9611
.pdf46.1. Метод неопределенных коэффициентов. Перейдем к нахождению частного решения неоднородного дифференциального уравнения
|
|
y a1 y a2 y f (x) , |
(46.1) |
|
||
когда правая часть f (x) имеет специальныйвид |
|
|
||||
f (x) P (x)e x cos x или |
f (x) P (x)e x sin x , |
|
||||
|
n |
|
|
n |
|
|
где P (x) p xn p xn 1 |
p |
x p – заданный многочлен степени n . |
||||
n |
0 |
1 |
n 1 |
n |
|
|
Характеристикой |
правой |
части уравнения |
(46.1) |
назовем |
комплексное число i . Рассмотрим для начала случай действительной характеристики, т.е. когда правая часть имеет вид
f (x) Р (x)e x . |
(46.2) |
n |
|
Будем искать решение в таком же виде, что и правая часть уравнения, т.е.
y(x) Q |
(x)e x ( A xn A xn 1 |
|
A |
x A )e x (46.3) |
|
n |
0 |
1 |
|
n 1 |
n |
где Qn (x) – многочлен, коэффициенты которого подлежат определению
(отсюда происходит и название метода – метод неопределённых коэффициентов). Искомое решение (46.3) должно удовлетворять уравнению с заданной правой частью. Выполнив соответствующую подстановку y(x) в уравнение (46.1), получим равенство двух многочленов
Q (x) (2 a )Q |
(x) ( 2 a a )Q (x) P (x) . |
(46.4) |
||||
n |
1 n |
|
1 |
2 n |
n |
|
Справа находится многочлен |
Pn (x) степени |
n с заданными |
коэффици- |
ентами. Успех в нахождении коэффициентов многочлена |
Qn (x) зависит от |
соотношения между характеристикой правой части |
и корнями |
характеристического уравнения |
|
2 a1 a2 0.
Пусть не совпадает с корнями характеристического уравнения. Тогда в равенстве (46.4) слева многочлен тоже степени n ,как и справа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему
n 1уравнений для нахождения |
n 1неизвестных коэффициентов |
A0 , A1 , , An .
Если простой (однократный) корень характеристического уравнения, то в левой части равенства (46.4) будет многочлен степени n 1. В этом случае умножим искомый многочлен на x . Степень многочлена увеличится, а число неизвестных коэффициентов не изменится. Задача свелась к предыдущей.
И, наконец, если характеристика совпадёт с двукратным корнем характеристического уравнения, то искомый многочлен умножаем на x2 .
Итак, если правая часть неоднородного уравнения имеет вид (46.2), то его частное решение отыскиваем в виде
y(x) xmQn (x)e x ,
где m 0,1, 2 число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части , а Qn (x) – многочлен степени n с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой
y(x) в уравнение. |
|
|
|
Пример. Найти частное решение уравнения y 3y x . |
|
||
Корни характеристического уравнения равны 1 |
0 и |
2 3 , а |
|
характеристика правой части – 0 . |
Следовательно, |
m 1и частное |
|
решение ищем в виде |
|
|
|
y (x) x( A1x A2 ) . |
|
|
|
Найдем |
|
|
|
y 2 A1x A2 , |
y 2 A1 |
|
|
и подставив в уравнение, получим тождество
6 A1x (2 A1 3A2 ) x .
Приравнивая теперь коэффициенты многочленов справа и слева, получим A1 1/ 6 , A2 1/ 9 и в результате
y(x) (1/ 6)x2 (1/ 9)x .
В случае комплексной характеристики частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
y(x) xme x (Qn (x)cos x Rn (x)sin x) ,
где m – число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части i , а Qn (x) и Rn (x) – многочлены степени
n , коэффициенты которых подлежат определению. Заметим, что в решение входит «полный» тригонометрический многочлен, содержащий как синус,
так и косинус, и что перед каждой тригонометрической функцией в качестве множителя находится «свой» многочлен.
В заключение этого раздела подчеркнем, что если правая часть уравнения (46.1) представляет собой сумму двух функций
f (x) f1 (x) f2 (x) ,
то следует найти частные решения y1 (x) и y2 (x) уравнения (46.1) с правыми частями f1 (x) и f2 (x) , соответственно. Тогда частное решение исходного уравнения (46.1) равно сумме этих частных решений
y(x) y1 (x) y2 (x) .
Это легко проверяется подстановкой y(x) в уравнение
( y1 y2 ) a1( y1 y2 ) a2 ( y1 y2 )
y1 a1 y1 a2 y1 y2 a1 y2 a2 y2 f1 f2 .
