razdel2UMK
.pdf3.2.31. Точка (3;−1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой y + 6 = 0. Составить уравнение этого эллипса, зная
его эксцентриситет ε = 2 2 .
3.2.32. Дана гипербола 16x 2 −9y2 −64x −54y −161 = 0. Найти: 1)
координаты ее центра C; 2) полуоси; |
3) |
эксцентриситет; 4) уравнения |
асимптот; 5) уравнения директрис. |
|
|
3.2.33. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в |
||
вершинах эллипса 64x 2 +100y2 = 6400 |
, а |
директрисы проходят через |
фокусы этого эллипса. |
|
|
3.2.34.Найти острый угол между асимптотами гиперболы, если ее
эксцентриситет равен 2.
3.2.35.Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет
ε= 54 , фокус F(5;0) и уравнение соответствующей директрисы 5x −16 = 0.
3.2.36.Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку (4;−1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.
3.2.37.Установить, какие линии определяются следующими
уравнениями: 1) 4y − x 2 = 4x +8;
2)y = −2 x ;
3)16x 2 −9y2 −64x −54y −161 = 0;
4)y = −3 x 2 +1;
5)3x + 4 y2 +9 = 0 ;
6)x = −2 −5 −6y − y2 ;
7)16x 2 + 25y2 +32x −100y − 284 = 0 ;
8)ρ(3 − 2 cos ϕ)=12 ;
9)ρ(3 − 4 cos ϕ)=15;
10)ρ(4 −5cos ϕ)=18;
11)ρ(3 −3cos ϕ)=1.
3.2.38.Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точки
A и B, если: 1) A (1; 4; 3), B (2; 0; 5); 2) A (2;−1;4), B(3;5;7).
3.2.39.Найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A и B, если: 1) A (2;5;−1), B(3;4;5); 2) A (4;0;6), B(−1;2;3).
3.2.40.Найти общие уравнения прямой заданной в канонической форме:
1)x −2 4 = y 3+ 3 = z 5−1; 2) x 3+ 5 = y 4−1 = z−+14 .
3.2.41.Найти общие уравнения прямой, заданной в параметрической
форме:
91
x = 2 t +1, |
x = −t + 4, |
x = 3 t + 4, |
|
|
|
|
−1, |
1) y = 3 t − 4, |
2) y = 2 t −5, |
3) y =t |
|
|
|
|
|
z = 5 t + 6. |
z = 3 t +1. |
z =t. |
|
3.2.42. Найти канонические уравнения прямой заданной общими
уравнениями: 1) |
2 x + y − z |
− 2 |
= 0, |
2) |
3 x − 4 y + z − 2 = 0, |
|
|
|
|
|
= 0. |
||
|
x + 4 y −5 z = 0. |
|
4 x + y −3z −9 |
3.2.43. Найти параметрические уравнения прямой заданной общими
|
|
|
3x − y + z −1 = |
0, |
2) |
2 x + 3 y + z − 4 |
= 0, |
||||||
уравнениями: 1) |
|
|
|
|
|
= 0. |
|||||||
|
|
|
6 x +y −9 z = 0. |
|
|
x −y + 2 z −1 |
|||||||
3.2.44. Доказать параллельность прямых: |
|
|
|||||||||||
1) |
x + 2 |
= |
|
y −1 |
= |
z |
x + y − z = 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
− 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x − y −5 z −8 = 0; |
|
|
2) x = 2 t + 5, y = −t + 2, z = t − 7 и x + 3 y + z + 2 = 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y −3z − 2 = 0; |
3) |
x + y −3z +1 = 0, |
|
x + 2 y −5 z −1 = 0, |
||||||||
|
|
|
|
+ 3 = 0 |
и |
|
|||||
|
x − y + z |
|
x − 2 y + 3 z −9 = 0. |
||||||||
3.2.45. Доказать перпендикулярность прямых: |
|||||||||||
1) |
|
x |
= |
y −1 |
|
= |
z |
3 x + y −5 z +1 = 0, |
|||
|
|
и |
|
|
|
||||||
1 |
− 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
2 x + 3 y −8 z + 3 = 0; |
||||||||
|
x = 2 t +1, |
|
+ y − 4 z + 2 = 0, |
||||||||
2) y = 3 t − |
2, и 2x |
||||||||||
|
z = −6 t +1 |
4 x − y −5 z + 4 = 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x + y −3z −1 = 0, |
|
и |
2 x + y + 2 z + 5 = 0, |
|||||||
3) |
|
|
|
9 z − 2 = 0 |
|
||||||
|
2 x − y − |
|
2 x − 2 y − z + 2 = 0. |
3.2.46. Найти острый угол между прямыми:
x + 4 |
= y + 2 |
= z +1, |
x −3 |
= y −3 = z − 4 . |
||||||||
1 |
−1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
3.2.47. Определить косинус угла между прямыми |
||||||||||||
x + y + 4 z −3 = 0, x +1 |
= |
y − 4 |
= |
z + |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 |
|
|
3 |
5 |
|
||||
2 x − y + z −1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2.48. Доказать, что прямые заданные параметрическими уравнениями |
||||||||||||
x = 2 t −3, y = 3 t − 2, z = −4 t + 6 |
|
и |
|
|
x = t + 5, y = −4 t −1, z = t − 4 |
пересекаются.
