Математика _1 семестр 2012 для ПИ1
.pdfсти α : 4x +5y +3z −16 = 0 . |
|
|
|
|
|
68. Найдите длину отрезка [ AB], если A = (1;2;2;3;2) , B = (1;0;4;−1;3) . |
|
|
|||
69. Пусть M – выпуклая оболочка точек |
X1 = (0;−2) , |
X2 = (2;−2) , |
|||
X3 = (0;0) . Найдите ограничения в виде системы неравенств, которые |
|||||
задают множество M . |
|
|
|
|
|
70. Пусть M – выпуклая оболочка точек |
X1 = (−2;6) , |
X2 = (0;6) , |
|||
X3 = (−2;8) , X4 = (0;8) . Найдите ограничения в виде системы нера- |
|||||
венств, которые задают множество M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
71. Найдите вектор Фробениуса неотрицательной матрицы A = |
1 |
2 |
, |
||
|
|
|
|
вторая координата которого равна 2.
72. Найдите число Фробениуса и вектор Фробениуса неотрицательной
3 6 0
матрицы 0 4 3 .
0 0 5
73. Приведите к канонической форме задачу линейного программирования:
|
x + x ≥ 4 |
|
|
x +3x ≥ 2 |
|
||||
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
а) |
x1 +5x2 = 4 |
; |
б) |
|
x1 + x2 = 4 |
. |
|||
x |
≥ 0, x ≥ 0 |
x |
≥ 0, x ≥ 0 |
||||||
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Z =5x1 + x2 + 4 → max |
|
|
Z = x2 −4x1 + 4 → min |
|
74. Приведите к стандартной форме задачу линейного программирования:
|
|
|
3x2 + 2x3 ≥5 |
|
|
|
|
6x3 −5x2 ≥5 |
||
|
|
|
x1 − x2 + 2x3 = 2 |
|
|
|
x1 |
+7x2 +3x3 = 6 |
||
а) |
|
|
|
|
|
|||||
x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 |
; |
б) |
x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0 . |
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
Z =5x1 +3x2 + x3 → max |
|
|
Z =5x1 −5x2 + x3 → min |
75. Составьте двойственную задачу для заданной задачи линейного про-
21
граммирования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4x +3x ≥8 |
|
|
|
|
|
x + x ≥5 |
|
|||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
а) |
x1 + x2 +10x3 ≤3 |
; |
|
б) |
|
|
4x1 |
+ x2 |
= 4 |
. |
|||||
|
x ≥ 0, x |
≤ 0 |
|
|
|
x ≤ 0, x ≥ 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Z = 2x1 −4x2 + x3 −3 → max |
|
|
Z =5x1 +5x2 −1 → min |
|
||||||||||
76. По последней симплекс-таблице задачи на максимум |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
6 |
0 |
0 |
−3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
0 |
4 |
0 |
1 |
15 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 −4 1 0 −6 15 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
15 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
0 6 −68 |
|
|
|
|
|
||||||
определите Zmax |
и координаты оптимальной вершины Xmax . |
|
|
||||||||||||
77. По последней симплекс-таблице задачи на минимум |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−13 |
0 |
0 |
6 |
1 |
9 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
12 |
1 |
0 |
14 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|||
|
|
x |
−6 0 1 |
−9 0 15 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−6 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Z |
−12 0 −79 |
|
|
|
|||||||||
определите Zmin |
и координаты оптимальной вершины Xmin |
|
|
78. Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (1;0;1) ,
X2 = (1;5;0) , X3 = (0;5;1) . Найдите для этой задачи минимальное значе-
ние целевой функции Z = 2x + y −2z + 2.
79. Допустимое множество некоторой задачи линейного программирования является выпуклой линейной оболочкой точек X1 = (5;0;2) ,
X2 = (5;1;0) , X3 = (0;1;2) . Найдите для этой задачи максимальное значе-
ние целевой функции Z =3x + y −2z + 2 .
