Добавил:

Vor_fleshek Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Моделирование систем управления

Файл:

MSU_Lektsii_Eliseev

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.01.2024

Размер:

2.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Моделирование систем управления		© 2016, В.Л. Елисеев
Введем обозначения: B * V 1 B ,	C * CV .	Поскольку в канонической форме с

различными собственными числами матрица состояния должна иметь диагональный вид с

		1
собственными числами на диагонали: A *	V 1 AV
собственными числами на диагонали: A *	V 1 AV

			0
			0

	0

1
			I , где I –
		I	I , где I –
	n
	n

единичная матрица. Матрица V в этом случае составлена из элементов собственных

		v k 1		v	11	v
векторов	v k		: V
векторов	v k		: V

		v kn		v n 1		v

1 n

v k 1

A

v kn

v k 1

			, k 1, n
k			, k 1, n

v kn

Собственные числа и собственные вектора получаются в результате решения

характеристического уравнения L ( ) 0 , отыскиваемого из уравнений	A I	0 ,
Av k k v k

Таким образом, каноническая форма уравнений движения в пространстве состояний будет иметь вид:

x *		A * x * B * u
	y	C * x * Du

Вспоминаем, линейную алгебру, матричное исчисление и основные, интересующие нас свойства:

1.Определитель: det A A

2.Собственные числа: det( A I ) 0

3.Собственные векторы: ( A k I ) v k 0

Обращение матрицы: A 1 A

AA 1

I , в частности, для матрицы 2x2:

A 1

a 11

a 12

C T

a 22

a 12

a 22

a 11 a 22 a 12 a 21

a 11 a

22 a 12 a 21

a 21

a 11

a 21

где C T - транспонированная матрица алгебраических дополнений к A.

Пример:

y 3 y 2 y 2 u 8 u 11 u

a 2	1	b 2	2
a 1	3	b1	8
a 0	2	b 2	11

I. В аналоговой форме:

Моделирование систем управления			© 2016, В.Л. Елисеев
u

	2	1		0
					y
					y

0	b 2		2
1	b1 a 1 0				8 6 2
2	b 2 a 1 1 a 0 0					11 6 4 1
x	1	x 2		2 u

	2 2 x 1 3 x 2 u
x	2 2 x 1 3 x 2 u

		x 1	2 u
y		x 1	2 u
		0		1			2	,	C 1	0 ,	D 2
A					,	B		,	C 1	0 ,	D 2
		2		3
		2		3			1

II. Преобразовав к каноническому виду на основе матрицы собственных векторов:

		1
det( A I )		2	3 2	0

2 3

1 1 , 1 2

Найдем собственные вектора:

v 11

v 12

v 11

v 12

2 v11 3 v 12

v 12

3 v 12

v 12

v 21

2 v 21

v 22

v 21

2 v 22

2 v 21 3 v 22

v 22

Рассчитаем новые матрицы состояния, управления, наблюдения и связи:

Моделирование систем управления																																						© 2016, В.Л. Елисеев
		1				1										1					1			2	1			2				1
V														V		1
V														V

				1		2															2 1			1	1				1			1
Проверяем: VV									1			1							1 2					1			2 1					1 1			1	0
Проверяем: VV									1																												I

														1				2			1			1		2 2						1 2			0	1
A *				1			0									* V 1 B								2	1		2				5					1			1		1	1	1
A *														B		* V 1 B																C	*	CV		1	0					1	1

				0		2																		1	1		1					3								1	2
III.				Решение характеристического уравнения:
W ( p )					2 p 2 8 p 11												2 p 2				8 p 1

						p 2 3 p 2											( p 2 )( p 1 )
						p 2 3 p 2											( p 2 )( p 1 )
Вспомним:								M ( p )									n			c i		, где c 0			lim			M ( p )			,	c k ( p k )				M ( p )				, k
																												M ( p )								M ( p )
																																									1, n
										c 0
																																				L ( p )

								L ( p )								i 1		p i							p 0 L ( p )													p k
																i 1		p i																				p k

c 0	lim				M ( p )				lim				M			( p )			lim				M ( p )		2
c 0	lim								lim										lim						2
				p 0		L ( p )															p
				p 0		L ( p )			p 0 L ( p )												p	0 L ( p )
c1			2 p 2			8 p 11									5
			2 p 2			8 p 11

						p 2					p1	1
						p 2
c 2				2 p 2		8 p 11										3



						p 1					p 2	2
						p 1
В итоге имеем:
В итоге имеем:
A		1				0													5					C 1		1						2
A														B										C 1		1				D		2
				0		2
				0		2															3

Моделирование систем управления

Лекция 7. Переходная матрица линейной системы

Переходная матрица состояния стационарной линейной динамической системы. Способы получения переходной матрицы состояния: на основе приближённого суммирования матричной экспоненты, путём обратного преобразования Лапласа фундаментальной матрицы системы, на основе определения собственных чисел исходной матрицы состояния. Переходная матрица состояния нестационарной линейной динамической системы. Матричная передаточная функция (МПФ) многосвязной линейной динамической системы, определение и способ получения. Пример нахождения МПФ.

