбор “A или B” означает, что выбирается что-то одно и способов выбора в это случае будет 15. Выбор “A и B” означает, что выбирается 1 шоколадка и 1 пачка печенья и различных вариантов для такого выбора будет 50.
10.5Пример. Бросают 2 игральные кости. Сколькими способами они могут выпасть так, что на каждой кости выпадет четное число очков либо на каждой кости выпадет нечетное число очков ?
Пусть m - число возможностей для выпадения четного числа на одной кости, n - число возможностей для выпадения нечетного числа. Здесь m = n = 3. По правилу произведения количество выпадения четных чисел, равно как и нечетных, равно 9. По правилу суммы количество возможностей для выпадения двух четных или двух нечетных чисел будет 18.
Рассмотрим основные способы формирования выборок.
33
10.6Определение. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Если порядок следования элементов несущественен, то выборка называется неупорядоченной.
Из определения следует, две упорядоченные выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке, являются различными.
10.7Перестановки. Упорядоченные выборки объемом n из n элементов, где все элементы различны, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов обозначается Pn.
10.8Теорема. P = n !
Доказательство проводится по индукции. Очевидно, если n = 1, то перестановка только одна и P1 = 1!. Пусть для n = k теорема верна и Pk = k !, покажем, что она тогда верна и для n = k + 1. Рассмотрим (k+1)-ый элемент, будем считать его объектом A, который можно выбрать k+1 способами. Тогда объект B - упорядоченная выборка из оставшихся k элементов по k. B соответствии с индуктивным предположением объект B можно выбрать k! способами. По принципу произведения выбор “A и B” можно осуществить k! (k + 1) = (k + 1)! способами. А совместный выбор “A и B” есть упорядоченная выборка из k + 1 элементов по k + 1.
10.9 Пример. Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 10 различных книг ? Ответ: 10 !
Можно рассуждать иначе. Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n 1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n (n 1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n 2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n(n 1)( n r) ... 1.
10.10 Размещения. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов (m n), где все элементы различны, называются размещениями. Число размещений из n элементов по m обозначается A mn .
n!
10.11 Теорема. A mn = (n - m)! .
Доказательство. Обозначим x = A mn . Тогда оставшиеся (n - m) элементов можно упорядочить (n - m) ! способами. По принципу произведения, если объект A можно выбрать x способами, объект B (n - m)! способами, то совместный выбор “A и B” можно осуществить x (n - m)! способами, но выбор “A и B” есть
n!
перестановка и Pn = n ! Отсюда x = A mn = (n - m)! .
34
Рассуждая иначе: первый элемент выбираем n способами, второй - (n - 1) способами и т.д. , m - ый элемент выбираем (n - m + 1) способом. По принципу
произведения вновь имеем: n(n - 1)...(n - m +1), что совпадает с A mn .
10.12 Пример. Группа из 15 человек выиграла 3 различные книги. Сколькими способами можно распределить эти книги среди группы ?
15!
Имеем A153 12! = 15 14 13 = 2730.
10.13 Сочетания. Неупорядоченные выборки объемом m из n элементов (m n) называются сочетаниями. Их число обозначается Cmn .
n!
10.14 Теорема. Cmn m!(n m)!.
Доказательство. Очевидно, Amn = Cmn m!. Действительно, объект A - неупорядоченная выборка из n элементов по m, их число Cmn . После того, как эти m элементов отобраны, их можно упорядочить m! способами (в роли объекта B выступает “ порядок “ в выборке). Совместный выбор “A и B“ - упорядоченная выборка.
10.15 Пример. Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковые книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?
C3 |
|
15! |
|
|
15 14 13 |
455. |
|
|
|||||
15 |
3!12! |
|
1 2 3 |
|||
|
|
Сочетания, размещения и перестановки являлись подмножествами исходного множества. Рассмотрим выборки, которые не являются подмножествами.
10.16 Размещения с повторениями. Упорядоченные выборки объемом m из n элементов, где элементы могут повторяться, называются размещениями с
повторениями. Их число обозначается A mn (n).
10.17 Теорема. A mn (n) = nm.
Доказательство. Первый элемент может быть выбран n способами, второй элемент также может быть выбран n способами и так далее, m -тый элемент
также может быть выбран n способами. По принципу произведения получаем nm .
10.18Пример. Кодовый замок состоит из четырех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько
возможных комбинаций?
Здесь n = 10, m = 4 и ответом будет 104.