22
Задачи для подготовки к экзамену (группа Б)
1. |
Разложите векторы aG = (1;13;8) |
и a |
2 |
= (−12;−6;8) по базису, состоя- |
||||||||||||||
щему из векторов cG |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= (4;4;−3) , c |
= (3;−2;−5) , |
c = (−2;1;1) . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2. |
|
При |
каких значениях |
параметра a |
|
векторы |
m = (a;2a +3;−a − 4) , |
|||||||||||
nG = (0;−6;8 − 2a) , |
|
pG = (−2;−4;4) линейно зависимы? Выразить вектор m |
||||||||||||||||
в виде линейной комбинации векторов n и p . |
|
|
|
|
||||||||||||||
3. |
Даны векторы aG = (4;1;−1) , |
b = (3;−1;0) , |
c = (−1;1;1) , d = (−1;3;4) . При |
|||||||||||||||
каких |
значениях |
параметров |
α , |
|
β , |
γ |
верно |
равенство |
||||||||||
G |
G |
|
G |
= 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
αa |
+ βb |
+γc + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
Найти |
все |
|
значения |
параметра |
|
|
λ, при которых вектор |
|||||||||
b = (7;−2;λ − 2) линейно |
выражается |
|
|
через |
векторы |
a1 = (2;3;5) , |
||||||||||||
aG |
= (3;7;8) , aG = (1;−6;1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nG = (a − 4;1;2) и |
|
5. |
|
При |
каких |
значениях |
параметра |
|
a |
векторы |
||||||||||
G |
= (a + 2;4;2) ортогональны? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
При каких значениях параметра α векторы a = (α;1;−1) , bG = (1;−3;−5) , |
|||||||||||||||||
cG = (−1;1;1) |
образуют базис пространства R3 ? |
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
|
При |
каких |
|
значениях |
параметра |
|
λ |
векторы |
a1 = (λ;−5;−1) , |
||||||||
aG |
= (λ;λ;−6) , aG |
|
= (−16;−5;−7) образуют |
ортогональный |
базис про- |
|||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
странства R3 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aG = (1;−2;3 + m) , |
|||||
8. |
|
При |
каких |
значениях |
параметра |
|
m векторы |
|||||||||||
b = (2;1;−1) , cG = (4;7;5 − m) |
компланарны? |
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. |
Найдите значения параметра m , при которых строки заданной мат- |
|||||||||||||||||
рицы A линейно зависимы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
|
1 |
−3 |
−3 |
− 2 |
|
|
|
1 −1 |
0 |
−1 |
||||
|
|
−3 10 |
11 |
0 |
|
|
|
|
−1 |
2 |
−1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
A = |
−1 |
2 |
2 |
−1 |
|
; |
б) |
A = |
−1 |
3 |
−3 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
11 |
−35 |
−38 |
m |
|
|
|
|
− 2 |
−1 |
m 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Найдите общее решение системы линейных уравнений, заданной в матричной форме:
|
1 −3 3 |
2 |
x |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||
|
−1 4 |
1 −1 |
|
|
1 |
|
|
|
−9 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||
а) |
−1 5 |
5 |
0 |
|
|
x |
|
|
= |
−12 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
−3 10 −5 −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x4 |
|
|
− 21 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
||||
1 −1 − 4 3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
3 − 2 −11 2 |
|
x |
|
= |
|
16 |
|
; |
|||||||||
|
−3 5 |
15 − 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
−17 |
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −1 0 |
2 |
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
1 0 2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
−1 4 |
7 −3 |
|
x |
= |
|
−18 |
. |
|
|
||||||||
|
2 10 27 − 2 |
|
|
3 |
|
|
|
−69 |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найдите значения параметра m , при которых следующая система линейных уравнений, заданная в матричной форме, имеет бесконечно много решений; для найденных значений параметра укажите общее ре-
1 |
−1 |
−1 0 x |
|
|
−6 |
||||
|
2 |
−7 |
−15 |
m |
1 |
|
|
−65 |
|
|
x2 |
|
|
|
|||||
шение системы: |
3 |
−6 |
−11 |
−3 x |
|
= |
−52 |
. |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 2 |
4 |
2 |
|
|
|
21 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
12. При каких значениях параметра a однородная система уравнений
ax1 − 2x2 − 2x3 − 2x4 = 0
− 2x1 + ax2 − 2x3 − 2x4 = 0 имеет ненулевые решения?
