УМК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1. Находим выборочное среднее

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

1.3 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ. ТОЧЕЧНЫЕ И ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ

Пусть изучается случайная величина (СВ) Х, необходимо определить ее числовые характеристики. По выборке (результатам n испытаний) x1 , x 2 , ..., x n

~
требуется найти оценку θ неизвестного параметра θг .
Обозначим через X i случайную величину, представляющую собой
результат i − го испытания.	Статистической оценкой неизвестного параметра
θг назовем произвольную		~			~
	функцию	θ = ϕ(X1 , X 2 , ..., X n ) тем			самым θ
		~			, ..., x n ) при
является случайной величиной. Значение этой функции θ = ϕ(x1 , x 2
		= x i , i =		будем рассматривать как
полученных результатах испытаний X i			1, n

приближенное значение неизвестного параметра θг . Приведенное определение оценки отражает только самое общее требование, что оценка должна определяться по значениям выборки.

Оценки параметров подразделяются на точечные и интервальные. Точечной называется статистическая оценка генерального параметра θг ,

которая определяется одним числом θ .

Интервальной называется оценка генерального параметра θг , которая

~ ~

определяется двумя числами θ и θ - концами интервала, покрывающего оцениваемый генеральный параметр θг .

Для того, чтобы точечная оценка давала «хорошие» приближения оцениваемого параметра, она должна быть: несмещенной, эффективной, состоятельной.

Несмещенной называют такую точечную оценку θ , математическое ожидание которой равно оцениваемому генеральному параметру при любом объеме выборки, то есть

~	(1.4)
M[θ]= θг .

Если равенство (1.4) нарушается, то в этом случае оценка θ называется

смещенной.

Эффективной называется точечная оценка θ , которая (при заданном объеме выборки) имеет наименьшую возможную дисперсию, то есть

~	(1.4 а)
D(θ)= min .

Состоятельной называется точечная оценка θ , которая (с увеличением объема выборки) стремится по вероятности к оцениваемому параметру θг , то есть для любого достаточно малого δ > 0

lim P (

< δ)

= 1.

(1.4 б)

θг − θ

n→∞

В качестве оценки математического ожидания m x

СВ Х по выборке

в −

x1 , x 2 ,K, x n

используют

выборочное

среднее

выборочное

математическое ожидание.

Выборочной средней

x в

называют среднее арифметическое значений

выборки:

в =

∑ x i .

(1.5 а)

n i=1

в = ∑ b j μ j .

(1.5 б)

j=1

Как сказано выше

x в

можно рассматривать как значение случайной

(X1 + X

2 + K + X n ),

X1 , X 2 ,K, X n −

величины

где

независимые

одинаково

распределенные

случайные

величины,

следовательно,

M [Xi ] = m x , i =

1, n

Эта

оценка

является

несмещенной,

так

как

M[X

]= M

(X1 + X 2 + K + X n )

(M [X1 ] + M [X 2 ] + K + M [X n ]) =

=1 × n × m x = m x . n

Оценка состоятельна, так как по теореме Чебышева

∑ X i

® m x .

i=1

n→∞

Эффективность данной оценки зависит от вида закона распределения.

Доказано, что если случайная величина X подчинена нормальному закону,

CBX − N (m x , D x ), то D [

D x

минимально возможная, а

есть

следовательно оценка является эффективной.

В качестве оценки дисперсии Dг

случайной величины X по выборке

x1 , x 2 ,K, x n

возьмем выборочную дисперсию

Dв . Выборочной дисперсией

Dв называют

среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых

значений x i от среднего значения x в .

Dв

∑

(1.6 а)

x i

- x в .

n i=1

x j

μ j ,

Dв = ∑

− x в

(1.6 б)

j=1

m j

, j =

где m j

1, k

Формулы для вычисления дисперсии можно упростить. Покажем, это на

примере формулы (1.6 б):

Dв

1 ∑ m j x j − x в

= 1 ∑ (x2j − 2 x j x

в + x

в2 )m j =

n j=1

∑ x 2j m j

- 2

∑ x j m j +

в2 ∑ m j

n j=1

j=1

= M[x в2 ]- 2 x в x в + (x в )2 = M[x в2 ]- x в2 .

Итак, мы доказали теорему:

Теорема. Дисперсия Dв равна среднему квадратов значений вариант

минус квадрат общей средней:

Dв

= x в2 -

в2 ,

(1.7)

где x в2 =

∑ x 2j

m j =

∑ x i2 ;

∑ x j m j

∑ x i .

n j=1

n i=1

n j=1

n i=1

Данная

оценка

является

состоятельной,

так

как

® m x ,

n→∞

[X2 ] (по теореме Чебышева).

