Эпюры в балках

участка эпюра Qy не пересекает нулевую линию, следовательно, квадратная парабола экстремума не имеет.

На границе второго и третьего грузового участка действует сосредоточенный момент М2 = 20 кНм, растягивающий нижние волокна. Следова-

тельно, на эпюре имеется скачок от нуля до ординаты Мх = 20 кНм. Ука-

занный скачок должен быть отложен вниз. В пределах третьего участка приращение эпюры Мх равно площади эпюры Qy: SQy =5 2 =10 кНм. Ор-

дината эпюры Мх на правой границе участка равна Мх = 20 +10 =30 кНм.

На границе третьего и четвертого грузового участка нет сосредоточенных моментов, следовательно, скачок на эпюре Мх отсутствует. В пределах четвертого грузового участка приращение эпюры Мх равно площади эпюры Qy: SQy = −5 2 = −10 кНм. Ордината эпюры изгибающих моментов

на правой границе четвертого участка равна Мх =30 −10 = 20 кНм.

На границе четвертого и пятого грузового участка нет сосредоточенных моментов, следовательно, скачок на эпюре Мх отсутствует. В пределах пятого грузового участка приращение эпюры Мх равно площади эпюры Qy: SQy = −20 1 = −20 кНм. Ордината эпюры изгибающих моментов на правой

границе этого участка равна Мх = 20 −20 =0 , что соответствует загруже-

нию балки. Как видно из рисунка в правой крайней точке балки изгибающий момент отсутствует.

4 ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЗАГРУЖЕНИЯ БАЛОК ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ

4.1 ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ЗАГРУЖЕНИИ БАЛКИ СИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКОЙ

В инженерной практике достаточно часто встречаются балки, загруженные симметричной внешней нагрузкой. Эпюры внутренних силовых факторов в таких балках имеют некоторые характерные особенности. Рассмотрим этот случай загружения балки внешней нагрузкой на следующем примере (рис. 4.1). Определяем величину опорных реакций заданной балки.

∑mА =0; −M + М −F 2 + F 8 + RВ 6 −q 4 6 =0;

∑mВ =0; −M + М −F 2 + F 8 + RА 6 −q 4 6 =0;

21

Проверка:

∑y =0; −F +q 4 −RA −RB −F +q 4 =0; −10 +8 4 −22 −22 −10 +8 4 = 64 −64 =0,

следовательно, опорные реакции определены верно.

Строим эпюры внутренних силовых факторов в заданной балке, используя любой из способов их построения, приведенных ранее.

Рисунок 4.1 – Эпюры ВСФ в балке, загруженной симметричной нагрузкой

После построения эпюр внутренних силовых факторов в заданной балке можно сделать следующие выводы. Для балки, загруженной сим-

метричной системой внешних сил опорные реакции равны половине равнодействующей внешних сил и направлены в противоположную сторону. При этом эпюра поперечных сил Qy всегда будет кососимметричной, а эпюра изгибающих моментов Мх – симметричной.

22

4.2 ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ ПРИ ЗАГРУЖЕНИИ БАЛКИ КОСОСИММЕТРИЧНОЙ НАГРУЗКОЙ

Рассмотрим случай загружения балки внешней кососимметричной нагрузкой (рис. 4.2). Определяем величину опорных реакций заданной балки.

Рисунок 4.2 – Эпюры ВСФ в балке, загруженной кососимметричной нагрузкой

Определяем величину опорных реакций балки.

∑mА =0; −M + F 8 −M + F 2 + RВ 6 +q 2 5 −q 22 / 2 =0;

RВ = 8 22 / 2 −8 2 5 +10 +10 −10 2 −10 8 = −24 (кН); 6

∑mВ =0; M −F 8 + M −F 2 + RА 6 −q 2 5 +q 22 / 2 =0;

23

Проверка:

∑y =0; F +q 2 −RA −RB −F −q 2 =0; 10 + 8 2 −24 +24 −10 −8 2 = 50 −50 =0 ,

следовательно, опорные реакции заданной балки определены верно. Строим эпюры внутренних силовых факторов в заданной балке, ис-

пользуя любой из способов их построения, приведенных ранее.