46.2.Метод вариаций произвольных постоянных – это метод
нахождения частного решения y(x) линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
y a1 y a2 y f (x)
с помощью известного общего решения однородного уравнения
y a1 y a2 y 0 .
Если метод неопределённых коэффициентов применим для правых частей, имеющих специальный вид, то рассматриваемый метод является
общим. В |
соответствии с ним частное решение y(x) будем искать |
||
«похожим» на решение однородного уравнения |
|
||
|
|
y0 (x) C1 y1 (x) C2 y2 (x) , |
|
где y1 (x) |
и |
y2 (x) – два каких-либо линейно независимых |
решения |
соответствующего однородного уравнения, а вместо постоянных |
C1 и C2 |
||
стоят функции |
u1 (x) и u2 (x) , т.е. в виде |
|
y (x) u1 (x) y1 (x) u2 (x) y2 (x) .
Задача состоит в нахождении этих функций. Отсюда название – метод вариаций постоянных (постоянные варьируются, изменяются). В дальнейшем, для краткости будем опускать аргументы функций.
Вычисляем производную
y (x) u y u y u y |
2 |
u |
2 |
y . |
||||
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
Перед вычислением второй производной,потребуем дополнительно, чтобы
u1 y1 u2 y2 0 . |
(46.5) |
Далее мы увидим, что это ограничение поможет нам найти требуемые функции. Тогда
y (x) u1 y1 u2 y2
и
y (x) u1 y1 u1 y1 u2 y2 u2 y2 .
Подставляя в уравнение y a1 y a2 y f (x) и группируя слагаемые,
получаем
u1 ( y1 a1 y1 a2 y1 ) u2 ( y2 a1 y2 a2 y2 ) u1 y1 u2 y2 f (x) .
Отсюда, наряду с условием (46.5), получаем ещё одно условие u1 y1 u2 y2 f (x) .
Таким образом, мы имеем линейную систему уравнений относительно производных искомых функций
u1 y1 u2 y2 |
0 |
. |
|
|
|
u1 y1 u2 y2 |
f (x) |
|
Так как определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций y1 (x) и y2 (x) , то он не равен нулю и эта
система имеет единственное решение
u1 1 (x) , u2 2 (x) .
Проинтегрируем найденные функции
u1 (x) |
|
1(x)dx , |
u2 (x) |
|
2(x)dx |
|
|
и запишем частное решение неоднородного уравнения
y(x) |
|
1(x)dx y1(x) |
|
2 |
(x)dx y2 (x) . |
|
|
|
|
|
|||||
Пример. |
Найти общее решение уравнения y y 1 sin x . |
|
|||||
Решаем |
|
соответствующее |
однородное уравнение y y 0 . |
Его |
|||
характеристическое уравнение |
2 1 0 имеет комплексные |
корни |
|||||
1,2 i . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид |
|
||||||
|
|
|
|
yодн C1 cos x C2 sin x . |
|
Применяя метод вариаций, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде
y(x) u1(x)cos x u2 (x)sin x .
Для производных искомых функций составляем систему
u1 cos x u2 sin x 0 |
. |
|
|
|
|
u1 sin x u2 cos x 1 sin x |
|
|
Умножим первое из уравнений системы на |
cos x , второе – на ( sin x ) и |
|
сложим. Тогдаполучим |
|
|
u1 (x) 1, u2 (x) cos xsin x
и после интегрирования
u1 (x) x , u2 (x) ln sin x .
Итак, общее решение уравнения
y C1 cos x C2 sin x x cos x sin x ln sin x .
Лекция 47. Биения и резонанс
Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему воздействует периодическая внешняя сила. Этот случай встречается наиболее часто: давление газа на поршень в двигателе внутреннего
сгорания, удары рельса на стыке по колесу железнодорожного вагона, действие струи газа или пара на лопатку турбины, удары волн о корпус судна и т.д. Для простоты анализа будем предполагать, что сопротивление
среды отсутствует. В этом случае уравнение линейного осциллятора y a1 y a2 y f (t) , примет вид
y 2 y Asin 1t, |
(47.1) |
где 1 – частота колебаний вынуждающей силы.