− 2x1 − 2x2 + ax3 − 2x4 = 0− 2x1 − 2x2 − 2x3 + ax4 = 0
24
13. |
При |
каких |
значениях |
параметра a |
|
система |
|
уравнений |
|||||||||||
(a − 2)x1 +3x2 +3x3 = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3x +(a − |
2)x |
|
+3x |
= −2a имеет единственное решение? |
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 +3x2 + (a − 2)x3 = 4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14. |
При |
|
каких |
|
|
значениях |
параметра |
|
λ |
|
матрица |
||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 −λ2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является невырожденной? |
|
|
|
||||||||||
A = |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15. |
При |
|
каких |
значениях |
параметра |
λ |
|
ранг |
матрицы |
||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 −λ2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
2 |
|
3 |
|
1 |
|
5 |
|
|
равен 4? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
3 |
|
1 |
14 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. |
При |
|
каких |
значениях |
параметра |
λ |
|
ранг |
матрицы |
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 −λ2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = |
4 |
|
6 |
|
2 |
|
10 |
|
равен 3? |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
6 |
|
2 |
19 − |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17. |
Используя |
равенство (U −1AU )n =U −1AnU , найдите |
матрицу |
||||||||||||||||
5 2 −1 x |
0 |
5 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
y |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
18. Вычислите степень ортогональной матрицы |
|
3 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
19. Вычислите определитель матрицы
25
|
|
3 |
1 |
|
−5 |
− 2 |
|
|
2 |
0 |
−13 |
4 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
2 −3 − 20 16 −15 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
− 2 |
|
|
|
0 |
0 |
2 |
2 |
2 |
|
; |
|
||||
|
а) |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
|
; б) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
− 2 |
3 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
2 |
− 2 − 4 − 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
−3 |
0 |
−3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
13 |
17 |
4 |
−1 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
14 |
−11 |
−17 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
в) |
− 2 |
3 |
−1 |
|
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−3 |
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
1 |
−3 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20. |
Найдите |
определитель |
матрицы |
|
X , |
если |
||||||||||
−5 0 |
5 |
3 |
|
− 2 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
− 4 1 |
4 |
|
|
4 |
|
− 2 −3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
−3 −1 |
− 4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21. |
Решите |
|
систему |
уравнений |
по |
|
формулам |
Крамера: |
(1 −3i)x −(2 +i) y = −7 −7i(2 − 4i)x + (3 −3i) y =14 −16i .
22. Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную
форму f (x1, x2 , x3 )=16x1x2 − 40x1x3 − 20x2 x3 +16x12 +3x22 +50x32 .
23. |
При |
каких |
|
значениях |
|
|
параметра |
a |
квадратичная |
форма |
|||||||
5x 2 |
+ x 2 |
+ (a − 4)x 2 + 4x x − 2x x |
− 2x x |
является |
положительно оп- |
||||||||||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
ределенной? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
При |
каких |
|
значениях |
|
|
параметра |
a |
квадратичная |
форма |
|||||||
− 2x 2 + ax 2 − 2x 2 |
+8x x |
2 |
+16x |
x |
является отрицательно определен- |
||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ной? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Найдите собственные значения матрицы: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
− 22 |
−12 |
− 24 |
|
|
|
|
|
|
3 |
12 |
12 |
|
|
||
|
|
12 |
8 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
6 |
|
|
|
|
а) |
|
; |
|
|
|
б) |
. |
|
||||||||
|
|
16 |
8 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
− 2 −8 −8 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
26. Найдите собственные векторы матрицы C , отвечающие собственному значению λ , если:
|
7 |
−12 6 |
|
|
|
−8 |
0 |
−30 |
|
||||
а) |
|
3 |
−5 |
3 |
|
, λ =3; |
б) |
|
−5 |
2 |
−15 |
|
, λ = 2 . |
C = |
|
C = |
|
||||||||||
|
|
1 |
− 4 |
6 |
|
|
|
|
5 0 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. При каких значениях параметра m матрица |
|
5 |
8 − m |
имеет |
|
A = |
|
|
|
||
|
|
2 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
единственное действительное собственное значение? Найти это значение.