После построения эпюр внутренних силовых факторов в заданной балке можно сделать следующие выводы. Для балки, загруженной косо-

симметричной системой внешних сил опорные реакции равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. При этом эпюра поперечных сил Qy всегда будет симметричной, а эпюра изгибающих моментов Мх

–кососимметричной.

4.3ЗАГРУЖЕНИЕ БАЛКИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ, ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ

Внекоторых случаях на строительные конструкции действуют распределенные нагрузки, изменяющиеся по линейному закону. Рассмотрим пример построения эпюр внутренних силовых факторов при загружении балок указанными нагрузками. При построении эпюр будем пользоваться методом сечений.

Определяем опорные реакции двухопорной балки (рис. 4.3)

∑mA =0 ; RB 6 + M + F 2 −q 62 63 =0 ;

Проверка:

∑у = 0 ; RA + RB + F −q 62 =0 ; 12,667 +1,333 +10 −8 62 = 24 −24 =0 .

Начало системы координат zOy помещаем в крайней правой точке балки (рис. 4.3). Запишем закон изменения интенсивности распределенной нагрузки в выбранной системе координат:

q(z)= q 6z кН/м.

24

12,667

Рисунок 4.3 – Эпюры ВСФ в балке, загруженной распределенной нагрузкой, изменяющейся по линейному закону

уРассмотрим первый грузовой участок балки.

Как следует из полученных выражений, эпюра поперечных сил Qy на

рассматриваемом участке изменяется по квадратной параболе, а эпюра изгибающих моментов M x – по кубической параболе. Вычисляем величину

внутренних силовых факторов при следующих значениях координаты z1 :

25

Определяем значение координатыz1 , при которой поперечная сила Qy равна нулю:

Находим значения внутренних силовых факторов при z1 =1,414 м:

Qy = 0 ; M x = 21,257 кНм.

По полученным значениям строим эпюры внутренних силовых факторов на первом грузовом участке.

втором грузовом участке изменяется по квадратной параболе, а эпюра изгибающих моментов M x – по кубической параболе.

Определяем значение координатыz2 , при которой поперечная сила Qy равна нулю.

Находим значения внутренних силовых факторов при z2 =4,123м:

Qy =0 ; M x =11,150 кНм.

По полученным значениям строим эпюры внутренних силовых факторов на втором грузовом участке. Окончательный вид эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов M x показан на рис. 4.3.

26

Приращение изгибающего момента на четвертом грузовом участке равно M x = qa2 +2qa2 =3qa2 . Знак «+» приращения момента соответст-

вует стремлению эпюры Мх в положительную область (в сторону нижних растянутых волокон). При перемещении сечения справа на лево приращение изгибающего момента M x , что соответствует площади эпюры Qy на

том же грузовом участке, следовательно, SQy = −3qa2 . На рассматриваемом

грузовом участке эпюра Мх изменяется по линейному закону, тогда эпюра Qy должна быть постоянной. При длине грузового участка равной a ордината прямоугольной части эпюры поперечных сил равна Qy = −qa 2 / a = −qa . Скачок вниз на эпюре поперечных сил соответствует

действию сосредоточенной силы, следовательно, к крайней левой точке балки приложена сила F1 = qa , действующая сверху вниз.

Приращение изгибающего момента на первом грузовом участке равно M x =0 −qa 2 = −qa 2 , что соответствует площади эпюры Qy на том же

грузовом участке, следовательно, SQy = −qa 2 . На рассматриваемом грузо-

вом участке эпюра Мх изменяется по линейному закону, тогда эпюра Qy должна быть постоянной. При длине грузового участка равной a ордината прямоугольной части эпюры поперечных сил равна Qy = −qa 2 / a = −qa .

Скачок вниз на эпюре поперечных сил соответствует действию сосредоточенной силы, следовательно, к крайней левой точке балки приложена сила F1 = qa , действующая сверху вниз.

28