9278

здесь каждая компонента представляет собой составляющие напряженности по трем осям координат {Ex , Ey , Ez }. Окончательно в векторном виде уравнение связи

напряженности поля и потенциала запишется следующим образом:

E = -Ñϕ gradϕ .

По определению потенциал связан с работой по перемещению единичного заряда, следовательно, умножив потенциал на величину пробного заряда, мы получим работу по перемещению этого заряда, т.е. получим потенциальную энергию

данного заряда в данной точке электрического поля:

Ñпот = ¹пр.

При решении задач удобнее использовать не сам потенциал, а его приращение или изменение ∆. Из определение приращения любой характеристики, имеем:

ϕ = ϕкон −ϕнач .

Разность потенциалов (U) – величина, равная приращению потенциала с обратным

знаком.

U = -Dϕ = ϕнач -ϕкон .

Потенциал есть функция координаты точки, а разность потенциалов есть функция координат двух точек.

Пусть потенциал в точке 1 равен , а в точке 2 - ! (Рис.6), тогда разность

потенциалов будет равна:

« ! = − ! = −∆ .

Рис.6. Направление напряженности поля

Если U12 > 0 , то ϕ < 0 . Тогда составляющая напряженности на ось Х будет положительна и равна:

Получили, что Ex > 0 , т.е. поле направлено в положительном направлении оси Х.

Элементарная работа сил поля тоже будет положительной:

dA = E ×d x = Ex ×dx > 0 .

Разность потенциалов численно равна работе сил поля по перемещению пробного

заряда из первой точки во вторую.

Пусть теперь из т.1 в т.2 переносится некоторый заряд q, тогда работа сил поля по

переносу заряда q из т.1 в т.2 равна разности потенциалов, умноженной на q:

A1→2 (q) = U12 × q .

§ 7. Электрическая емкость проводников

Внутри проводящего тела в статике (при t→∞) не должно быть электрического

R

поля E = 0 (иначе возникнет направленное движение зарядов, которое будет продолжаться до тех пор, пока на заряды действуют силы, то есть пока поле не обратится в ноль). Следовательно, внутри проводника разность потенциалов между любыми точками равна нулю, поэтому можно ввести понятие потенциала тела.

Потенциал тела численно равен работе сил поля по перемещению единичного положительного заряда от поверхности тела до выделенной точки r0

(бесконечности), в которой потенциал принят за 0.

Например, потенциал шара радиуса R имеющего заряд Q равен:

Эта формула следует из определения потенциала и из того факта, что электрическое поле вне заряженного шара совпадает с полем точечного заряда такой же величины, помещенного в центре шара.

122

В электростатике заряженный проводник может иметь избыточный заряд. Поскольку электрическое поле внутри проводника равно нулю, заряд может располагаться только на поверхности (это следует из теоремы Гаусса). В вакууме на поверхность проводника можно поместить заряд любой величины. При этом электрическое поле вне проводника и его потенциал возрастают пропорционально заряду. В воздухе превышение потенциалом некоторой величины сопровождается электрическим пробоем газа, в результате которого заряд стекает с проводника. Поэтому величиной, характеризующей заряд, который можно разместить на проводнике, является электрическая емкость:

Электрическая емкость численно равна заряду, который нужно поместить на проводник, чтобы изменить его потенциал на единицу. В системе СИ емкость измеряется в Кл/В=Ф (фарада).

Вычислим электрическую емкость шара. Для этого в формулу (7.2) вместо потенциала тела подставим потенциал шара, определяемый формулой (7.1):

Видим, что электрическая емкость зависит только от размеров проводника и среды где он находится. Поэтому электрическая емкость является характеристикой проводника и не зависит от того заряжен он или нет.

Электрическая емкость конденсатора

Конденсатор – устройство для накопления электрических зарядов при минимальном электрическом поле вне конденсатора.

В качестве конденсатора можно использовать два проводящих тела, имеющих такую форму и расположенных так, что при заряжении этих тел одинаковым по величине и противоположным по знаку зарядами электрическое поле будет сосредоточено в основном между телами.

Под емкостью конденсатора понимают заряд, который нужно поместить на один из проводников, чтобы разность потенциалов изменилась на единицу:

123

C = q ,

U12

где U12 – разность потенциалов между пластинами.

Нетрудно получить формулу для электрической емкости плоского конденсатора, состоящего из двух проводящих плоскостей, площадью S, между которыми находится слой диэлектрика толщиной d, имеющий проницаемость ε. Напряженность электрического поля внутри конденсатора E = q /(Sεε0 ) одинакова во всех точках. Поэтому, вычисляя разность потенциалов по формуле U12 = E × d , из определения емкости получим:

С = εε0 S . d

Аналогично можно получить формулы для емкости сферического или цилиндрического конденсаторов.

При соединении двух конденсаторов параллельно, то есть когда пластины разных конденсаторов соединены попарно, емкость батареи равна сумме емкостей конденсаторов: С = С1 + С2 .

Для плоских конденсаторов с одинаковым расстоянием между обкладками это непосредственно следует из формулы для емкости, поскольку такое соединение эквивалентно сложению площадей пластин. Попробуйте доказать эту формулу в общем случае.

