матан
.pdf
31
6.Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). n мерный вектор. Понятие о векторном про странстве и его базисе.
7.Собственные векторы и собственные значения матрицы. Ха рактеристическое уравнение матрицы.
8.Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид)
иматричная форма ее записи. Решение системы (определение). Сов местные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.
9.Решение системы n линейных уравнений с п переменными ме тодом Гаусса. Понятие о методе Жордана–Гаусса.
10.Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х = А –1В).
11.Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
12.Понятие функции. Способы задания функций. Область опре деления. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции. Примеры.
13.Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая)
иих графики.
14.Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).
15.Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
16. Предел последовательности при n и предел функции при x . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).
17.Определение предела функции в точке. Основные теоремы
определах (одну из них доказать).
18.Бесконечно малые величины (определение). Свойства беско нечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.
19.Второй замечательный предел, число е. Понятие о натураль ных логарифмах.
32
20.Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
21.Производная и ее геометрический смысл. Уравнение каса тельной к плоской кривой в заданной точке.
22.Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (дока зать теорему).
23.Основные правила дифференцирования функций одной пе ременной (одно из правил доказать).
24.Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции.
25.Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометри ческая интерпретация этих теорем.
26.Достаточные признаки монотонности функции (один из при знаков доказать).
27.Определение экстремума функции одной переменной. Необ ходимый признак экстремума (доказать).
28.Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем).
29.Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, на клонные и вертикальные асимптоты. Примеры.
30.Общая схема исследования функций и построения их графи ков. Пример.
31.Функции нескольких переменных. Примеры. Частные про изводные (определение). Экстремум функции нескольких перемен ных и его необходимые условия.
32.Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений).
33.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инва риантность формы дифференциала первого порядка.
34.Понятие первообразной функции. Неопределенный интег рал и его свойства (одно из свойств доказать).
35.Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности его применения при вычислении определенного интег рала.
33
36.Метод интегрирования по частям для случаев неопределен ного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
37.Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла.
38.Теорема о производной определенного интеграла по пере менному верхнему пределу. Формула Ньютона–Лейбница.
39.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интег рирования. Интеграл Пуассона (без доказательства).
40.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определен ного интеграла. Примеры.
41.Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической моде ли демографического процесса.
42.Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка (разрешенные относительно производной, с разделяющимися пере менными) и их решение. Примеры.
43.Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка и их решение. Примеры.
44.Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Примеры.
45.Гармонический ряд и его расходимость (доказать).
46.Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположи тельных рядов. Примеры.
47.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость ря дов.
48.Условия разложения функций в степенной ряд. Ряд Маклоре на. Разложение в ряд Маклорена функции у = еx (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
49.Разложение в ряд Маклорена функции y = ln (1 + x) (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
50.Разложение в ряд Маклорена функции у = (1 + х)n (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.
34
Задачи для самоподготовки
Ниже приводятся номера рекомендуемых задач с решениями и для самостоятельного выполнения по учебнику [1], практикуму [2] или учебнику [3], рассматриваемых в качестве основной литературы.
Студентам рекомендуется в первую очередь разобрать большин3 ство задач с решениями (их номера выделены полужирным шриф том). Задачи для самостоятельного выполнения (их номера набра ны обычным шрифтом) следует решать выборочно в зависимости от лимита времени (например, каждую вторую или каждую третью задачу из списка задач по теме).
Кроме того, уровень усвоения материала можно проверить по приводимым в практикуме [2] или учебнике [3] тематическим и ито говым контрольным заданиям и тестам, решая задания в соответ ствии с учебно программным материалом по каждой теме.