92
|
|
3.2.49. |
При |
каком значении m |
прямые |
x + 2 |
= |
y |
|
= |
z −1 |
, |
||
|
|
2 |
−3 |
|
||||||||||
x −3 |
|
y −1 |
|
z − 7 |
|
|
|
4 |
|
|||||
= |
= |
пересекаются? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Oy и |
||||||
|
|
3.2.50. |
Составить уравнение плоскости: |
1) параллельной |
оси |
проходящей через точки A(2;1;−2) и B(−7;−2;1); 2) параллельной плоскости Oxz и проходящей через точку (2;−3;4); 3) проходящей через ось Ox и через точку (2;1;3).
3.2.51. Найти расстояние между параллельными плоскостями
5x +3y − 4z +15 = 0, 15x +9y −12z −5 = 0.
3.2.52.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1;−3;2) параллельно плоскости 7x − 4y + z − 4 = 0.
3.2.53.Через точки (1;2;3) и (− 2;−1;3) провести плоскость перпендикулярно плоскости x + 4y − 2z +5 = 0 .
3.2.54.Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало
координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x − y +3z −1 = 0,
x + 2y + z = 0.
3.2.55.Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные
точки: 1) (1;2;0), (2;1;1), (3;0;1); 2) (1;1;1), (0;−1;2), (2;3;−1).
3.2.56.Найти острый угол между прямыми
|
|
|
|
|
|
|
2x +3y − 4z +5 = 0, x − y + 2z − 4 = 0, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y + z = 0. |
и |
+ y − z −5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|||
|
|
|
3.2.57. Через точку (2;−1;3) провести прямую, параллельную оси Ox . |
||||||||||
|
|
|
3.2.58. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через |
||||||||||
точку |
|
(2;0;−3) |
параллельно: 1) |
вектору |
a(2;−3;5); |
2) прямой |
|||||||
|
x −1 |
|
y + 2 z +1 |
|
|
|
|
+ 2z −7 = 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − y |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
; |
3) оси Ox ; 4) оси Oz; 5) прямой |
− 2z −3 = 0. |
||
5 |
|
2 |
|
−1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +3y |
6)прямой x = −2 + t , y = 2t , z =1− 2t .
3.2.59.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1;2;−1)
перпендикулярно прямой |
x −3 |
|
= |
y − 2 |
= |
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
x −1 |
|
y +1 |
|
|
z − 2 |
|
||||
3.2.60. Найти точку пересечения |
прямой |
= |
|
= |
с |
||||||||||
3 |
|
−1 |
|
|
|||||||||||
плоскостью x + y − 2z − 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
3.2.61.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1;1;−2)
ипрямую x 2−1 = y 1−3 = 5z .