28. При каких значениях параметра m матрица |
2 |
− m |
− 4 |
|
имеет: |
A = |
|
|
|
||
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1) имеет два различных действительных собственных значения; 2) единственное действительное собственное значение; 3) не имеет действительных собственных значений?
|
|
|
m − 2 |
−6 |
|
|
29. При каких значениях параметра m ≠ 0 матрица A = |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− m −9 |
|
|
|
|
−3 |
|
||
имеет нулевое собственное значение? |
eG |
|
|
|||
30. Найдите координаты вектора в базисе e = (−3;0;0), |
= (0;2;0), |
|||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
eG = (0;0;−1), |
если (3;3;10 ) |
– |
его координаты в базисе |
fG = (− 2;0;0), |
||
3 |
|
|
|
1 |
|
|
fG2 = (2;3;−1), |
f3 = (1;0;2). |
|
|
|
|
|
31. В пространстве строк |
R3 |
действует линейное преобразование |
f |
|||
по правилу: |
f (a,b,c)= (c, a +5b + c, a). Найдите его собственные векто- |
ры, если известно, что оно имеет следующие собственные значения:
λ1 =5, λ2 = −1, λ3 =1.
32. Найдите матрицу перехода от базиса f1 = (1; 2) , |
f2 = (−3; 1) к бази- |
||
су gG = (2;1) , gG |
2 |
= (1; −3) . |
|
1 |
|
|
|
33. Линейное преобразование f пространства R2 |
задано своей мат- |
27
|
|
|
1 |
−3 |
|
|
|
′ |
преоб- |
|
рицей A = |
|
|
в стандартном базисе. Найдите матрицу A |
|||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
разования |
f |
в базисе aG |
= (2; 1) , a |
2 |
= (1; −3) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
34. Квадратичная форма |
f задана на пространстве R2 своей матри- |
|||||||||
цей |
|
1 |
3 |
|
в стандартном базисе. Найдите матрицу |
′ |
квадра- |
|||
A = |
|
|
|
A |
||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тичной формы f |
в базисе a1 = (2; 1) , |
a2 = (−1; 3) . |
|
||||
35. |
Найдите проекцию точки |
A(2;3) |
на прямую, |
содержащую точки |
|||
B(4;9) и C(4;−4) . |
|
|
|
|
|
|
|
36. Найдите проекцию точки A(2;4) напрямую l : 3x + 2 y −1 = 0 . |
|||||||
37. |
Найдите точку |
′ |
|
|
|
A(2;1) |
относительно пря- |
A , симметричную точке |
|||||||
мой l : 6x + 2 y −5 = 0 . |
|
|
|
|
|
||
38. |
Найдите точку |
′ |
|
|
|
A(1;2) |
относительно пря- |
A , симметричную точке |
|||||||
мой, содержащей точки |
B(3;6) |
и C(2;−3) . |
|
|
|||
39. |
Даны точки A(a;1) , |
B(2;3) , |
C(4;−1) . При каком значении параметра |
||||
a |
G |
|
|
вектором медианы |
→ |
||
вектор m = (6;−3) является |
BB1 треугольника |
||||||
ABC ? |
|
|
|
|
|
|
|
40. |
|
|
|
→ |
|
→ |
= (−16;12) . При ка- |
В треугольнике ABC векторы AC = (5;12) , AB |
→
ком значении параметра a вектор AH = (0;−a −3) является вектором высоты треугольника ABC ( H – основание высоты AH принадлежит стороне BC )?
→ |
|
→ |
41. В треугольнике ABC векторы BA = (−5;−12) , |
BC = (9;−24a) . При |
|
→ |
= (3a;−12) |
является вектором |
каком значении параметра a вектор BB1 |
биссектрисы треугольника ABC ( B1 AC )? Проверить, что при най-
28
→
денном значении параметра a вектор BB1 является вектором биссектрисы треугольника ABC .
