- •2. Нелинейное программирование Построение одзп, выбор начальной точки поиска
- •2.1 Нахождение экстремального значения функции f(X) без учета ограничений на переменные Метод наискорейшего спуска
- •Метод Ньютона-Рафсона
- •2.2 Нахождение экстремального значения функции f(X) с учетом системы ограничений задачи Метод допустимых направлений Зойтендейка
- •Метод линейных комбинаций
- •Условия теоремы Куна-Таккера
2. Нелинейное программирование Построение одзп, выбор начальной точки поиска
Целевая функция имеет вид:
Вид функции можно посмотреть в пакете Matlab, используя следующую подпрограмму: >> [x1,x2]=meshgrid([-10:0.1:10]); >> F=3*x1.^2+4*x2.^2-2*x1.*x2+4*x1+5*x2; >> meshc(x1,x2,F);
Рисунок 2.1 – Вид функции цели
Функция вогнута и имеет минимум.
Построим ОДЗП:
Пусть x1=7, тогда x2=5
Пусть x1=0, тогда x2=1
Пусть x1=7, тогда x2=5
Пусть x1=0, тогда x2=6
Рисунок 2.2 – ОДЗП
Внутри области допустимых значений выбираем точку x0, которая в дальнейшем будет являться начальной в процессе поиска экстремума:
x0=(4;4).
2.1 Нахождение экстремального значения функции f(X) без учета ограничений на переменные Метод наискорейшего спуска
=[4;4]
В методе наискорейшего спуска очередная точка при поиске минимума функции вычисляется по формуле:
где направление движения задается вектором градиента функции F(x), вычисленном в точке , а величина шага перемещения определяется числовым параметром .
Найдем градиент :
.
На первом шаге движение осуществляется из точки вдоль вектора
- в новую точку :
В еличина шага на любом шаге выбирается из условия обеспечения экстремума функции в рассматриваемом направлении. Подставляя координаты точки в функцию , получим:
Из условия:
;
найдем :
;
В результате после первого шага координаты очередной точки получаются равными:
Вычисляем
На втором шаге движение осуществляется в направлении вектора
- :
Подставив полученные выражения для x12 и x22 в функцию цели и преобразовав, из условия
;
найдем :
;
Тогда:
В результате после второго шага координаты очередной точки получаются равными:
Вычисляем :
На третьем шаге движение осуществляется в направлении вектора
- :
Подставив полученные выражения для x12 и x22 в функцию цели и преобразовав, из условия:
;
найдем :
;
В результате после третьего шага координаты очередной точки получаются равными:
На третьей итерации закончим вычисления, значение функции цели:
Рисунок 2.3 – Графическая интерпретация метода наискорейшего спуска
Метод Ньютона-Рафсона
Условие задания:
=[4;4]
Данный метод дает решение задачи за 1 шаг. Очередная точка поиска вычисляется в соответствии с выражением:
где – матрица Гессе функции ; – обратная по отношению к матрица.
Градиент F(x):
;
.
где det H – определитель матрицы H; AdjH – присоединенная к H матрица (транспонированная матрица алгебраических дополнений).
Найдем определитель матрицы Гессе:
Найдем транспонированную матрицу алгебраических дополнений AdjH:
Теперь найдем матрицу обратную по отношению к - матрицу :
тогда:
Следовательно, в точке функция F(x) достигает экстремального значения:
Рисунок 2.4 – Графическая интерпретация метода Ньютона-Рафсона