|
|
|
3.2.62. Найти |
уравнение |
|
|
плоскости, |
проходящей |
через |
прямую |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
= |
y + 2 |
|
= |
z |
перпендикулярно плоскости 3x − y + 2z − 2 = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3.2.63. Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
прямые: |
x + 2 |
|
= |
y −1 |
|
= |
z |
|
и |
x −1 |
= |
|
y |
|
= |
|
z +1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3.2.64. Установить |
тип заданных |
поверхностей |
и |
построить |
их: |
1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
=1; |
|
2) |
|
|
|
|
x 2 |
|
+ |
y2 |
− |
z2 |
=1; |
|
|
3) |
x 2 − y2 = z2 ; |
4) |
||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 2 − y2 + z2 + 4 = 0; |
5) |
|
3x 2 +5y2 |
=12z ; |
6) |
4x 2 −8y2 +16z2 |
= 0 ; |
7) |
|||||||||||||||||||||||||||||
8x 2 − 4y2 + 24z2 − 48 = 0; 8) 4x 2 −12y2 −6z2 =12 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3.2.65. |
|
|
Составить |
уравнение |
|
плоскостей, |
касательных к |
сфере |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 + y2 + z2 = 9 и параллельных плоскости x + 2y − 2z +15 = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3.2.66. |
|
|
Установить, при каких значениях m плоскость x + mz −1 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
пересекает двуполостный гиперболоид x 2 + y2 − z2 |
= −1: 1) по эллипсу; 2) по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гиперболе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94
ОТВЕТЫ
3.2.1.1) y = x + 2; 2) k =1; 3) α = π4 .
3.2.2.1) y = 2 x − 4; 2) y = 2 x + 4; 3) x + 2 y −8 = 0.
3.2.3.(− 2; −1).
3.2.4.B(11;−11)
3.2.5.1) x +3y +11 = 0 ; 2) 3x − y − 27 = 0.
3.2.6.tg ϕ = 2; ϕ = 63o26′.
3.2.7.1) ϕ =135o ; 2) ϕ = 90o.
3.2.8.5 ед. масштаба.
3.2.9.4x −3y + 25 = 0.
3.2.10.3x − 4y +15 = 0 , 4x +3y −30 = 0, 3x − 4y −10 = 0 , 4x +3y −5 = 0.
3.2.11.(AB)4x − y −7 = 0 ; (BC)x +3y −31 = 0 (AC) x +5y −7 = 0.
3.2.12.1) (AB)x −4 2 = y 3+3 ; 2) (CD) x +3 2 = −y4 , h = 4; 3)
cos ϕ =1 10 ;
4) |
|
x − 2 |
y + 2 |
L1 : 4 − 2 5 = |
3 + 5 , |
L2 : (4 − 2 5) (x − 2)+ (3 + 5) (y + 2)= 0 . |
|
3.2.13. x + y −7 = 0, |
x + 7y +5 = 0, x −8y + 20 = 0 . |
3.2.14. P (2; −1).
3.2.15. P (2;5).
3.2.16. 3 x −5 y −13 = 0, 8 x −3 y +17 = 0, 5 x + 2 y −1 = 0. 3.2.17. 3x + 7 y − 5 = 0, 3 x + 2 y −10 = 0, 9 x +11y + 5 = 0.
3.2.18. 8 x − y − 24 = 0 . |
|
3.2.19. 5. |
|
3.2.20. 49. |
1) 4 x + 3 y −8 = 0, 4 x + 3 y +17 = 0, |
3.2.21. Два квадрата: |
|
3 x − 4 y − 6 = 0,3 x − 4 y +19 = 0; |
2) |
4 x + 3 y −8 = 0, 4 x + 3 y −33 = 0, 3 x − 4 y − 6 = 0, 3 x − 4 y +19 = 0.
3.2.22.29 x − 2 y + 33 = 0.
3.2.23.3 x − 4 y + 20 = 0.
|
3 |
2 |
|
9 |
|
2 |
65 |
|
|
3.2.24. x + |
|
|
+ y + |
|
|
= |
|
. |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
95
3.2.25.(x − 2)2 + (y − 4)2 =10 .
3.2.26.2.
3.2.27.3x − 4y + 43 = 0.
3.2.28.16.
3.2.29.1) 5 и 3; 2) F1 (0;−2) и F2 (0;2); 3) ε = 23; 4) y = ±92.
3.2.30. |
x 2 |
+ |
y2 |
=1. Указание. Воспользоваться свойством эллипса: |
|
17 |
8 |
||||
|
|
|
произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.
3.2.31. |
x 2 + 2y2 −6x + 24y +31 = 0. |
3.2.32. |
1) C(2;−3); 2) a = 3; b = 4; 3) ε = 5 3; 4) 4x −3y −17 = 0, |
4x +3y +1 = 0; 5) 5x −1 = 0 , 5x −19 = 0. |
3.2.33.x 2 − y2 =1. 60 40
3.2.34.60o.
3.2.35.x 2 − y2 =1. 16 9
3.2.36.y2 = 14 x .