Переходная матрица состояния линейной стационарной системы

Рассмотрим обычное дифференциальное уравнение вида x ax bu

Преобразуем его в операторную форму (эквивалентно преобразованию Лапласа):

pX ( p ) X ( 0 ) aX ( p ) bU ( p ) ,

где X(0) – вектор начальных условий.

X ( p )	X ( 0 )	b	U ( p )

	p a	p a

Его решение имеет вид суммы свободной и возмущенной составляющих:

	t
x ( t ) exp(	at ) x ( 0 ) exp(	a ( t )) bu ( ) d
	0
В случае системы ОДУ, записанной в матричной форме: x			Ax Bu , переход к

операторной форме дает следующие матричные уравнения:

pX ( p ) X ( 0 ) AX ( p ) BU ( p )

( pI A ) X ( p ) X ( 0 ) BU ( p )

X ( p ) ( pI A ) 1 X ( 0 ) ( pI A ) 1 BU ( p )

Обозначим ( p ) ( pI A ) 1

Во временной области решение записывается аналогично скалярному случаю:

	t
x ( t ) exp(	At ) x ( 0 ) exp(	A ( t )) Bu ( ) d
	0

Матрица ( t ) exp( At ) определяет свободные колебания линейной системы и называется переходной или фундаментальной матрицей:

Моделирование систем управления

		11 ( t )
( t )
( t )

	n 1 ( t )
	n 1 ( t )

	1 n	( t )

( t )

Преобразованием Лапласа этой матрицы является ( p ) L (t ) .

Уравнение свободного движения для i-й переменной состояния равно:

x iсв ik ( t ) x k ( 0 )

k 1

Элементы матрицы ij ( t ) определяют реакцию i-й переменной состояния системы на

единичный скачек на j-й переменной состояния при нулевых начальных условиях на других x k ( 0 ) 0 , k j .

Способы нахождения ( t ) :

1)Приближенное вычисление экспоненты методом разложения в ряд Тейлора в окрестности t 0 0 :

( t ) exp(

) I At

A 2 t 2

A 3 t 3

A m t m

m !

2) Определение собственных значений матрицы A:

x ( t )

exp(

At ) x ( 0 ) exp( A ( t )) Bu ( ) d

x Vx * , где x *

–

канонические

переменные состояния, а V – матрица собственных

векторов для A.

Тогда, обозначив B * V 1 B

и C *

CV , можем записать:

x i* ( t )

exp(

i t ) x i* ( 0 )

exp(

i ( t )) B * u ( ) d

Или в матричной форме:

x * ( t ) diag

exp(

t ) x * ( 0 )

diag

exp(

( t )) B * u ( ) d

exp(

1 t )

Обозначим diag

exp(

i t )

E ( t )

exp( n t )

x * V 1 x

Моделирование систем управления	© 2016, В.Л. Елисеев
t
V 1 x ( t ) E ( t )V 1 x ( 0 ) E ( t )V 1 Bu ( ) d
0
Умножаем слева на V:
t
x ( t ) VE ( t )V 1 x ( 0 ) VE ( t )V 1 Bu ( ) d
0

Таким образом, получаем выражение для фундаментальной матрицы:

( t ) exp( At ) VE ( t )V 1

3) На основе преобразования Лапласа для фундаментальной матрицы:

( t ) L 1 ( p ) L 1 ( pI A ) 1

Главной проблемой данного способа нахождения решения является расчет обратной матрицы.

Рассмотрим пример:

, где

для нулевых начальных условий

x ( 0 )

Найдем переходную матрицу всеми описанными способами.

Приближенное значение экспоненты:

A 2

A 3

2 t

( t )

1 3 t

Можно заметить, что при exp( t )

1 t

t 2

t 3 ,

exp(

t ) 1 t

t 2

t 3

2 exp(

t ) 2

2 t

t 2

t 3

exp(

2 t )

2 t

t 2

t 3

2 exp(

2 t )

2 4 t

t 3

Оказывается,

что

Моделирование систем управления							© 2016, В.Л. Елисеев
2 exp(		t ) exp(	2 t )	2 exp(	t ) exp(	2 t )
( t )
	exp(	t ) exp(	2 t )	2 exp(	2 t ) exp(	t )

2) Через определение собственных чисел A:

det( I A ) 0

2	3 2			0 ,	отсюда			1	1 ,	2	2
								1		2
		2	1		1		1		1
V				V	1
							1		2
		1	1				1		2
			exp(	t )			0
E ( t )

				0		exp(	2 t )

exp(

t )

2 exp(

t )

exp(

2 t )

( t ) VE ( t )V

t )

exp( 2 t )

exp(

2 t )

2 exp(

t ) exp(

2 t )

2 exp(

t ) exp(

2 t )

( t )

t ) exp(

2 t )

2 t ) exp(

t )

exp(

2 exp(

Обратным преобразованием Лапласа.