10.19Пример. Рассмотрим вектор длины m, каждая координата которого
может принимать всего 2 значения: 0 или 1. Сколько будет таких векторов ? Это есть выборка объемом m из двух элементов. Ответ : 2m
10.20Перестановки с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди
которых k1 элементов первого типа, k2 элементов второго типа и т.д., ks элементов s-того типа, причем k1 + k2 + ... + ks = n. Упорядоченные выборки из таких n
35
элементов по n называются перестановками с повторениями, их число обозначается Сn(k1, k2, ..., ks). Числа Сn(k1, k2, ..., ks) называются полиномиальными коэффициентами.
n!
10.21 Теорема. Сn(k1, ..., ks) = k1 ! k2 !... k s ! .
Доказательство проведем по индукции по s, то есть по числу типов элементов. При s = 1 утверждение становится тривиальным: k1 = n, все элементы одного типа и Сn(n) = 1. В качестве базы индукции возьмем s = 2, n = k1 + k2. В этом случаем перестановки с повторениями превращаются в сочетания из n элементов по k1 (или k 2): выбираем k1 место, куда помещаем элементы первого типа.
Сn(k1 k2) = C |
k |
1 |
|
n! |
|
n! |
. |
|||
n |
|
|
|
|
||||||
k1!(n - k1)! |
k1!k2 ! |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть формула верна для s = m , т.е. n = k1 + ... + km и
n!
Сn(k1, ..., km)= k1 ! k2 !... km ! .
Докажем, что она верна для s = m + 1 (n = k1 +... + km + km+1). В этом случае перестановку с повторениями можно рассматривать как совместный выбор
двух объектов: объект A - выбор k m + 1 места для элементов (m + 1)-го типа; объект B - перестановка с повторениями из (n - km+1) элементов. Объект A мож-
но выбрать Ckn m+1 способом, B - Cn-k m+1 (k1, ..., km) способами. По принципу произведения
|
C |
n |
(k |
,..., k |
m |
, k |
m+1 |
) Ckm+1 |
C |
n-k |
||
|
|
1 |
|
|
n |
|
||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
(n - k m + 1)! |
|||
(k m + 1)!(n - k m + 1)! |
k1!k 2 !... k m ! |
|
m+1 (k1 ,..., k m )
n!
k1!k 2 !... k m !k m + 1!
и мы получили требуемую формулу.
Замечание. Числа Cnm |
n! |
называются биноминальными коэф- |
||
|
|
|||
m!(n m)! |
||||
|
|
фициентами. Из этой формулы следует, что Cmn Cnn-m .
10.22 Пример. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове “математика”?
Решение. Буква “а” входит 3 раза (k 1= 3), буква “м” - 2 раза (k2 = 2), “т”-2 раза ( k3 = 2), буквы “е”,”к”,”и” входят по одному разу, отсюда k3 = k4 = k5 = 1.
10!
С10 (3, 2, 2, 1, 1, 1) = 3!2!2! =151200.
10.23 Сочетания с повторениями. Пусть имеется n типов элементов, каждый тип содержит не менее m одинаковых элементов. Неупорядоченная выборка объемом m из имеющихся элементов (их число m n ) называется со-
36
четанием с повторениями. Число сочетаний с повторениями обозначается
Cmn (n).
10.24 Теорема. Cmn (n) = Cmn+m-1 .
Доказательство. Пусть в выборку вошло m1 элементов первого типа, m2 элементов вторго типа, ... mn - n - ного типа. Причем каждое 0 mi m и m1 + m2 + ... + mn = m. Сопоставим этой выборке вектор следующего вида:
b |
m |
(11...1011...10...011...1). |
||
|
|
|||
|
|
m1 |
m2 |
mn |
Очевидно, между множеством неупорядоченных выборок с повторениями
имножеством векторов {bm} существует биекция (докажите это!). Следовательно, Cmn (n) равно числу векторов bm. “ Длина вектора” bm равна числу нулей
иединиц, или m + n - 1.
Число векторов равно числу способов, которыми m единиц можно поста-
вить на m + n 1мест, а это будет Cmn+m-1 .
10.25 Пример. В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Покупатель берет 4 пирожных. Сколькими способами он может это сделать ? (Предполагается, что пирожных каждого вида 4).
Число способов будет C7+44 |
-1 C104 |
|
10! |
|
7 8 9 10 |
210. |
|
|
|||||
|
|
|
4!6! 1 2 3 4 |
|
10.26 Пример. Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.
3!
1. Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}. A 23 1! 6. 3!
2.Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}. C23 1!2! 3.