Решение однородного уравнения приведено (см.45.4). Это
гармонические колебания с частотой |
. При |
нахождении частного |
решения неоднородного уравнения |
y(x) будем |
различать два случая. |
Сначала пусть частота вынуждающей силы не совпадает с частотой
собственных |
колебаний, т.е. |
|
1 . Тогда, применяя метод |
|
неопределенных коэффициентов, |
решение |
y(x) будем искать в виде |
||
|
y(t) M cos 1 t N sin 1 t . |
|||
Дважды дифференцируя y(x) и подставляя |
y(x) и y (x) в уравнение (47.1), |
|||
найдём M 0, |
N A/( 2 12).Таким образом, |
|||
|
y(t) |
A |
sin 1 t , |
|
|
|
|||
|
2 2 |
|||
|
|
1 |
|
и общее решение уравнения (47.1) представляет собой сумму двух гармонических колебаний с разными частотами
y(t) A1 sin( t 0 ) |
A |
sin 1t . |
|
||
2 12 |
Посмотрим, что произойдет, когда частота вынуждающей силы и собственная частота близки, т.е. 1 . Вернемся к записи общего решения уравнения (47.1) в виде
y(t) C cos t C sin t A sin t .
1 2 2 12 1
Для простоты возьмем частное решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям: y(0) 0, y (0) 0 . Нетрудно проверить, что ему
отвечают значения постоянных C1 0, |
C2 |
A 1 |
|
. Таким образом, |
( 2 21) |
||||
частное решение имеет вид |
|
|
|
|
y(t) ( 2 A 12) ( sin 1t 1 sin t) .
В случае близости частот выражение в скобках можно преобразовать к следующему виду:
sin 1t 1sin t (sin 1t |
sin t) |
||||||||
2cos |
|
1 |
t sin |
1 |
t 2 sin |
1 |
t cos t . |
||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Первый множитель sin 1 t медленно меняющаяся функция времени, а
2
второй – cos t быстро изменяющаяся функция. В приближённом решении уравнения
y(t) |
2 A |
sin |
1 |
t cos t |
2 2 |
2 |
|||
|
1 |
|
|
|
множитель перед быстро изменяющимся косинусом можно рассматривать как «амплитуду» этого сложного колебания, называемого биением.
Пример «сложения» таких колебаний приведён на рисунке 47.1. Теперь пусть частота внешней вынуждающей силы и собственная
частота совпадают, т.е. 1 . Найдем решение уравнения
y 2 y Asin t .
Характеристика правой части уравнения совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
y(t) t(M cos t N sin t) .
|
Y |
|
|
|
16 |
|
y(x)=8sin9x-9sin8x |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
||||
-4 |
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
-12 |
|
|
|
|
-16 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 47.1 |
|
|
В результате (проверьте это!) находим |
|
|
|
y(t) A |
t cos t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта |
функция |
описывает |
|
колебания |
частоты |
с |
неограниченно |
||||
возрастающей «амплитудой» (см. рис. 47.2), а рассматриваемое |
|||||||||||
явлениеназывается резонансом. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
y''+ 9y=sin3t, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y(0)=0,y'(0)=1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
y(t)=7/18sin3t-1/6tcos3t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-1.50 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Рис. 47.2
Итак, мы выяснили, что при отсутствии сопротивления среды и при совпадении частоты приложенной силы с частотой собственных колебаний возникает колебательное движение той же частоты, но с неограниченно возрастающей амплитудой. В более реалистичном случае учета
сопротивления среды при совпадении частот явление резонанса происходит |
|||||||
в более «мягком» виде. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0, 2 y 1,01y 0,5sin t, |
y(0) 0, |
y (0) 1 . |
|
|||
Корни характеристического уравнения комплексные |
r 0,1 i , поэтому |
||||||
решение соответствующего однородного уравнения |
|
|
|||||
|
|
y 0, 2 y 1,01y 0 |
|
|
|||
с заданными начальными условиями определяется функцией (см. рис. 47.3) |
|||||||
|
|
|
y(t) e 0,1t |
sin t |
|
|
|
1 |
Y |
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
|
|||||||
-0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
-0.4 |
|
|
|
y(t)=exp(-0.1t)sint |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
-0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 47.3 |
|
|
|
|
Решение соответствующего неоднородного уравнения с нулевыми |
|||||||
начальными условиями имеет вид |
|
|
|
|
y(t) e 0,1t ( 451401sin t 1000401 cost) 40150 sin t 1000401 cost
или
y(t) e 0,1 t (9 / 8sin t 5/ 2cost) 1/ 8sin t 5/ 2cost .
3 |
Y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 47.4 |
|
|
|
Как видим, хотя амплитуда внешнего воздействия на колебательную систему всего 0,5, тем не менее эта внешняя сила «раскачала» систему до колебаний с амплитудой примерно 2,5. В дальнейшем система будет колебаться с частотой вынуждающей силы, а амплитуда колебаний расти не будет (см. рис. 47.4).