( p ) ( pI A ) 1

a11

a12

a 22

a 21

A )

p 2

3 p 2

det( pI

p 3

A ) 1

a 22

a 21

p 3

( pI

det( pI A )

a12

a11

3 p 2

			p 3

			1)(	p 2 )
( p )	( p
			1

		( p	1)(	p 2 )

L 1

( t ) L 1 ( p )

L 1

	2

	( p 1)(	p
	( p 1)(	p	2 )
	p
	( p 1)(	p
	( p 1)(	p	2 )
	p 3

( p 1)( p		2 )
( p 1)( p		2 )
1

( p 1)( p		2 )
( p 1)( p		2 )

	2

	1)( p
( p	1)( p	2 )
	p
	p


	1)( p
( p	1)( p	2 )

Вспоминаем, что:

Моделирование систем управления							© 2016, В.Л. Елисеев
L 1	p a 0		( a 0 b1 ) exp(	b1t ) ( a 0	b 2 ) exp(	b 2 t )
	( p b1 )( p b			b 2 b1
	( p b1 )( p b	2 )		b 2 b1

Отсюда получаем

	2 exp(		t ) exp(	2 t )	2 exp(	t ) exp(	2 t )
( t )
		exp(	t ) exp(	2 t )	2 exp(	2 t ) exp(	t )
		exp(	t ) exp(	2 t )	2 exp(	2 t ) exp(	t )

Переходная матрица состояния линейной нестационарной системы

Теорема

(условие Липшица): Пусть в

системе

x f ( x , t )

с начальными условиями

x ( t 0 ) x 0

функция f ( x , t ) определена

области R переменных состояния,

характеризуемой

x x 0

b в интервале

t 0

c , ( b

0 , c 0 ) и в отношении x

и t непрерывна

в этой области.

Если для любых двух векторов состояния

x1 и x 2

удовлетворяется условие

f ( x1 , t ) f ( x 2 , t )

x1 x 2

где 0 k

, то для системы в области R существует единственное решение.

Здесь k

удовлетворяет условию

min c ,

max

f ( x , t )

x R ,

t t 0

Константы b, c могут быть как конечными, тогда говорят, что система удовлетворяет локальному условию Липшица, или сколь угодно большими, тогда система удовлетворяет глобальным условиям Липшица. k называется константой Липшица.

В случае стационарной системы первого порядка x	f ( x )	для любых значений x , x ,

взятых из представляющей интерес области значений x, условие Липшица можно записать в виде:

f ( x ) f ( x		)	k
	x x

Это означает, что прямая, соединяющая любые две точки кривой f(x), не может иметь наклон, превышающий k.

Условия Липшица применимы и для функций, не являющихся непрерывно дифференцируемыми на области R. В этом случае можно говорить применимости в тех точках, где соблюдается непрерывная дифференцируемость. Для других точек существование и единственность решения не гарантируется.

Для линейной нестационарной системы x A ( t ) x в свободном движении с начальными условиями x ( t 0 ) x 0 справедлива следующая теорема:

Моделирование систем управления

Теорема: Если матрица A(t) интегрируема в смысле Римана (интегрируемы все элементы) на некотором интервале времени, то на этом интервале для системы существует единственное решение.

Если A(t) разрывна в некотором конечном количестве точек на интервале интегрирования, то существование и единственность решения также гарантируется.

Пути нахождения переходной матрицы состояния связаны с получением замкнутого решения системы дифференциальных уравнений системы, так как переходная матрица представляет собой упорядоченное в области времени классическое решение.

Рассмотрим скалярную систему в свободном движении:

x	a ( t ) x ,	x ( t 0 ) x 0

Решение этого однородного уравнения имеет вид:

	t			k ( t , t 0 ) ,
x ( t ) k exp			a ( ) d	k ( t , t 0 ) ,
	t	0
		0

где k – константа. Причем, выполняется граничное условие ( t 0 , t 0 ) 1

Можно предположить, что для векторной			системы x A ( t ) x будет иметь место
аналогичное решение:
	t
( t , t 0 ) exp			A ( ) d
	t	0
		0

В общем случае это утверждение не верно. Переходная функция может быть найдена в таком виде либо если A не зависит от времени, то есть, при рассмотрении стационарной

t
системы, либо если A(t) коммутативна с матрицей	A ( ) d для всех t и t0, то есть,
t 0

t 0

A ( ) d A ( t ) A ( t )
	t	0

A ( ) d

Вчастности, это условие коммутативности выполняется, если A(t) диагональная.