Тема |
|
Номера задач |
|
|
по учебнику [1] |
по практикуму [2] |
по учебнику [3] |
||
|
||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
I семестр |
|
|
|
|
Раздел I. Элементы линейной алгебры |
1.1–1.6, 1.8–1.15, 1.37–1.39, |
|
|
1.1–1.13 |
1.1–1.5, 1.24–1.27, 1.51–1.53 |
||
1. Матрицы и |
1.68–1.70 |
|||
|
|
|||
определители |
1.14–1.20, 1.22–1.29 |
1.6–1.23, 1.29–1.50, 1.54–1.65 |
1.16–1.29, 1.40–1.48, 1.51–1.57, |
|
|
1.60–1.67, 1.71–1.87 |
|||
|
|
|
||
2. Векторы |
3.2, 3.3, 3.7 |
3.24, 3.26а, 3.71 |
3.2, 3.3, 3.37–3.39, 3.84 |
|
3.18–3.20, 3.27, 3.28 |
3.37–3.42a, 3.43, 3.44, 3.74–3.79 |
3.50–3.55a, 3.56, 3.57, 3.87–3.92 |
||
|
||||
3. Системы |
2.1–2.3, 2.6, 2.7 |
2.1–2.4 |
2.1–2.3, 2.9–2.13 |
|
линейных |
2.11, 2.12, 2.15–2.18, |
2.6–2.32 |
2.14–2.43 |
|
уравнений |
2.21–2.23 |
|||
Раздел II. Введение в анализ |
|
|||
|
|
4.2, 4.3, 4.5, 4.16, 4.18, 5.1, 5.2, |
||
|
4.1–4.3, 4.5, 4.10, 4.12 |
4.1а, 4.4, 4.5, 4.7, 5.1, 5.4, 5.6, 5.7а |
||
4. Функции |
5.6–5.8, 5.12, 5.15 |
|||
|
|
|||
4.14–4.19, 4.21–4.23 |
4.11–4.14, 4.23–4.32, 4.34–4.46, |
4.33–4.42, 4.47–4.58, 5.16–5.19, |
||
|
||||
|
5.12–5.16, 5.22–5.26, 5.36, 5.37 |
5.23–5.31, 5.46, 5.47 |
||
|
|
|||
|
6.1–6.3, 6.5, 6.6, |
6.1–6.6, 6.12–6.17, 6.45, 6.46, 6.68, 6.69, |
6.1–6.3, 6.5, 6.6, 6.8–6.11, 6.81, |
|
5. Пределы и |
6.8–6.11, 6.13, 6.14 |
6.97–6.99, 6.168, 6.169 |
6.155 |
|
|
6.7–6.9, 6.11, 6.18–6.23, 6.25–6.27, |
|
||
непрерывность |
6.18, 6.20–6.27, |
6.30–6.34, 6.36–6.39, 6.43, 6.44, |
6.12–6.79, 6.110–6.132, |
|
|
6.33–6.36, 6.38–6.41 |
6.47–6.67, 6.70–6.96, 6.100–6.120, |
6.146–6.153, 6.156–6.165 |
|
|
|
6.170–6.175 |
|
|
|
Раздел III. Дифференциальное исчисление |
|
||
|
7.1–7.8, 7.10, 7.13, |
7.1, 7.2, 7.13, 7.15, 7.109, 7.110 |
7.1–7.8, 7.10, 7.19–7.22, 7.25, 7.105, |
|
|
7.15–7.17 |
7.106 |
||
6. Производ- |
7.3, 7.5–7.8, 7.9, 7.10, 7.21, 7.25, 7.26, |
|||
|
|
|||
ная |
7.20–7.29, 7.35, 7.42, |
7.28–7.31, 7.34–7.37, 7.41, 7.42–7.46, |
7.26–7.51, 7.64, 7.65, 7.90–7.100, |
|
|
7.43, 7.46–7.49 |
7.48, 7.53, 7.54, 7.113–7.115, |
7.107–7.115, 7.117–7.119 |
|
|
|
7.122–7.127 |
|
|
35
|
|
8.1– 8.3, 8.4–8.7, 8.9, |
|
8.1, 8.9, 8.10, 8.13, 8.14, 8.35, 8.36, |
|
8.1–8.8, 8.10, 8.12–8.17, 8.25, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8.26, 8.28–8.30, 8.51, 8.52, |
||
|
|
8.11–8.15, 8.17 |
|
8.38–8.40, 8.94–8.97 |
|
|
|
|
|
|
8.54–8.56, 8.110–8.113 |
||
|
|
|
|
|
|
|
7. Приложения |
|
|
|
|
|
8.20–8.23, 8.31–8.38, 8.41, |
|
|
|
