Дуплякин В.М. Статистический анализ

В учебных целях вместо таблиц Фишера допускается использовать график надёжности регрессии, который получен с использованием критерия Фишера и представлен на рисунке 7.1. Этот график даёт удовлетворительные по точности значения при числе наблюдений n = 8–12. Если F>10, то принимаем H = 0,99.

Рис. 7.1. Надёжность регрессии (n = 8–12)

7.3.2.Коэффициент детерминации

Вкачестве количественной меры адекватности обычно используется коэффициент детерминации

дисперсии рассматриваемой переменной Y "объясняется" найденной регрессией.

81

Дисперсия адекватности и остаточная дисперсия подсчитываются по формулам (7.12), из которых видно, что Dадекв ≤ Dy , следовательно, при любых исходных данным мы будем иметь 0 ≤ R2 ≤ 1.

Чем ближе значения коэффициента детерминации к единице, тем адекватнее рассматриваемая линейная регрессионная модель.

Пример.

Установим линейную регрессионную зависимость между переменными X и Y для конкретных данных парных наблюдений, приведенных в таблице 7.1.

Таблица 7.1 - Исходные данные парных наблюдений

Расчётные значения статических характеристик соответствующие рассматриваемым данным и полученные с использованием формул 7.5, 7.6 и 7.7 представлены в таблице 7.2.

Таблица 7.2 - Числовые характеристики парных наблюдений

Корреляционный момент и коэффициент корреляции, характеризующие близость взаимосвязи рассматриваемых величин к линейной зависимости, вычисленные с использованием формул 7.8 и 7.9, приведены в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Характеристики корреляции

Выполняя корреляционный анализ, в рассматриваемом примере получим

Воспользовавшись таблицей распределения Стьюдента из приложения П.4 и применяя линейную интерполяцию, найдём значение вероятности реализации гипотезы о

наличии корреляции в генеральной совокупности данных

P(H1) = β = 0,989.

Вероятность противоположного события представляет собой вероятность того, что

в генеральной совокупности нет корреляции между рассматриваемыми случайными величинами

P(H0) = α =1− β = 0,011.

Сравнивая значения полученных вероятностей рассматриваемых гипотез, убеждаемся в возможности существенной корреляции исследуемых переменных Х и Y за пределами имеющейся выборки, т.е. в генеральной совокупности. Как следствие из выполненного анализа корреляции, можно утверждать, что в данном случае велика вероятность регрессионной зависимости между рассматриваемыми случайными величинами.

Воспользовавшись данными расчётов, которые представлены в таблицах 7.2 и 7.3, получим следующие значения коэффициентов уравнения линейной регрессии:

b = 0,1859; a = 3,0246 .

Очевидно, что уравнение линейной регрессии будет иметь следующий вид

y = 3,0246 + 0,1859 × x .

Для наглядного представления соответствия исходных данных и полученного уравнения регрессии построен график, приведенный на рисунке 7.2. Прямая линия, соответствующая найденному уравнению регрессии проведена через две точки, вычисленные координаты, которых приведены в таблице 7.4.

Таблица 7.4 - Данные к построению графика регрессии

Дисперсия адекватности и остаточная дисперсия, необходимые для последующей

оценки соответствия полученного уравнения регрессии основной зависимости между исходными данными, вычисленные по формулам 7.12 имеют следующие значения

Dад=0,3793 ; Dост=0,1898 .

В рассматриваемой задаче численное значение критерия Фишера для оценки адекватности найденной регрессии определяется как

F = 0,3793×(8-2) =11,99. 0,1898

По графику критерия Фишера на рисунке 7.1, приближённо определяем, что поскольку F>10, то поэтому надёжность найденной линейной регрессии составляет Н = 0,99.

Полученный высокий уровень надёжности линейной регрессии указывает на то, что

найденная с использованием имеющихся результатов парных наблюдений линейная зависимость в данном случае адекватно отражает основную зависимость между рассматриваемыми переменными.

84

Коэффициент детерминации имеет следующее значение

R2 = Dадекв = 0,667 .

Dy

Найденное значение коэффициента детерминации показывает, что только 67% дисперсии рассматриваемой переменной Y "объясняется" найденной регрессией, что может

приводить к существенным расхождениям между расчётными и наблюдаемыми значениями

Y.

Таким образом, переходя к выводам о проверке адекватности, можно утверждать, что

полученное уравнение линейной регрессии адекватно отражает взаимосвязь рассматриваемых величин, что подтверждается статистическим критерием Фишера, однако количественный критерий в виде коэффициента детерминации имеет невысокое значение, которое говорит о невысоких прогностических свойствах найденного тренда.