При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи можно

§ 8. Энергия электрического поля

Пластины заряженного плоского конденсатора притягиваются друг к другу. Сила притяжения равна напряженности электрического поля, создаваемого одной из пластин, умноженной на заряд другой пластины (F=qE/2, где E – полное поле конденсатора). Если дать возможность пластинам свободно перемещаться, то они будут двигаться навстречу друг другу, совершая работу, и в момент касания пластин

таком процессе будет равна потенциальной энергии электростатического поля конденсатора. Эту энергию нетрудно вычислить, принимая во внимание, что E, а значит и сила, не зависит от расстояния между пластинами:

Формула (7.3) справедлива не только для плоских конденсаторов, но и в общем случае, для конденсаторов с любой геометрией пластин.

Для плоского конденсатора полученную формулу можно преобразовать, используя выражение для электрической емкости и связь между U и E (U=Ed):

Принимая во внимание, что электрическое поле сосредоточено исключительно внутри конденсатора, видим, что энергия, связанная с электрическим полем, пропорциональна объему, то есть распределена в пространстве. Можно ввести

плотность энергии электрического поля, т.е. энергию, содержащуюся в единичном объеме:

wE = Wэл .

V

Для этой величины получим следующее выражение:

Полученная формула (7.4) справедлива не только для поля плоского конденсатора, но во всех случаях, когда имеется электрическое поле в пространстве.

126

каждого шарика, если расстояние от центра шарика до точки подвеса

На каждый шарик действуют: сила тяжести <-, сила натяжения нити t и сила кулоновского отталкивания ;. После отталкивания шарики находятся в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих сил на каждый из них равна нулю. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме и в проекциях на координатные оси ОХ и ОY:

Выразим из последнего выражения искомую массу m:

<= †*ÔÕÖ׉ØÙÔ× .

Ввыражении для массы неизвестной осталась сила Кулона:

; = Ú,

•™ÛÛ•n, ,

Ответ: m = 0,18 кг.

Задачи для самостоятельного решения

1.Два разноименных точечных заряда q и -4q закреплены на расстоянии 20 см друг от друга. Каким должен быть заряд q0 и где следует его расположить, чтобы вся система находилась в равновесии?

2.Два заряда величиной по 15 нКл каждый, расположены на расстоянии 24 см друг от друга. Определить, с какой силой электростатическое поле этой системы зарядов действует на заряд 2 нКл, помещенный в точку, удаленную на 30 см от каждого из зарядов. Рассмотреть случаи системы одноименных и разноименных зарядов.

3.Вычислить ускорение, с которым движется электрон в однородном электростатическом поле напряженностью 20 кВ/м.

4.Определить напряженность электростатического поля в точке А, расположенной вдоль прямой, соединяющей заряды q1=20 мкКл и q2=-16 мкКл. Точка А находится на расстоянии 8 см от отрицательного заряда, расстояние между зарядами 20 см.

5.Используя теорему Гаусса, вычислить электрическое поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью с поверхностной плотностью зарядов 0,6 нКл/см2 на расстоянии 10 см от нее.

6.Используя теорему Гаусса, определить напряженность электростатического поля плоского конденсатора, обкладки которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью зарядов +σ и-σ. Пространство между ними заполнено диэлектриком с проницаемостью ε. Краевым эффектом пренебречь.

7.Под действием электростатического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости точечный заряд 10 мкКл переместился вдоль силовой линии на расстояние 5 см. Известно, что поверхностная плотность заряда на плоскости составляет величину 5 мкКл/см2. Определить совершенную при этом работу.

128

8. При введении в пространство между пластинами воздушного конденсатора твердого диэлектрика напряжение на конденсаторе уменьшилось с 400 В до 50 В. Определите значение диэлектрической проницаемости диэлектрика.

9.Площадь каждой пластины плоского конденсатора равна 520 см2. На каком расстоянии друг от друга надо расположить пластины в воздухе, чтобы емкость конденсатора была равна 64 пФ?

10.Плоский конденсатор состоит из двух пластин площадью 100 см2 каждая. Между пластинами находится слой стекла. Какой наибольший заряд можно накопить на этом конденсаторе, если при напряженности поля 10 МВ/м в стекле происходит пробой конденсатора?

129

Глава 10. Постоянный электрический ток

В данной главе рассмотрены основные законы, связывающие характеристики электрических полей с движением электрических зарядов и явления, связанные с этим движением. Эти законы сохраняют силу и в случае квазистационарной цепи, т. е. во всех случаях, когда можно пренебречь временем распространения электромагнитных возмущений в электрических проводах. Поскольку скорость распространения этих возмущений порядка скорости света, время их распространения часто бывает много меньшим всех прочих интервалов времени, присутствующих в той или иной задаче.

§ 1. Сила и плотность тока

Электрический ток – это направленное движение заряженных частиц (Рис.1). В металле свободные электроны обеспечивают электронную проводимость.

Рис.1. Электрический ток

Сила тока есть физическая характеристика, численно равная заряду, который переносится через поперечное сечение проводника за единицу времени.

Из определения величины тока (1.1) можно получить выражение для заряда, переносимого током через поперечное сечение провода за время t:

t

Q = I ×dt .

0

В системе СИ единица измерения силы тока – Ампер (А) принята за основную единицу. Она связана с магнитным взаимодействием проводников с током. Единица