8.4–8.6, 8.15–8.22, 8.25, 8.27–8.30, 8.41, |
|
8.43–8.46, 8.57–8.73, 8.75, |
|
производной |
|
|
|
|
||
|
8.19–8.34, 8.41–8.53 |
|
8.52, 8.55–8.57, 8.69–8.71, 8.75–8.77, |
|
8.77–8.79, 8.81, 8.82, 8.84–8.87, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
8.100–8.102, 8.105, 8.106, 8.108–8.118, |
|
8.89, 8.91–8.94, 8.116–8.118, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8.120, 8.121, 8.123, 8.124 |
|
8.121, 8.122, 8.124–8.134, 8.136, |
|
|
|
|
|
|
8.137, 8.139, 8.140 |
8. Дифферен- |
|
9.1, 9.3, 9.5 |
|
9.1, 9.2, 9.6 |
|
7.12–7.14, 7.16, 7.120 |
|
|
|
|
|
|
|
циал функции |
|
9.6–9.12 |
|
9.7–9.12, 9.13–9.17 |
|
7.122–7.125, 7.127, 7.128, 7.130, |
|
|
|
7.132, 7.134–7.138, 7.140, 7.141 |
|||
|
|
|
|
II семестр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел IV. Функции нескольких переменных |
|
9.1, 9.2, 9.6–9.9, 9.13–9.15, 9.40, |
||
9. Функции |
|
15.7, 15.9, 15.13 |
|
15.1–15.3, 15.27, 15.88–5.90 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
9.41, 9.69–9.71, 9.101–9.103 |
|||
нескольких |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.23–15.32, 15.39, |
|
15.6–15.11, 15.14–15.19, 15.31, |
|
9.19–9.24, 9.44–9.51, 9.75–9.78, |
|
переменных |
|
|
|
|||
|
15.40 |
|
15.33–15.36, 15.38, 15.91–15.98 |
|
9.80–9.88, 9.104–9.109 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Раздел V. Интегральное исчисление и дифференциальные |
|
уравнения |
||
|
|
10.1–10.4, 10.6–10.11, |
10.1, 10.19, 10.20, 10.73, 10.105, 10.106, |
|
10.1–10.4, 10.6–10.8, 10.10, |
|
|
|
10.13, 10.14, 10.18а, |
|
|||
|
|
|
10.12–10.14, 10.19, 10.41, 10.42, |
|||
|
|
10.23, 10.24а, |
10.132 |
|
||
|
|
10.95, 10.155 |
||||
|
|
10.25–10.27 |
|
|
||
10. Неопреде- |
|
|
10.2–10.4, 10.6–10.10, 10.13–10.15, |
|
10.20–10.22, 10.24–10.32, |
|
|
10.33–10.39, |
|
|
|||
ленный инте- |
|
10.18, 10.21, 10.22, 10.24, 10.25, |
|
10.35–10.37, 10.43, 10.44, 10.46, |
||
|
10.41–10.45, |
|
||||
грал |
|
|
10.28–10.34, 10.37, 10.38, 10.42–10.56, |
|
10.47, 10.50–10.56, 10.59, 10.60, |
|
|
10.47–10.54, |
|
|
|||
|
|
|
10.58–10.65, 10.75–10.81, 10.84, 10.85, |
|
10.64–10.78, 10.80–10.87, |
|
|
|
10.55–10.59, 10.61, |
|
|
||
|
|
10.92, 10.93, 10.96, 10.103, 10.104, |
|
10.97–10.107, 10.114, 10.115, |
||
|
|
10.63–10.65, |
|
|||
|
|
10.107, 10.116,10.117, 10.133, 10.135, |
10.118, 10.125, 10.126, |
|||
|
|
10.68–10.70 |
||||
|
|
10.136, 10.138, 10.140, 10.141 |
|
10.156–10.161, 10.163–10.167 |
||
|
|
|
|
|||
36
|
11.1–11.7, 11.10, 11.11, |
11.1, 11.30, 11.73, 11.91 |
