1 сем матем

Необходимым условием локального максимума (минимума) дифференцируемой функции является обращение в нуль производной в экстремальной точке.

Доказательство

Пусть в точке x0 - максимум. Тогда для x > x0 f(x) · f(x0), т.е. производная f0(x0) ¸ 0. При x < x0 f(x) · f(x0) т.е. производная f0(x0) · 0. В точке x0 должны одновременно выполняться условия f0(x0) ¸ 0 и f0(x0) · 0, что может быть только если f0(x0) = 0.

Аналогично доказывается случай минимума. Теорема доказана. Условие f0(x0) = 0 является только необходимым и выделяет точки –

кандидаты на экстремум. Эти точки называются стационарными (в их окрестности изменение функции происходим медленно.

Условие f0(x0) = 0 выделяет не все точки экстремума – он может реализоваться также в точках, где производная не существует (не существует предел (29)).

Если экстремальные точки определяются при дополнительном условии a · x · b, экстремальными могут оказаться концы отрезка. Формула Тейлора

Рассмотрим многократно дифференцируемую функцию f(x) и будем исследовать е¸ поведение в окрестности точки x0. Многочлен Тейлора Pn(x) получается из условия, что значения f(x) и Pn(x) и их производных до порядка n совпадают в точке x0:

f(k)(x0) = Pn(k)(x0); k = 0; 1; : : : n:

Полученный таким образом многочлен

Pn(x) = Xn fk(x0)(x ¡ x0)k k!

k=0

является приближением (аппроксимацией) f(x) в точке x0:

f(x) = Pn(x) + Rn(x);

где Rn(x0) – погрешность аппроксимации (остаточный член).

Для остаточного члена существуют различные оценки, например, та-

кая:

Rn(x) = fn+1(») (x ¡ x0)n+1 (n + 1)!

где » – некоторая неизвестная точка, находящаяся между точками x и x0.

41

Формула Тейлора имеет вид

Члены в формуле Тейлора обладают тем важным свойством, что последующими членами можно пренебрегать по сравнению с первым отличным от нуля членом, если приращение аргумента x ¡ x0 сделать достаточно малым.

Упражнение: покажите это. Достаточные условия экстремума

Достаточные условия можно получить из формулы Тейлора. Если в точке x0 выполняется необходимое условие, то в правой части формулы (32) зависящие от x члены начинаются со степени 2 или выше. Если первый, отличный от нуля член четный – экстремум есть, нечетный – экстремума нет. В случае, если первая отличная от нуля производная четного порядка отрицательна – в точке экстремума максимум, положительна - минимум.

Этот вывод получается из того свойства, что при достаточно малом x¡x0 поведение функции f(x) определяется первым, отличным от нуля, членом формулы Тейлора.

Обычно на практике первая отличная от нуля производная – вторая. Поэтому достаточное условие экстремума обычно представляется в виде:

f00(x0) < 0 ¡ максимум f00(x0) > 0 ¡ минимум

Часто вместо использования производных старших порядков предпочитают для классификации экстремума использовать изменение знака 1-й производной в окрестности исследуемой точки x0.

в точке x0 минимум.

Уравнение касательной к кривой

Уравнение y ¡ y0 = k(x ¡ x0) – уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0) с тангенсом угла наклона k. Поэтому уравнение

42

представляет уравнение касательной, т.к. f0(x0) – тангенс угла наклона касательной.

Выпуклость и вогнутость, точки перегиба

Сравнение поведения касательной (33) и кривой f(x), выраженной формулой Тейлора (32), в окрестности точки x0 показывает, что если f00(x0) > 0, в окрестности точки x0 график функции f(x) выше кривой касательной, в этом случае функция называется выпуклой книзу или вогнутой. Если f00(x0) < 0, в окрестности точки x0 график кривой y = f(x) проходит ниже касательной – кривая является выпуклой кверху или просто выпуклой(Рис.12).

43

5.Точки разрыва.

6.Точки отсутствия производной. Процедура построения графика включает:

1.Определение ОДЗ.