85

8. ПЛАНИРОВАНИЕ ОБЪЁМА ВЫБОРОК

Использование выборок для оценки характеристик генеральных совокупностей элементов широко применяется при решении большого круга задач. В этой связи можно рассматривать две ситуации. Во−первых, отсутствие предварительного планирования объёма выборок на основе статистических методов. Вторая ситуация заключается в предварительной статистической оценке числа опытов, обеспечивающих заданную точность определения исследуемых характеристик. Отметим что, соответствующий раздел статистики за последнее время выделился в самостоятельное развитое научное направление, которое называется "Планирование эксперимента".

В зависимости от того, к какой из рассматриваемых ситуаций относится получаемая статистическая оценка рассматриваемой величины, различают активный статистический анализ (объём выборки предварительно рассчитывается статистическими методами), и в противном случае − пассивный статистический анализ, т.е. обработка имеющихся данных, собранных без обеспечения их представительности.

По существу в рассматриваемой задаче, задавая погрешность оценки некоторой случайной величины, мы тем самым определяем доверительный интервал, в котором с

доверительной вероятностью должно находиться истинное значение рассматриваемой величины β , то есть

где а* – статистическая оценка, получаемая обработкой выборки, а − истинное значение рассматриваемой величины,

a − допустимая погрешность оценки данной характеристики.

При планировании объёма выборок необходимо определять число опытов n, обеспечивающее выполнение соотношения (8.1). Очевидно, что задачи планирования объёма

выборок являются обратными по отношению к рассматриваемым в предыдущем разделе задачам определения доверительных интервалов.

86

8.1. Планирование оценивания математического ожидания

Обратившись к построению доверительного интервала для математического ожидания, рассмотренному в разделе 6.1, на основании формул (6.4) и (6.5) запишем

выражение для погрешности оценки математического ожидания в виде

доверительной вероятности β (смотри соотношение (6.6) в разделе 6), определяемый по

Значения параметра А, вычисленные для различных n и β представлены графически на рисунке 8.1.

Использование графиков на рисунке 8.1 позволяет приближённо определить

87

Рис. 8.1 – К планированию оценки математического ожидания

Далее, отложив полученное значение на оси ординат, смещаемся вправо до кривой соответствующей заданной доверительной вероятности и спускаемся на ось абсцисс, где и отметим необходимое число опытов.

Чтобы воспользоваться рассмотренной методикой, необходимо знать оценку дисперсии Dx*. Приближённо Dx* определяют следующими способами [2]:

∙Используется значение Dx*, полученное для предыдущих выборок, если аналогичные исследования уже проводились.

∙Применяется так называемое правило "трёх сигма", из которого следует, что если известно максимальное значение исследуемой случайной величины xmax и минимальное значение xmin , то для случайной величины, распределённой по нормальному закону, можно приближённо принять

D = ( xmax − xmin )2 .

x 6

Последовательное уточнение необходимого числа опытов, при котором сначала зададимся небольшим числом опытов, например, n1 = 10 и выполнив их, вычислим оценки mx1* и Dx1* (смотри разделы 4.1.1 и 4.1.2). По приведенной выше методике оценим необходимое число опытов n.

88

Если n > n1, то выполняется ещё некоторое число опытов, например, n = 10 и тогда с учётом уже выполненных опытов имеем выборку n2 = n1+ n, из которой получаем оценки mx2* и Dx2* и заново определяем потребное число опытов.

Увеличение объёма выборки и проведение дополнительных опытов проводится до тех пор, пока число выполненных опытов не станет меньше потребного.

Пример. На предприятии с конвейерным производством осуществляется выборочный контроль качества выпускаемой продукции. При оценке предыдущей выборки

были получены оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения mx* = 35,10 и Sx* = 4,17.

Требуется определить объём (число элементов) следующей выборки, которое

позволит оценить математическое ожидание исследуемой величины с абсолютной погрешностью ±2,50 при доверительной вероятности β = 0,95.

Сначала по формуле (8.5), учитывая Dx = Sx2, определим значение параметра А

A = 4,172,5 = 0,60 .

Затем, выбрав на рисунке 8.1 кривую для вероятности 0,95 и отметив А = 0,60, находим необходимое число опытов n = 14 .

8.2. Планирование оценивания дисперсии

Определение объёма выборки n , необходимого для оценки дисперсии с необходимой точностью основывается на рассмотрении доверительного интервала дисперсии, который представляется (смотри раздел 6.2) в виде

Jβ(D)=(D1; D2) .

Если рассматривается случайная величина с нормальным законом распределения, то

ближайшая к оценке дисперсии граница доверительного интервала определяется из распределения Пирсона выражением

89