11.1–11.7, 11.13, 11.14, 11.16, |
|
11.18–11.22 |
11.23, 11.55, 11.112, 11.136 |
|
|
|
||
11. Опреде- |
|
|
|
11.25–11.30, |
11.2–11.12, 11.14, 11.21, 11.22, 11.25, |
11.24–11.38, 11.40, 11.47, 11.48, |
|
ленный инте- |
11.32–11.35, |
11.26, 11.27, 11.29, 11.36–11.41, |
11.51–11.53, 11.55а, 11.61–11.66, |
грал |
11.37–11.39, |
11.43–11.45, 11.47–11.51, 11.75, |
11.68–11.80, 11.82–11.86, |
|
11.41–11.52, 11.57, |
11.76–11.78, 11.81, 11.82, 11.92, |
11.114–11.124, 11.126, 11.127, |
|
11.59 |
11.93–11.95 |
11.133, 11.137–11.140 |
|
12.2–12.5, 12.8–12.13 |
12.1–12.4, 12.15, 12.16, 12.31, 12.32, |
12.1–12.4, 12.8–12.13, |
||
12. Диффе- |
12.45, 12.46 |
12.29–12.32, 12.43, 12.59, 12.73 |
|||
|
|||||
ренциальные |
|
|
|
|
|
12.25–12.36, |
12.5–12.10, 12.11, 12.12, 12.14, |
12.33–12.42, 12.45–12.51, |
|
||
уравнения |
12.17–12.29, 12.33–12.41, 12.43, 12.44, |
12.55–12.57, 12.61–12.70, 12.76, |
|||
12.30–12.48 |
|||||
|
12.48, 12.49, 12.54, 12.58, 12.59 |
12.77, 12.79–12.82, 12.86, 12.87 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел V. Ряды |
|
|
|
|
13.1–13.12, 13.14, |
|
13.1–13.9, 13.11–13.14, 13.16, |
|
|
|
13.1–13.3, 13.14–13.16, 13.68–13.70 |
13.31–13.33, 13.35, 13.36, 13.103, |
|||
|
13.15 |
||||
|
|
13.105 |
|
||
13. Числовые |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
13.4–13.7, 13.9–13.13, 13.17–13.23, |
13.17, 13.18–13.22, 13.25–13.30, |
|||
ряды |
|
||||
13.16–13.40, |
13.25, 13.27, 13.29–13.36, 13.39–13.50, |
13.37–13.50, 13.53–13.55, 13.59, |
|||
|
|||||
|
13.42–13.45 |
13.53–13.55, 13.56–13.63, 13.66, 13.67, |
13.64–13.79, 13.82–13.96, 13.98, |
||
|
|
13.71–13.83, 13.85–13.90 |
13.101, 13.102, 13.106–13.130 |
||
|
|
|
|
|
|
|
14.1–14.3, 14.5, 14.6, |
14.1, 14.22–14.26, 14.58, 14.59 |
14.1–14.3, 14.5, 14.6, 14.34–14.36, |
|
|
|
14.8, 14.9 |
14.38, 14.72, 14.73 |
|
||
14. Степенные |
|
|
|||
|
|
|
|
||
14.10–14.17, |
14.2–14.8, 14.10–14.19, 14.21, 14.29, |
|
|
||
ряды |
14.8–14.24, 14.41–14.55, |
||||
14.19–14.21, 14.23, |
14.32–14.37, 14.39, 14.40, 14.42, |
||||
|
14.76–14.81, 14.84, 14.86–14.88 |
||||
|
14.24, 14.26, 14.27 |
14.46–14.49 |
|||
|
|
37 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
38
Методические указания по выполнению контрольных работ
В соответствии с учебным планом по дисциплине «Математи ческий анализ и линейная алгебра» каждый студент должен выпол нить две домашние контрольные работы № 1 и № 2 (по приведен ным в данной брошюре вариантам) в сроки, установленные учеб ным графиком.