2.Определение характерных точек.

3.Анализ поведения функции на границах ОДЗ.

4.Исследование существования асимптот.

После упорядочения характерных точек и анализа поведения функции в промежутках между ними (выпуклость, вогнутость) строится качественный график. Для точного количественного представления можно добавить результаты расчета значений функции в дополнительно выбранных точках.

45

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Функция n переменных z = f(x1; x2; : : : xn) представляет гиперповерхность в n-мерном пространстве. Для е¸ исследования чаще всего применяется метод сечений. Сечение функции получается, если часть переменных аргументов, или их комбинаций, зафиксировать. Сечение представляет функцию меньшего числа переменных, которую исследовать проще.

Неявные функции и линии уровня В случае функций одного аргумента неявной функцией называет-

ся выражение вида F (x; y) = 0. Для получения зависимой переменной y при заданном значении переменной x необходимо решить уравнение F (x; y) = 0. В этом заключается свойство неявности задания функции.

Соотношению F (x; y) = 0 можно дать другую интерпретацию – как линии уровня функции двух переменных z = F (x; y). Линия уровня, это сечение плоскостью, перпендикулярной координатной оси зависимой переменной. Название напоминает линии уровня местности на географических картах.

Очевидно, что такая двойная интерпретация применима и к функциям n переменных. Равенство F (x1; x2; : : : xn) = 0 может трактоваться и как неявная функция и как линия нулевого уровня явной функции n аргументов z = F (x1; x2; : : : xn).

Непрерывность функций многих переменных

Аргументы многомерной функции z = F (x1; x2; : : : xn) могут трактоваться как “точка” представляющая набор переменных (n-мерный вектор). Мера близости между двумя точками x1 и x2 (используем векторное обозначение x = (x1; x2; : : : xn)) задается по разному, например,

и т.д.

Меру близости (расстояния) выбирают такой, чтобы для не¸ выполнялась аксиома треугольников

½(x1; x2) · ½(x1; x3) + ½(x2; x3);

46

названная так по свойству сторон треугольника: длина стороны всегда не больше суммы двух других сторон.

С помощью расстояния вводится понятие окрестности данной точки x0, окрестность это множество точек x, удовлетворяющих условию ½(x; x0) < ", где " – положительное число, называемое иногда радиусом окрестности.

Мера (34) приводит к окрестности в виде гиперсферы, (35) – гиперпрямоугольника.

Функция z = f(x1; x2 : : : xn) = f(x) называется непрерывной в точке x0 если при небольшом отклонении от точки значение функции меняется мало. Величина отклонения определяется радиусом окрестности.

Строгое определение: функция z = f(x) называется непрерывной в точке x0, если для любого " > 0 найдется число ± > 0, такое что из

условия ½(x; x0) < ± следует:jf(x) ¡ f(x0)j < ".

Функция, непрерывная в каждой точке множества, называется непрерывной на этом множестве. Нужно учитывать, что функции многих переменных могут иметь более разнообразные особенности, чем функции одной переменной.

Например, внешне просто выглядящая функция

xy

z= x2 + y2

вточке (0; 0) не непрерывна и обладает интересным поведением. Рассмотрим сечение поверхности функции плоскостью y = kx. В этом сече-

функция принимает постоянное значение, для разных сечений разное. Поведение функции в окрестности точки (0; 0) напоминает винтовую

лестницу. Очевидно, в точке (0; 0) функция не непрерывна.

На практике, большей частью, встречаются непрерывные функции.

Частные производные и дифференциал

Частные производные Частной производной называется производная функции одной пере-

менной, полученной из функции n переменных сечением: фиксацией всех переменных кроме одной, интересующей. Например

Очевидно, функция n переменных имеет n частных производных.

47

Частная производная записывается с использованием кривой буквы

@, прямая записывается с использованием прямой буквы d. Другое обозначение частных производных:

@x@xk = fx0k

т.е. внизу указывается переменная, по которой производится дифференцирование.

