Тройные интегралы 26-28
.doc
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
26. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
Теорема о существовании тройного интеграла: Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.
] в некоторой замкнутой ограниченной области T трёхмерного пространства задана ограниченная функция трёх переменных f(x,y,z). Разобьём эту область на n произвольных частей с объёмами vi. В каждой частичной области возьмём произвольную точку M(xi,yi,zi) и составим сумму:
,
которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если и интегральная сумма при n имеет предел, то такой предел называется тройным интегралом:
(2.1)
Свойства тройного интеграла: по смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.
1. Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и:
2. Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то:
3. Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции интегрируемы по области V, то:
27. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Допустим, что область T – простая в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведённая параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Значит, область T ограничена снизу поверхностью z=z1(x,y), сверху поверхностью z=z2(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда по аналогии с формулой вычисления объёмов цилиндрических тел при помощи двойных интегралов, можно получить:
(2.2)
Здесь D – проекция области T на плоскость xOy. Если область D является простой в направлении оси Oy, то можно написать, что:
(2.3)
Внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы, а пределы второго интеграле зависит только от выбранной переменной, стоящей во внешнем.
Алгоритм вычисления тройных интегралов: 1) Сделать чертёж области интегрирования T; 2) Изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость; 3) Расставить пределы интегрирования 4) Посчитать итог
Теорема о замене переменных в тройном интеграле:
] в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . И пусть:
1) F взаимно однозначно отображает G на V;
2) Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные);
3) Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда .
28. Переход к сферическим и цилиндрическим координатам в тройном интеграле
Е
Рис.
2.5
Рис.
2.8
(2.11)
Причём 02, 0+, –<z<+.
Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к цилиндрическим, равен:
.
Т
Рис.
2.6
(2.12)
Вычисление тройных интегралов в цилиндрических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования такой:
(2.13)
Сферическую систему координат удобнее использовать, если область интегрирования имеет центральную симметрию, т.к. тогда положение точки M определяется расстоянием от начала координат O, углом между осью Ox и проекцией радиус-вектора точки M на плоскость xOy, углом между осью Oz и радиус-вектором точки M. Из рисунка видно, что сферические координаты , , связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:
(2.14)
Причём 02, 0, 0<+.
Модуль якобиана, соответствующий переходу от декартовых координат к сферическим, равен:
.
Таким образом, формула перехода для тройных интегралов от декартовых координат к сферическим имеет вид:
(2.15)
Вычисление тройных интегралов в сферических координатах приводится к однократным повторным интегралам на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. Обычно порядок интегрирования следующий: , , . Тогда получаем:
(2.16)