3.Размещения с повторениями: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb),
(cc)}. A 32 (3)= 32 = 9. |
|
|||||
|
4. Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}. |
|||||
C2 |
(3) C2 |
C2 |
|
4 3 |
|
6. |
|
||||||
3 |
3+2-1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10.27 Задачи
1. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?
Ответ: 6 8! 2!.
2.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5
,если:
а) цифры не повторяются;
37
б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться;
г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.
Ответ: а) 5 5 4 3=300; б) 5 63 = 1080; в) 34; г) 5 6 6 3 = 540.
3. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?
Ответ: A106 .
4. На одной прямой взято m точек, на параллельной ей прямой n точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?
Ответ: mC2n nC2m .
5. Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.
Ответ: 9 10 10 = 900.
6. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число 35
54?
Ответ: 30.
7. В прямоугольной матрице A = {aij} m строк и n столбцов. Каждое aij {+1, -1}, причем произведение aij по любой строке или любому столбцу рав-
но 1. Сколько таких матриц?
Ответ: 2(m-1)(n-1).
8. В комнате n лампочек. Сколько разных способов освещения комнаты, при которых горит:
а) ровно k лампочек (k n);
б) хотя бы одна лампочка.
Ответ: а) Cnk ; б) Cn1 + Cn2 + ... + Cnn = 2n - 1
9.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая
цифра больше предыдущей? Ответ: С94 = 126.
10.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: С104 = 210.
11. Имеются p белых и q черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом (q p + 1)?
Ответ: Сqp+1 .
12. Имеется p разных книг в красных переплетах и q разных книг в синих переплетах (q p + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?
Ответ: Сqp+1 p! q!.
38
13.Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ... n} чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания ?
Ответ: (n - 2)!.
14.На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.
Ответ: 12 = 3! + 2 2 +2.
15.Сколькими способами m + n + s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой - n, в третьей - s предметов.
Ответ: (m + n + s)! . m!n!s!
16. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x1 + x2 + ... + xm = n
Ответ: Cnn+m-1 .
17. Найти число векторов = ( 1 2 ... n), координаты которых удовлетворяют условиям:
1)i {0, 1};
2)i {0, 1, ... k - 1};
3)i {0, 1, ... ki - 1};
4)i {0, 1} и 1 + 2 + ... + n = r. Ответ: 1) 2n ; 2) kn ; 3) k1 k2 ... kn ; 4) Crn .
18. Каково число матриц {aij}, где aij {0,1} и в которой m строк и n столбцов?
1)строки могут повторяться;
2)строки попарно различны.
Ответ: 1) 2m n ; 2)
19. Дано m предметов одного сорта и n другого. Найти число выборок, составленных из r элементов одного сорта и s другого.
Ответ: Crm Csn .
20. Сколькими способами число n можно представить в виде суммы k натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).
Ответ: Ckn--11 .
Метод математической индукции
39
Во многих разделах математики приходится доказывать истинность утверждения, зависящего от n , т.е. истинность высказывания p(n) для n N (для любого n N p(n) верно).
Часто это удается доказать методом математической индукции.
В основе этого метода лежит принцип математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без доказательства. Согласно принципу математической индукции предложение p(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия:
1.Предложение p(n) истинно для n = 1.
2.Из предложения, что p(n) истинно для n = k (k - произвольное натуральное число) следует, что оно истинно для n = k + 1.
Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства
1.Проверяют истинность утверждения для n = 1 – база индукции.
2.Предполагают, что утверждение верно для n = k – индуктивное предположение.
3.Доказывают, что тогда оно верно и для n = k + 1 индуктивный переход. Иногда предложение p(n) оказывается верным не для всех натуральных n,
аначиная с некоторого для n = n0. В этом случае в базе индукции проверяется истинность p(n) при n = n0.
Пример 1. Пусть Sn 1 22 32 42 |
( 1)n 1 n2 . Доказать, что |
||||
S |
|
( 1)n 1 |
n(n 1) |
|
|
n |
|
|
|||
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1. База индукции: при n = 1 по определению S1 = 1 и по формуле
( 1)0 1 2 1 получаем один результат. Утверждение верно.