Вобщем случае линейной нестационарной системы переходная матрица может быть получена путем итераций, сводящимся к повторному интегрированию, в виде

бесконечного ряда, называемого рядом Неймана или матрицантом.

Переходная матрица в замкнутом виде может быть найдена для большинства линейных нестационарных систем, интегрируемых классическими методами.

Пример: получение переходной матрицы для нестационарной системы

t	2 d 2		x	5 t	dx	6 x	0

		dt	2		dt

При подстановке ln t можно записать: t												exp(		)	dt exp(			) d			d		dt
При подстановке ln t можно записать: t												exp(		)	dt exp(			) d			d		t
																							t
Тогда
	d 2 x		5		dx	6 x 0

	d 2				d
	p		d	:		p 2 5 p 6 0				2				3
	p			:		p 2 5 p 6 0			1	2			2	3
			d						1				2
			d
Рассчитываем матрицу переходной функции для переменной																		0
		, 0 )				3 exp( 2 ( 0 ))	2 exp(	3 (			0 ))		exp(		2 (	0	)) e ( 3 (			0 ))
(		, 0 )
						6 exp( 2 ( 0	)) exp(	3 (			0 ))	2 exp(			2 (	0	)) 3 exp(		3 (
						6 exp( 2 ( 0	)) exp(	3 (			0 ))	2 exp(			2 (	0	)) 3 exp(		3 (			0 ))

После обратной подстановки получим:

t 0

t 0		2	t 0		3

	t			t

t 0		2	t 0
2			3
	t			t




3	t
		0

x ( t 0 )
	dx



	dt
		t t 0
		t t 0

Переходим к координатам x и dx :

												t 0		2			t 0		3		t 0		2			t 0	3


x		1	0			x	1	0		3						2													1
										3						2
												t					t				t					t
	dx		1			dx		1				t					t				t					t
	dx		1			dx		1
		0			t		0				t				2		t			3	t			2		t		3		0
		0			t		0								2					3				2				3		0
dt				t		dt			t	6			0					0				0					0
																	6				2				3
																	6				2				3
											t						t				t					t
											t						t				t					t

Для нормальных координат x и dx переходная матрица имеет вид:

	x ( t 0 )
0	dx


t 0
	dt
		t t 0

			t 0	2				t 0		3


	3						2
	3						2
( t , t 0 )			t					t
( t , t 0 )				t 2				t 3
				t 2				t 3

		6			3	6			4
		6			3	6			4
				0					0
				t				t

		t	3		t	4
		t	0		t	0
		t 2			t 3
		t 2			t 3
t				3		t		4
t	0					t	0
2						3
2						3
t						t
t						t

Заметим, что ( t 0 , t 0 ) I , что подтверждает правильность полученного результата.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Моделирование систем управления

#
26.01.20242.64 Mб1MSU_Lektsii_Eliseev.pdf
#
26.01.202414.56 Mб0MSU_lektsii_obedinenny.pdf
#
26.01.2024164.01 Кб0Демо-задачи по МСУ-2023.pdf
#
26.01.202413.46 Кб0Типы задач.docx
#
26.01.202418.98 Кб0Экз вопросы МСУ_2023 (1).docx

												t 0		2			t 0		3		t 0		2			t 0	3


x		1	0			x	1	0		3						2													1
										3						2
												t					t				t					t
	dx		1			dx		1				t					t				t					t
	dx		1			dx		1
		0			t		0				t				2		t			3	t			2		t		3		0
		0			t		0								2					3				2				3		0
dt				t		dt			t	6			0					0				0					0
																	6				2				3
																	6				2				3
											t						t				t					t
											t						t				t					t

												t 0		2			t 0		3		t 0		2			t 0	3


x		1	0			x	1	0		3						2													1
										3						2
												t					t				t					t
	dx		1			dx		1				t					t				t					t
	dx		1			dx		1
		0			t		0				t				2		t			3	t			2		t		3		0
		0			t		0								2					3				2				3		0
dt				t		dt			t	6			0					0				0					0
																	6				2				3
																	6				2				3
											t						t				t					t
											t						t				t					t

												t 0		2			t 0		3		t 0		2			t 0	3


x		1	0			x	1	0		3						2													1
										3						2
												t					t				t					t
	dx		1			dx		1				t					t				t					t
	dx		1			dx		1
		0			t		0				t				2		t			3	t			2		t		3		0
		0			t		0								2					3				2				3		0
dt				t		dt			t	6			0					0				0					0
																	6				2				3
																	6				2				3
											t						t				t					t
											t						t				t					t