3.2.37.1) парабола; 2) часть параболы, расположенная в четвертом
координатном углу; 3) гипербола; 4) ветвь гиперболы, расположенная в нижней полуплоскости; 5) ветвь гиперболы, расположенная в левой полуплоскости; 6) половина эллипса, расположенная в левой полуплоскости; 7) и 8) эллипс; 9) гипербола; 10) правая ветвь гиперболы; 11) парабола.
3.2.38. 1) |
|
x −1 |
= |
y − 4 |
= |
z − 3 |
; 2) |
x − 2 |
|
= |
y +1 |
= |
z − 4 |
. |
||||
|
1 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
||||||
3.2.39. 1) x = t + 2, y = −t + 5, z = 6 t − 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) x = −5t + 4, y = 2 t, z = −3 t +6. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.2.40. 1) |
3 x − 2 y −18 = 0, |
|
4 x −3 y + 23 = 0, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2) |
+15 = 0. |
|
|
|
|||||||||
3.2.41. |
5 y −3z +18 = 0. |
|
y + 4 z |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
3x − 2 y −11 = 0, |
2 x + y −3 = 0, |
|
|
x − |
3z − |
4 = 0, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 z +17 = |
0. |
|
|
|
+1 |
= 0. |
|||||
5 y −3z + 38 = 0. |
3 y |
|
y − z |
3.2.42.1) x−−11 = y 9−1 = z 7−1; 2) x11− 2 = y13−1 = 19z .
3.2.43.1) x = 8 t + 1, y = 33 t + 3, z = 9 t + 1;
96
2) x = 7 t, y = −3 t +1, z = −5 t +1.
3.2.46.600 .
3.2.47.cos ϕ = 8341 .
3.2.49.m = 3.
3.2.50.1) x +3z + 4 = 0; 2) y +3 = 0; 3) 3y − z = 0 .
3.2.51.6.
3.2.52.7x − 4z +1− 21 = 0.
3.2.53.2x − 2y −3z +11 = 0.
3.2.54.7x − y −5z = 0.
3.2.55.1) x + y −3 = 0; 2) 2x − y −1 = 0.
3.2.56.cos ϕ = 0,9445; ϕ =19o11′.
|
y +1 = 0, |
|
|
|
|
x − 2 |
= |
|
y +1 |
= |
|
z −3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3.2.57. |
|
|
|
|
= 0. |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z +3 |
|
|||||||||||||||
3.2.58. 1) |
|
x − 2 |
= |
y |
|
|
= |
x +3 |
; 2) |
|
x − 2 |
|
= |
y |
|
= |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
x − 2 |
= |
y |
|
= |
z +3 |
; 4) |
x − 2 |
= |
y |
= |
|
z +3 |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
x − 2 |
|
= |
y |
|
= |
z +3 |
; 6) |
x − 2 |
|
= |
y |
= |
z +3 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
− 4 |
8 |
|
10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 2 |
|
|
|
3.2.59.x −3y + 4z +9 = 0.
3.2.60.(− 2;0;3).
3.2.61.2x + y − z −5 = 0.
3.2.62.4x + 2y −5z = 0 .
3.2.63.4x +13y − z −5 = 0.
3.2.64.1) эллипсоид; 2) однополостный гиперболоид; 3) конус; 4)
двуполостный гиперболоид; 5) эллиптический параболоид; 6) конус; 7) однополостный гиперболоид; 8) двуполостный гиперболоид.
3.2.65.x + 2y − 2z −9 = 0 ; x + 2y − 2z +9 = 0.
3.2.66.1) 1 < m < 2 ; 2) m <1.
97
3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задание №1
Даты координаты вершин треугольника ABC. Требуется: 1) вычислить длину стороны [AB]; 2) составить уравнение линии (AB); 3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины C; 4) вычислить расстояние от вершины C до стороны [AB]; 5) составить уравнение медианы, проведенной из вершины A ; 6) вычислить угол A в радианах с точностью до двух знаков.