2
2. Индуктивное предположение. Пусть n = k и
|
|
|
S |
|
1 2 |
2 |
3 |
2 |
|
( 1) |
k 1 |
k |
2 |
( 1) |
k 1 |
k(k 1) |
. |
||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3. Индуктивный переход. Пусть n = k + 1. Докажем, что |
|||||||||||||||||||||||||||
S |
k 1 |
1 22 ( 1)k 1 k 2 ( 1)k (k 1)2 ( 1)k k 1 (k 2) . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, в силу индуктивного предположения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
S |
|
( 1)k (k 1)2 ( 1)k 1 |
k(k 1) |
( 1)k (k 1)2. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
k |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем это выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
S |
|
( 1)k 1 |
k(k 1) |
( 1)k (k 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( k 2) |
|
|
|
|
(k 1)(k 2) |
|
|
||||||||
( 1)k 1 (k 1) |
|
|
k |
1 |
( 1)k 1 (k 1) |
|
|
|
|
( 1)k |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индуктивный переход доказан.
Замечание. Полезно записать, что дано (индуктивное предположение) и что нужно доказать!
Пример 2. Доказать
13 23 n3 (1 2 n)2 .
1.База индукции. При n = 1, утверждение, очевидно, верно.
2.Индуктивное предположение. Пусть n = k и
13 23 k3 (1 2 k)2.
3. Индуктивный переход. Пусть n = k + 1. Докажем:
13 k3 (k 1)3 1 2 k (k 1) 2.
Действительно, возведем правую сторону в квадрат как сумму двух чисел:
1 2 |
k (k 1) 2 1 2 |
k 2 k 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 1 2 |
k k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Используя индуктивное предположение и формулу суммы арифметиче- |
||||||||||||||||||||||||
ской прогрессии: 1 2 |
k |
k 1 |
k , получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 2 |
k 2 k 1 2 2 1 2 |
|
k k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
13 23 |
k3 k 1 2 k k 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
13 23 |
k3 k 1 2 (k 1) 13 |
k3 k 1 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 3. Доказать неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|
2n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
для n 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
4 |
6 |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Базой индукции в этом случае является проверка истинности утвержде- |
||||||||||||||||||||||||
ния для n |
2 , т.е. необходимо проверить неравенство |
1 |
|
3 |
|
1 |
. Для этого до- |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
7 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
статочно возвести неравенство в квадрат: 649 71 или 63 < 64 – неравенство вер-
но.
2. Пусть неравенство верно для n k , т.е.
1 |
|
3 |
|
5 |
|
2k 1 |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
2k |
|
|
|
3k 1 |
|
|
|
||||||
3. Пусть n k 1, докажем: |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|
2k 1 |
|
2k 1 |
|
|
1 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
2k 2k 2 |
3k 4 |
Используем предположение индукции
1 |
|
3 |
|
5 |
|
2k 1 |
|
2k 1 |
|
1 |
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 2 |
||||||
2 |
|
4 |
|
6 |
|
2k 2k 2 |
|
3k 1 |
|
41
Зная как должна выглядеть правая сторона в доказываемом неравенстве выделим эту часть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
||||
1 |
|
|
2k 1 |
1 |
|
|
|
3k 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2k 2 |
|
|
|
3k 1 |
|
k 1 |
||||||
3k 1 |
3k 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Остается установить, что лишний множитель |
|
|
2 |
не превосходит |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3k 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|||||||||
единицы. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k3 7k 2 4 |
3 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3k 4 k 2 k 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3k 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
1 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3k 1 |
|
k 1 |
|
|
3k |
|
k 2 2k |
|
|
|
|
|
|
3k3 7k 2 5k 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 4. Доказать, что при любом натуральном |
|
|
n 1 |
число 22n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оканчивается цифрой 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. Наименьшее натуральное n , с которого справедливо утверждение, рав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но 2. 222 1 24 1 17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Пусть при n k число 22k |
1 оканчивается на 7 . Это означает, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это число можно записать в виде |
22k |
1 10m 7, где m – |
какое-то нату- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ральное число. Тогда 22k |
10m 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. Пусть n k 1. Докажем, что |
22k 1 1 оканчивается на 7 . Используя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученное представление, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
22k 1 |
1 |
22k |
2 1 10m 6 2 |
1 100m2 |
120m 37 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее число имеет ровно 7 единиц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. Доказать, что при каждом n N верны равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
12 22 |
... n2 |
n(n 1)(2n 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
12 32 |
... (2n 1)2 |
|
n(4n2 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
1 2 2 5 ... n(3n 1) n2 (n 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4) |
1 2 2 3 ... (n 1)n |
(n 1)n(n 1) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
1 22 |
2 32 ... (n 1)n2 |
|
|
n(n2 |
1)(3n 2) |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 3 |
|
|
3 5 |
|
|
|
(2n 1) (2n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|