По каждой контрольной работе студенты вечерних и дневных групп проходят собеседование. На собеседовании выясняется, на сколько глубоко усвоен пройденный материал и соответствуют ли знания студента и его навыки в решении задач качеству представ ленной работы. Зачет по каждой контрольной работе студенты по лучают лишь после успешного прохождения собеседования.
Номер варианта контрольной работы определяется в соответ ствии с последней цифрой номера личного дела студента, который совпадает с номером его зачетной книжки и студенческого билета.
Сроки представления домашних контрольных работ на провер ку указаны в индивидуальном графике студента, а также сообщают ся во время осенней установочной сессии. Однако эти сроки являют ся крайними. Чтобы работа была своевременно проверена, а при необходимости доработана и сдана повторно, ее надлежит предста вить значительно раньше указанного срока. Студентам дневных групп рекомендуется свои домашние контрольные работы выпол нять во время сессии (контрольную работу № 1 – во время осенней установочной, № 2 – во время зимней экзаменационной). Это даст возможность студенту использовать свое пребывание в институте для консультаций по всем возникшим при выполнении работы воп росам. После окончания сессии в течение двух недель работу необхо димо окончательно завершить, а затем представить на проверку.
Если в процессе написания работы у студента появятся вопросы или затруднения в решении задач контрольного задания, он может обратиться в институт за устной или письменной консультацией (например, по электронной почте или на форум кафедры).
При изучении учебного материала и подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать учебники и учебные пособия, интернет ресурсы, приведенные в разделе «Литература», а также данную брошюру.
39
После проверки контрольная работа студента получает оценку «Допущена к собеседованию» или «Не допущена к собеседованию».
Каждая контрольная работа содержит набор заданий, при вы полнении которых необходимо соблюдать следующие правила.
1.Работа должна быть выполнена в школьной тетради, имею щей широкие (не менее 3 см) поля для замечаний рецензента.
2.На обложке тетради следует указать фамилию, имя, отчество (полностью), факультет, специальность, курс, номер личного дела, вариант и номер контрольной работы, место работы, занимаемую должность и точный домашний адрес.
3.Перед решением каждой задачи нужно привести полностью ее условие.
4.При решении задач следует придерживаться той последова тельности, в которой они даны в задании, строго сохраняя при этом нумерацию примеров (задач).
5.Не допускается замена задач контрольной работы другими задачами.
6.Решения задач должны сопровождаться развернутыми пояс нениями. Следует привести в общем виде используемые формулы
собъяснением употребляемых обозначений, а окончательный ответ – выделить.
7.Чертежи к задачам 5, 6 контрольных работ № 1 и № 2 должны быть выполнены в прямоугольной системе координат в полном соот ветствии с условиями задач и теми результатами, которые получены.
8.В конце работы приводится список использованной литерату ры (указывают автора, название, место издания, издательство и год издания), ставятся дата окончания работы и подпись.
9.Если вычисления, выполняемые при решении задач, являются приближенными, то следует придерживаться правил приближен ных вычислений, которые приведены в данном учебно методичес ком пособии.
Если работа получила в целом положительную оценку («Допу щена к собеседованию»), но в ней есть отдельные недочеты (указан ные в тетради), то нужно сделать соответствующие исправления и дополнения в той же тетради (после имеющихся решений и записи «Работа над ошибками») и предъявить доработку на собеседовании. Если работа получила оценку «Не допущена к собеседованию», то ее
40
в соответствии с требованиями преподавателя необходимо частич но или полностью переделать. Повторную работу следует выпол нить в той же тетради (если есть место) или в новой тетради, сделав на обложке надпись «Повторная» и указав фамилию преподавателя, которым работа ранее была не зачтена. Вместе с незачтенной рабо той и рецензией повторную работу необходимо снова сдать на про верку.
Контрольная работа не засчитывается, если ее вариант не совпа дает с последней цифрой номера личного дела студента или если она выполнена по вариантам прошлых лет.
Студенты, не получившие зачета хотя бы по одной из двух конт рольных работ, к экзамену не допускаются. Зачтенные работы предъявляются на экзамене и не подлежат возврату после успешной сдачи экзамена.