Частные производные высших порядков Как и в случае одного переменного, продифференцированную функ-

цию можно дифференцировать снова, получается вторая производная, и т.д. Однако, в случае многих переменных появляется дополнительная возможность: во второй раз дифференцировать по другой переменной. В результате получаются так называемые смешанные производные, например, смешанная производная второго порядка

@2f ; @xi@xj

полученная в результате дифференцирования по переменным xi и xj. Вычисление пределов, с помощью которых определяются производ-

ные, показывает, что порядок переменных, по которым выполняется дифференцирование, значения не имеет, т.е. выполняется соотношение

Касательная плоскость (гиперплоскость)

В случае функции одной переменной производная представляет угловой коэффициент касательной прямой, представляющей предел секущей. С е¸ помощью строится уравнение касательной (33).

Аналогично, для гиперповерхности z = f(x1; x2; : : : xn) можно определить касательную гиперплоскость, представляющую предел секущей гиперплоскости при сближении точек сечения.

В n + 1 мерном пространстве переменных x1; x2; : : : xn; z гиперплоскость однозначно определяется заданием n + 1 точки, через которые она проходит. Построив секущую гиперплоскость по n + 1 точке, расположенной на гиперповерхности, и затем рассмотрев е¸ эволюцию при сближении точек, можно получить касательную гиперплоскость, уравнение которой имеет вид

48

Гиперплоскость касается гиперповерхности в точке x0.

Аналогично, для гиперповерхности в n-мерном пространстве, заданной неявным уравнением F (x) = 0 для касательной плоскости дает урав-

Упражнение:

Уравнение z = f(x1; x2; : : : xn) можно записать в форме неявного уравнения z ¡f(x1; x2; : : : xn) = 0. Показать, что уравнение (37) для него совпадает с уравнением (36).

Градиент Вектор, образованный частными производными функции

многих переменных, называется градиентом функции Обычно он записывается как вектор-столбец:

0@f 1

@x1

B @f C

grad f = B @x2 C B .. C @ . A

@f @xn

С помощью градиента уравнение (37) можно записать через скалярное произведение

Поскольку вектор x ¡ x0 лежит в касательной гиперплоскости, уравнение (38) показывает, что градиент перпендикулярен касательной гиперплоскости, т.е. перпендикулярен самой гиперплоскости.

Если неявно заданную функцию F (x) = 0 трактовать как поверхность (для n = 2 – линию) уровня, градиент указывает направление, в котором значение функции z = F (x) при движении из точки x возрастает быстрее всего.

Дифференциал функции многих переменных

Дифференциал функции z = f(x) = f(x1; x2; : : : xn) имеет вид:

где dxk = xk ¡ xk0. Дифференциал фактически совпадает с касательной гиперплоскостью. Отличие заключается в способе использования: касательная плоскость применяется при любых значениях аргументов, как геометрическая характеристика. Дифференциал имеет практический смысл

49

только при малых приращениях аргументов dxk, как выражение, аппроксимирующее поведение приращения многомерной нелинейной функции в окрестности данной точки.

Производная по направлению Частные производные представляют производные одномерных функ-

ций, полученных из многомерной сечениями, перпендикулярными координатным осям. Производная по направлению представляет производную произвольного заданного сечения, проходящего через точку, в которой она вычисляется.

Рассмотрим сечение, определяемое плоскостью, проходящей через ось Oz и вектор k = (k1; k2; : : : ; 0) (последняя координата соответствует переменной z). Приращения аргументов по этому направлению можно представить соотношениями

где dt – параметр, определяющий длину приращения. Подставляя (40) в

Это и есть формула для производной по направлению. Е¸ можно записать в компактном виде через градиент

dzdt = (grad f; k):

Производная неявной функции Рассмотрим неявно заданную функцию

Если бы е¸ удалось разрешить, можно было бы получить явное задание функции

z = f(x1; x2; : : : xn);

производные которой вычисляются обычным образом. Однако эти производные можно вычислить, не определяя явную функцию из (42). Будем

50