Xв2 =

∑ X

→ M

n i=1

n→∞

Проверим является ли оценка так же несмещенной? Рассмотрим

случайную величину

Dв

∑ Xi −

∑Xi

∑ Xi −

∑Xi

−

∑ Xi X j

i< j

n - 1

∑ X i2

∑ X i

X j

которая при данных значениях

выборки

n 2

i< j

x1 , x 2 ,K, x n

дает оценку Dг .

Перенесем начало координат в точку m x (значение дисперсии не зависит

от выбора начала координат) и найдем математическое ожидание:

n −1

0 2

0 0

M [D]=

X i

−

∑ M X i X j

i<j

n −1

Dг −

K Xi X j

n −1

D г

так

как

K Xi X j = 0 при

i ¹ j

силу

n 2

= Dг .

независимости испытаний,

Xi2

n −1

Окончательно имеем M [D]=

Dг

Выборочную дисперсию можно легко исправить так, чтобы получить

несмещенную оценку. В качестве несмещенной оценки дисперсии Dг

используют исправленную дисперсию s 2 :

s 2 =

(1.8)

n -

Действительно,

n -1

M [s

]= M

M [D]=

Dг .

n - 1

n - 1 n

Исправленная дисперсия s 2

остается состоятельной, так как

lim

= 1

N→∞ n - 1

и множитель

не влияет на состоятельность оценки. При больших объемах

n -1

выборки n различие между D

и s 2

становится незначительным, а при малых

n в качестве характеристики рассеивания надо использовать исправленную

дисперсию.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют число σв

равное

sв = Dв .

Стандартным отклонением s называют корень квадратный из

исправленной дисперсии.

При выборке малого объема (n < 30) точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого генерального параметра, то есть приводить к

грубым ошибкам. Поэтому при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Пусть

найденная

(по данным

выборки) статистическая оценка θ

является оценкой неизвестного генерального параметра θг .

Ясно, что θ тем

точнее определяет θг , чем меньше значение разности

θг

− θ

. То есть при

< δ

(δ > 0)

δ, тем оценка

θг

точнее. Значит,

θг − θ

чем меньше

положительное число δ характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ называется

вероятность γ, с которой осуществляется событие θг − θ < δ, то есть

γ = P(θ	~	(1.9)
	г − θ < δ).

Обычно надежность оценки (доверительная вероятность γ) задается. Причем в качестве γ берут число, близкое к единице (0,95; 0,99; 0,999).

Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью γ покрывает оцениваемый генеральный параметр. В соотношении (1.9), если

раскрыть модуль, получается P(− δ < θг		~	~	~
		− θ < δ)= γ или P(θ − δ < θг		< θ + δ)= γ.
~	~	доверительный	интервал.	Из общих
Тогда интервал (θ	− δ; θ + δ) и есть

соображений ясно, что длина доверительного интервала будет зависеть от объема выборки n и доверительной вероятности γ.

Построение доверительного интервала для оценки математического

ожидания при известном σ.

Пусть случайная величина X распределена нормально, где σ − известно.

Требуется

по выборке x1 , x 2 ,K, x n оценить

неизвестное математическое

ожидание.

Наилучшей

оценкой

математического

ожидания

является

выборочное среднее X =

∑X i .

Известно,

что

имеет

нормальное

n i=1

распределение с M [X]= m, D[X]= σ2

, σ

P (

X − m

< l)= 2 Φ

Заменив в формуле

X на

X , l

на

δ, σ на

получим:

P (

< δ)

Φ (Zγ ),

X − m

2 Φ

= 2

Z γ σ

где Z γ =

n , откуда δ =

(**)

Задаваясь уровнем

значимости

α из

формулы 2 Φ (Z γ )= γ =1 − α по

таблице функции Лапласа можно найти значение Z γ . Подставляя Z γ в формулу

(**), найдем δ.

< d

Zγ

< m <

Zγ

Тогда

По выборке находим оценку X и записываем доверительный интервал:

γ s

Z γ s

, x

в - t ×

< m <

в + t ×

(1.10)

где t ×

= d - точность оценки; n -

объем выборки; t -

такое значение

аргумента функции Лапласа Ф(t) (приложение 1), при котором Ф(t)=

Построение доверительного интервала для оценки математического

ожидания при неизвестном σ.

Пусть СВ Х - N (m, σ), где m и σ - неизвестны.

Требуется по выборке x1 ,

x 2 , … ,

x n

построить интервальную оценку

неизвестного математического

ожидания.