42. |
При каких значениях параметра α прямые l : |
x − 2 |
= |
y −1 |
|
и |
|
|
|
||||||
|
|
1 |
3 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
l2 |
:αx − 4 y −8 −α = 0 пересекаются под прямым углом? |
|
|
|
|
|
|
43. |
При каких значениях параметра m прямые l1 : y = 2mx + m +5 |
и |
|||||
l2 |
: 6mx + 2 y −3 = 0 пересекаются под углом 45D ? |
|
|
|
|
|
|
44. |
При каких значениях параметра a прямые l1 : x + ay +16 +16a = 0 и |
||||||
l2 |
: −ax − y +1 − a2 = 0 параллельны, но не совпадают? |
|
|
|
|
|
|
45. |
Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен- |
триситет равен 23 , а расстояние между фокусами равно 8 3 .
46. Составьте каноническое уравнение эллипса, для которого эксцен-
триситет равен 35 , а расстояние между фокусами равно 2 5 .
47. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой эксцен-
триситет равен 758 , а расстояние между фокусами равно 2 58 .
48. Составьте каноническое уравнение гиперболы, для которой рас-
стояние между фокусами равно 8 29 , а асимптоты имеют уравнения
y = ±2 x . |
|
|
5 |
|
|
49. Найдите проекцию точки |
A(3;0;2) |
на плоскость |
π : 3x − 2 y −3z − 4 = 0 . |
|
|
50.Найдите точку A′, симметричную точке A(−4;0;1) относительно плоскости π : − 4x − y − 2z −1 = 0 .
51.Найдите точку A′, симметричную точке A(−2;1;3) относительно
29
прямой |
|
|
l : |
x + 4 |
= |
y −1 |
= |
|
z − 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
52. |
|
Найдите канонические уравнения прямой, содержащей медиану |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
AM треугольника |
ABC |
с вершинами |
|
|
|
A(2;1;−4) , |
B(−4;3;−16) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(8;−5;−24) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
53. |
|
При каких значениях параметра α точка C(−α + 2;−1,4;2,4) |
принад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежит отрезку [ AB] (или является комбинацией точек A и |
B ), если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(1;−1;2) и B(2;−3;4) ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
54. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
||||||||||||||||||||||
l : |
x −1 |
= y −1 |
= |
|
z −(a − 2)2 |
и l |
|
|
|
: |
|
|
x |
= |
|
y |
= |
|
|
z |
пересекаются? |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−a |
|
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
55. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
||||||||||||||||||||||
l : |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −(a − 2)2 |
и l |
|
|
: x = |
|
y |
= z |
|
скрещиваются? |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
− 2a |
|
− 2 |
|
|
− 2a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
56. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
||||||||||||||||||||||
l : |
|
x −1 |
= |
y −1 |
= |
z −(a − 2)2 |
и l |
|
|
: |
x |
= |
|
y |
|
= |
z |
параллельны, но не сов- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3a |
|
3 |
|
|
|
3a |
|
|
|
|
|
−1 |
|
−a |
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
падают? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
57. |
|
|
|
При |
|
|
|
|
|
каких |
|
|
|
значениях |
|
|
|
|
параметра |
a |
прямые |
||||||||||||||||||||||
l : |
|
x −1 |
= y −1 |
= |
|
z −(a − 2)2 |
и l |
2 |
: x = |
|
y |
|
= z |
|
совпадают? |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
58. |
|
При |
|
каких |
|
значениях |
параметра |
a |
|
|
в |
пространстве R4 |
прямая |
||||||||||||||||||||||||||||||
d : |
x1 −5 |
|
= |
x2 |
= |
|
x3 + 4 |
|
= |
x4 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ортогональна |
гиперплоскости |
|||||||||||||||||||||||
|
|
−3a −15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a − 2 6 |
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Г : 2x1 + (a + 2)x2 + x3 + (a +5)x4 + 4 = 0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
59. |
|
Найдите угловые точки выпуклого множества, заданного системой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейных неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30