№ |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
№ |
А |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
− |
|
6; |
− |
4) |
− |
10; |
− |
1) |
(6;1) |
|
|
16. |
(1; |
− |
|
2) |
(9; 4) |
|
|
(6;10) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7;7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. |
|
(12;0) |
|
(18;8) |
|
|
(0;5) |
|
|
17. |
( |
1;1) |
|
|
|
(4;13) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
− |
|
2; |
− |
6) |
− |
6; |
− |
3) |
(10; |
− |
1) |
|
18. |
(1; |
− |
1) |
|
6;5) |
(6;11) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9( |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7; 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. |
|
(8; 2) |
|
|
(14;10) |
|
( |
|
4;7) |
|
19. |
( |
1; |
− |
2) |
|
|
(4;10) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
(9;8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
|
(2; |
− |
|
4) |
( |
2; |
− |
1) |
(14;1) |
|
20. |
(1; 2) |
|
|
|
|
|
(6;14) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
(2; |
− |
|
1) |
|
(8;7) |
|
|
|
− |
10; 4) |
|
21. |
(12; |
− |
|
10) |
6;14) |
− |
12; |
− |
|
3) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
( |
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
(5; |
− |
|
3) |
|
(1;10) |
|
|
|
(17; 2) |
|
22. |
(5; |
− |
8) |
13;16) |
− |
19; |
− |
1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
(14; |
− |
6) |
(20; 2) |
|
|
(2; |
− |
1) |
|
23. |
(18; |
− |
|
12) |
(0;12) |
|
− |
6; |
− |
5) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9; 29) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9. |
|
(3; 4) |
|
|
( |
1;7) |
|
(15;9) |
|
24. |
(27;5) |
|
|
(3;12) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
|
(1; |
− |
|
2) |
|
(7;6) |
|
|
|
− |
11;3) |
|
25. |
(30; |
− |
7) |
(12;17) |
|
(6;0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
11. |
|
− |
1; |
− |
1) |
(7;5) |
|
|
|
(4;11) |
|
26. |
(15;13) |
− |
3;37) |
− |
9; 20) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
− |
|
2;1) |
|
(6;7) |
|
|
|
(3;13) |
|
27. |
(3;11) |
|
15;35) |
− |
21;18) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
|
(2; |
− |
|
1) |
|
(10;5) |
|
|
(7;11) |
|
28. |
(9; 20) |
|
9; 44) |
− |
15; 27) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
(1;1) |
|
|
|
|
(9;7) |
|
|
|
(6;13) |
|
29. |
− |
|
3; |
− |
31) |
− |
21; |
− |
7) |
− |
27; |
|
− |
24) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
( |
|
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
− |
1; 2) |
|
(7;8) |
|
|
|
(4;14) |
|
30. |
(7;19) |
|
11; 4) |
− |
17; 26) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
( |
( |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание №2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1. Найти уравнение диагонали параллелограмма, не проходящей через |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точку |
пересечения |
его |
|
сторон |
|
x − y −1 = 0 |
и |
|
|
y −1 = 0 , если известно, |
|
что |
диагонали параллелограмма пересекаются в точке (−1;0).
2.Найти координаты точки, симметричной точке (2; − 4) относительно прямой 4 x + 3 y +1 = 0.
3.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (−1; 2) так,
что середина ее отрезка, заключенного между параллельными прямыми x + 2y +1 = 0 и x + 2y −3 = 0 , лежит на прямой x − y − 6 = 0.
98
4. Даны уравнения двух сторон треугольника: 4x −5y + 9 = 0 и x + 4y −3 = 0 . Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медиана этого треугольника пересекаются в точке (3;1).
5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух
его сторон: 2x − y + 4 = 0 |
и |
2x − y +10 = 0 и |
уравнение одной |
из |
его |
||
диагоналей x + y + 2 = 0. |
|
треугольника A (− 4;0) и B(4;1) |
|
|
|||
6. |
Даны |
две вершины |
и точка |
||||
пересечения его высот D (3;5). Составить уравнения сторон треугольника. |
|
||||||
7. |
Даны |
уравнения |
высот треугольника |
ABC : 3 x + 2 y + 6 = 0 |
и |
x − y + 5 = 0 и координаты одной из его вершин A (−5;3). Найти уравнения
сторон треугольника.
8. Даны уравнения двух сторон треугольника: 5 x − 2 y −8 = 0 и 3 x − 2 y −8 = 0 . Составить уравнение третьей стороны, если известно, что ее середина совпадает с началом координат.
9. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин |
||||
A (2;−3) и уравнения двух высот 7 x − 2 y −10 = 0 и 2 x − 7 y + 3 = 0 . |
||||
10. |
Даны |
уравнения основания равнобедренного треугольника |
||
x + y − 4 = 0 и боковой стороны x − 2 y + 4 = 0. |
Точка A (− 2;3) лежит на |
|||
второй боковой стороне. Найти уравнение второй боковой стороны. |
||||
11. |
Даны две |
противоположные вершины |
ромба A (3; 4), C (1; − 2) и |
|
уравнение |
одной |
из |
его сторон x − y +1 = 0 . Найти уравнения остальных |
|
сторон ромба. |
|
|
M (2,1), N (5;3), P (3;−4). |
|
12. |
Даны |
середины сторон треугольника |
Составить уравнения сторон этого треугольника.
13.Составить уравнения сторон треугольника, если известны одна из его вершин (1;3) и уравнения двух медиан: x − 2 y +1 = 0 и y −1 = 0 .
14.Составить уравнение прямой, проходящей через точку A (1;3), так,
что середина ее |
отрезка, заключенного между параллельными |
прямыми |
x + 2 y + 5 = 0 и x + 2 y +1 = 0 , принадлежит прямой x − y −5 = 0 . |
A (0; 2) и |
|
15. Составить уравнения сторон треугольника, зная вершину |
||
уравнения высот |
BM : x + y = 4 и CM : y = 2 x ( M − точка пересечения |
|
высот). |
AB и BC параллелограмма ABCD заданы уравнениями |
|
16. Стороны |
2 x − y −5 = 0 и x − 2 y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке M (1; 4).
Найти длины его высот.
17. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана вершина прямого угла C (3; −1) и уравнение гипотенузы 3 x − y + 2 = 0.
99
18. Две стороны |
параллелограмма заданы уравнениями y = x − 2 и |
5 y = x − 6. Диагонали |
его пересекаются в начале координат. Написать |
уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.
19.Вычислить площадь ромба, зная одну из его вершин A (0;−1), точку пересечения его диагоналей M (4; 4) и точку P (2;0) на стороне AB.
20.Через точку пересечения прямых 2 x −5 y −1 = 0 и x + 4 y − 7 = 0
провести прямую, делящую отрезок между точками A (4;−3) и B(1;−2) в
отношении 2:3. |
|
|
21. Определить, при каких значениях m и |
n |
прямая |
(2 m − n + 5)x + (m −3n − 2)y + 2 m + 7 n +19 = 0 параллельна |
оси |
0Y и |
отсекают на оси 0X отрезок, равный 5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.
22. |
Определить, |
при |
каком |
значении |
a |
прямая |
||
(a + 2)x + (a 2 −9)y + 3a 2 −8a + 5 = 0 |
1) |
параллельна оси |
абсцисс; |
2) |
||||
параллельна оси ординат; 3) проходит через начало координат. |
|
|
|
|||||
В каждом случае записать уравнение прямой. |
|
|
|
|||||
23. |
Две стороны |
квадрата лежат |
на |
прямых 5 x −12 y − 65 = 0 |
и |
5 x −12 y + 26 = 0 . Вычислить его площадь.
24. Даны две смежные вершины квадрата A (2;0) и B(−1; 4). Составить уравнения его сторон и вычислить площадь.
25. Точка A (5; −1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой 4 x −3 y − 7 = 0 . Составить уравнения прямых, на которых
лежат остальные стороны этого квадрата. |
|
|
|
|
|
|
26. |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения |
|||||
прямых |
3 x − 2 y + 5 = 0, 4 x + 3 y −1 = 0 |
и отсекающей |
на |
оси |
ординат |
|
отрезок b = −3. |
|
|
|
|
|
|
27. |
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения |
|||||
прямых |
2 x + 7 y −8 = 0, 3 x + 2 y + 5 = 0 |
под |
углом |
450 |
к |
прямой |
2 x + 3 y − 7 = 0 . |
|
высот AN :x + 5 y −3 = 0 , |
||||
28. |
В треугольнике ABC даны уравнения |
|||||
BN :x + y −1 = 0, стороны AB :x + 3 y −1 = 0. |
Составить |
уравнения двух |
||||
других сторон и третьей высоты. |
|
|
|
|
|
29.Даны вершины треугольника A (− 4;3), B(4; −1) и точка пересечения высот M (3;3). Найти третью вершину C.
30.Составить уравнения сторон и диагонали ромба, если известны уравнения двух его сторон x + 2 y = 4 , x + 2 y =10и уравнение одной из его
диагоналей y = x + 2 .
100