Найдем точечные

несмещенные

1 n

оценки m и σ:

∑

s =

n i=1

n −1

можно построить

случайную

величину

распределение Стьюдента

S(t, n) с k = n −1

n		2		2
∑	x	2	− nx	2	.
∑		i		в
i=1

= x − m T

По данным выборки

n , которое имеет

степенями свободы. Распределение

Стьюдента зависит только от объема выборки n и при n → ∞ переходит в нормированное нормальное распределение N(0,1). На практике при n > 30 t - распределение можно заменять распределением N(0,1). На рис.1.1 представлен график t - распределения.

S(t, n)

− t γ	t γ	t
	Рис. 1.1

Доверительный интервал для СВ Т определяется равенством

P(T < t γ ) = 2t∫γ S(t, n)dt = g .

По таблице распределения Стьюдента по γ и k = n − 1 можно найти t γ .

Преобразуем неравенство:

t γ × s

- m

< t γ Û

x - m

γ × s

x -

< m < x +

Откуда

× s

< m

= g = 1

- a .

Тем самым по выборке, пользуясь распределением Стьюдента, можно

построить доверительный интервал

t γ × s

; x

(1.11)

покрывающий неизвестный параметр m с надежностью γ .

ПРИМЕР 1.2. Построить доверительный интервал для оценки

неизвестного математического ожидания

при n = 9 , γ = 0,95 ,

в = 6 ,

s = 3.

Решение. Построим доверительный интервал по формуле (1.10), положив

σ = s : 2Φ = 0,95 t = 1,96 ;

− s

× t

< m <

+ s

× t

6 −

3 ×

1,96

< m < 6 +

3 ×1,96

4,04 < m < 7,96 .

Построим доверительный интервал по формуле (1.11):

t0, 95

= 2, 31

t γ × s

6 -

3 × 2,31

xв

; xв +

< m < 6 +

Û 3,69 < m

< 8,31.

Использование

распределения

при

малых n

дает более

широкий

доверительный интервал, чем при использовании нормального распределения, что является более оправданным, так как нет информации о параметре σ .

На практике часто приходится по результатам n независимых равноточных измерений x1 , x 2 , ..., x n оценивать истинное значение измеряемой величины. Алгоритм решения этой задачи:

	1	n	2		2

2. Вычисляем стандартное отклонение s =		∑ xi		- nx
	n -1
		i=1

3. Задаемся доверительной вероятностью γ и строим доверительный интервал

t γ × s

; x

4. Записываем ответ.

ПРИМЕР 1.3. По данным 9 независимых равноточных измерений


физической величины найдены						в = 42,319			и s = 5,0 . Требуется оценить
					x
истинное значение измеряемой величины m с надежностью g = 0,95 .
Решение. По таблице S(t, n) находим t0, 95									= 2,31.
Точность оценки e = t γ ×	s			= 2,31×			5	= 3,85.

		n	9

Доверительный интервал: (x − ε; x + ε) (36,469; 46,169).
Ответ: С надежностью				g = 0,95 истинное значение измеряемой величины
попадает в доверительный интервал (36,469 < m < 46,169).
Запись: 42,319 ± 3,85 ,				g = 0,95 .

Аналогично могут быть построены интервальные оценки для дисперсии, коэффициента корреляции и других параметров.

Метод моментов

Снова возвратимся к точечным оценкам. Были сформулированы основные свойства оценок, но ничего не было сказано о способах их получения. Одним из первых методов оценивания параметров был метод моментов, разработанный К.Пирсоном. Достоинство метода – его простота. Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров распределения состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим выборочным моментам того же порядка.

Пусть СВ Х – задана плотностью f (x, θ), где q неизвестный параметр. Надо найти его точечную оценку. Для оценки одного параметра достаточно иметь одно уравнение, содержащее этот параметр. Приравняем первые

							∞
	~				где	M[Х] = ∫ xf (x, q)dx = j(q).
	~
начальные моменты: α1 = α1 M[X] = x в ,
Имеем уравнение:	ϕ(θ) =		в ,	решив которое,			−∞	найти оценку q
							можно
		x					можно
	~			, x 2 , ..., x n )
неизвестного параметра: q = y(x1				, x 2 , ..., x n )
ПРИМЕР 1.4.	По выборке x1 , x 2 ,				...,	x n	методом	моментов найти
точечную оценку неизвестного				параметра	l	показательного распределения
f (x) = l × e−λx , x ³ 0 .

Решение.

Приравняем M[Х] =

в =

∑ x i .

