Lin_Alg-BE

=1 ¢ (0 + 30) + 1 ¢ (¡4 + 15) + 4 ¢ (¡12 ¡ 0) =

=30 + 11 ¡ 48 = ¡7:

1.8Определители n-го порядка

Âкачестве определения определителя n-го порядка примем формулы из свой-

Эти формулы позволяют понизить порядок определителя, т. е. свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителей (n ¡ 1)-го порядка.

Пример 12. Вычислим определитель четвертого порядка, раскрывая его по первому столбцу:

+6 ¢ (¡8 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 12) ¡ 3 ¢ (¡4 + 3 ¡ 6) =

=¡5 ¡ 150 + 21 = ¡134:

1.9Метод элементарных преобразований вычисления определителя

Укажем еще один способ вычисления определителей n-го порядка. Напомним (Ÿ 1.5) некоторые свойства определителей:

2) если переставить две строки (или два столбца), то определитель поменяет знак;

называют минором матрицы A порядка k. Очевидно, что миноров порядка k, вообще

говоря, много.

Рангом матрицы A называют наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Иными словами, число r называют рангом ненулевой матрицы A, если: 1) у матрицы A есть ненулевой минор порядка r; 2) всякий минор порядка r + 1 и выше равен нулю. Ранг матрицы A обозначают символом rang A.

Ранг матрицы, состоящей из одних нулей, равен нулю.

Всякий ненулевой минор матрицы, порядок которого равен рангу, называют базисным минором. Строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называют базисными строками и базисными столбцами.

Замечание 2. Из определения ранга непосредственно следует, что если определитель квадратной матрицы A отличен от нуля, то rang A = n.

1.11Метод элементарных преобразований вычисления ранга

В Ÿ 1.9 уже отмечалось, что элементарные преобразования сохраняют свойство определителя быть отличным от нуля. Поэтому элементарные преобразования не меняют также и ранг матрицы. Таким образом, метод элементарных преобразований может быть применен и к нахождению ранга. Это делается с помощью приводимой ниже теоремы.

Матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Ненулевые элементы aij ступенчатой мат-

ðèöû A, левее которых стоят только нули (а также места, на которых они находятся), называют началами ступенек.

Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.

Полученная матрица является ступенчатой: начала ступенек образовались на местах элементов a11 è a22. В силу теоремы 1 получаем, что rang A = 2.

1.12Обратная матрица и ее нахождение методом присоединенной матрицы

Пусть A квадратная матрица, а E единичная матрица того же размера. Матрицу B называют обратной к матрице A, åñëè A ¢ B = E è B ¢ A = E. Обратную матрицу обозначают символом A¡1. Таким образом, по определению имеем

AA¡1 = A¡1A = E:

µ 1 2¶

Пример 16. Для A = ¡ 1 1 обратной является

Нетрудно также проверить, что и A¡1 ¢ A = E.

Теорема 2. Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель jAj отличен от нуля.

Доказательство. Если A имеет обратную, то E = A ¢ A¡1

определителей имеем 1 = jEj = jA ¢ A¡1j = jAj ¢ jA¡1j, откуда видно, что jAj 6= 0.

В качестве доказательства в обратную сторону опишем алгоритм построения обратной матрицы для случая, когда jAj 6= 0.

Глава 2 Системы линейных уравнений

2.1 Основные понятия

Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид

8

<a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2;

>

>

>

:am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm:

Здесь через x1, x2, . . . , xn обозначены неизвестные числа. Величины aij è bi ïðåä- полагаются известными; при этом aij называют коэффициентами, а bi свободными

членами или правыми частями.

В случае, когда m = n, систему называют квадратной, а когда m 6= n, прямо-

угольной.

Решением системы (2.1) называют такую совокупность n чисел ®1, ®2, : : :, ®n,

которая при подстановке их в систему вместо x1, x2, : : :, xn превращает все уравнения в тождества.

Пример 18. Непосредственной подстановкой проверяется, что решением системы

(

x1 + x2 = 3; x1 + 2x2 = 5

являются числа x1 = 1 è x2 = 2.

Åñëè bi = 0 ïðè âñåõ i = 1; 2; : : : ; m, то систему называют однородной. Если хотя

áû îäèí bi отличен от нуля, то систему называют неоднородной. Однородная система всегда имеет нулевое решение.

Если система имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Если же у системы нет решений, то несовместной.