Для показательного

распределения:

n i=1

M[Х] =

в λ =

;

x в

Ответ: λ =

f (x, θ1 , θ2 ) с двумя

Пусть

СВ

Х имеет плотность

распределения

неизвестными параметрами. Для отыскания оценок двух параметров надо иметь

μ1

два уравнения относительно этих параметров. Приравняем α1 = α1

= μ 2 ,

= Dв . Имеем систему:

где α1 = M[X] , α1 = x в , μ 2 = D ,

μ 2

∞

∫ xf (x, θ1 , θ

2 )dx =

M[X] = x

−∞

D[X]

= D в

∞∫ (x − m x )2 f (x, θ1 , θ2 )dx = Dв

−∞

= ψ 2 (x1 , x 2

,..., x n ).

систему, найдем

Решив

θ1

= ψ1 (x1 , x 2 , ..., x n ), θ2

Метод моментов дает состоятельные оценки.

ПРИМЕР

1.5. По выборке

x1 , x 2 , ..., x n методом моментов

найти

оценки неизвестных параметров m

Решение. Имеем

m = x в

Ответ:

σ = D в

M[X] = x в=D[X] D в

и σ нормального распределения.

m = x в .σ 2 = Dв

Метод наибольшего правдоподобия

Основным методом получения точечных оценок неизвестных параметров распределения является метод наибольшего правдоподобия. Рассмотрим основную идею метода.

Пусть по результатам выборки требуется оценить неизвестный параметр

θ СВ Х с законом распределения f (x, q).
Функция L = f (x1 , q)× f (x 2 , q)× ...× f (x n , q)				(1.12)
называется функцией правдоподобия.
Для ДСВ функция правдоподобия имеет вид
L = P(x1 , q) × P(x 2 , q)× ...× P(x n , q) где	P(X k = x k ) = P(x к , q).
При фиксированных x1 , x 2 , ...,	x n функцию L будем рассматривать как
функцию от параметра θ . По методу наибольшего правдоподобия				за оценку
параметра θ принимают значение	~ ~	, x 2	, ...,	x n ), при
параметра θ принимают значение	аргумента θ = θ(x1	, x 2	, ...,	x n ), при

котором L имеет максимальное значение. Поскольку ln L при фиксированных

(x1 , x 2 , ..., x n )

достигает максимума при том же значении параметра θ , что и

L , то для нахождения оценки решают уравнение правдоподобия:
	∂ ln L	= 0	(1.13)

	¶q

Если закон распределения СВ Х зависит от двух параметров f (x, q1 , q2 ), то функция правдоподобия L = f (X1 , q1 , q2 )× f (X 2 , q1 , q2 )×...× f (X n , q1 , q2 ), а

уравнения правдоподобия имеют вид:	∂ ln L = 0,	∂ ln L = 0 .
	¶Q1	¶Q 2

ПРИМЕР 1.6. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра λ распределения Пуассона.

Решение. Распределение Пуассона: Pn (m) = lm e −λ . Составим функцию m!

правдоподобия:

L = P(x1 , l)× P(x 2 , l) × ...× P(x n , l) = lx1				e −λ × lx 2				e −λ ×	... × lx n
			x1!			x 2 !			x n !
n	× ln l - nl - ln(x1!× x 2 !×...× x n !).
ln L = ∑ x i	× ln l - nl - ln(x1!× x 2 !×...× x n !).
i=1
					n
		d ln L			∑ x i
Уравнение правдоподобия		d ln L	= 0		i=1		- n = 0 l =
Уравнение правдоподобия			= 0		l		- n = 0 l =
		dl			l

e −λ ;

1 ∑n x i = x в

n i=1

d 2 ln L

т.к.

dl2

= -

∑ x i < 0 , то l = x в

- точка максимума.

l2 i=1

Ответ: оценка наибольшего правдоподобия l = x в .

ПРИМЕР

1.7.

Методом наибольшего правдоподобия

найти

оценки

распределения: f (x) =

− (x −m)2

параметров

m и σ

нормального

2σ2

по

выборке x1 , x 2 , ..., x n .

Решение. Функция правдоподобия

−

(x1 −m)2

−

(x 2 −m)2

−

(x n −m)2

2σ2

L =

× ...×

(xi −m)2

L =

− ∑

2σ2

e i=1

;

(σ

2π

∑n (x i - m)2

ln L = -n ln s + ln 1 - i=1 ;

(2p)n 2s2

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.09.2019195.07 Кб2УМК-КУ ПОЭ.doc
#
17.03.2015661.5 Кб75УМК.doc
#
17.03.20151.66 Mб62УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб102УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб91УМК.PDF
#
17.03.20151.09 Mб47УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб49УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб20УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб136УМК6.pdf
#
17.03.2015430.08 Кб10УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб73УМП ВРЕМЕНА1.doc