![](/user_photo/_userpic.png)
7592
.pdf![](/html/65386/175/html_EGRGk2BWLA.Kf8m/htmlconvd-5bm1q761x1.jpg)
60
Восстанавливая перпендикуляры к направлению скоростей вектора '! и '!…, получаем МЦС звена 4 (точку P4). Поскольку треугольник
ADP4 равнобедренный, то AP4 = DP4. Отсюда следует, что скорости точек A и D по модулю равны: '… ' 100 смс .
Направление угловой скорости звена 4 определяется вектором |
||
скорости '„ (по часовой стрелке относительно точки P4 ). |
|
|
Следовательно, скорость ползуна D направлена вправо. |
|
|
Угловая скорость звена 4 определяется с помощью формулы Эйлера: |
||
' pK ∙ |’ K|, откуда получаем, что |
pK | -‡•€| AOO[O |
2.0 радс . |
5. Звено 5 (колесо D). |
|
|
Движение колеса 5 плоскопараллельное. Мгновенный центр
скоростей P5 находится в месте соприкосновения колеса с рельсом. |
|
||||||||||
Направление угловой скорости колеса p[ определяется направлением |
|||||||||||
вектора '…. |
Модуль угловой скорости определяется из формулы Эйлера: |
||||||||||
p[ |
-• |
AOOO 5.0 радс . |
|
|
|
|
|
||||
|…‡ž| |
|
|
|
|
|
||||||
Направления скоростей точек E и F, которые соответственно |
|||||||||||
перпендикулярны к отрезкам P5E и P5F, определяются направлением |
|||||||||||
угловой скорости p[. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Модули этих скоростей определяются по формуле Эйлера: |
|
||||||||||
'˜ |
p[ |
∙ |š [| |
5.0 ∙ 40.0 200.0 |
смс , |
|
|
|
||||
'Ÿ |
p[ |
∙ | [| |
5.0 ∙ 20 ∙ √2 141.42 см. |
|
см |
||||||
|
|
|
|
рад |
рад |
p[ |
с |
рад |
' '… 100 |
||
Ответ: |
p 0.4 с , |
pK 2.0 с , |
5.0 |
с , |
с , |
||||||
'„ 34.64 |
смс , |
'• 50.0 |
смс , '˜ 200.0 |
смс , |
'Ÿ 141.42 смс . |
|
61
Глава 3. ДИНАМИКА
Введение
Динамика – это раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных тел с учетом действующих на них сил.
Среди практических задач механики лишь небольшое число допускает чисто статическое или чисто кинематическое исследование; в большинстве случаев необходимо полное, т.е. динамическое изучение механических явлений. При этом используются установленные в статике способы приведения сил, а также разработанные в кинематике методы описания и изучения движения. Поэтому динамика представляет собой наиболее общий раздел механики, имеющий особое значение для решения многих практических задач в различных областях техники.
Воснову динамики положены некоторые исходные положения, аксиомы, достоверность которых проверена многовековой практической деятельностью людей.
Эти аксиомы были впервые сформулированы Галилеем (1564-1642г.),
ав современном виде Ньютоном (1643-1727г.) и получили название основных законов динамики. Законы динамики Галилея-Ньютона были сформулированы для простейшего материального образа – материальной точки. Материальная точка – это тело конечной массы, размеры которого так малы, что различием в движении его частиц можно пренебречь.
Воснове классической динамики лежат два допущения, утверждающих существование абсолютного пространства и абсолютного времени.
Предполагается, что пространство обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от помещенных в него материальных объектов. Время по Ньютону также считается абсолютным, протекающим равномерно и одинаково во всех системах отсчета.
3.1.Динамика свободной материальной точки
62
3.1.1.Основные законы динамики
1. Закон инерции (первый закон Ньютона)
Изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Движение, происходящее с постоянной скоростью в одной системе отсчета, может представляться ускоренным в другой системе отсчета. Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, носят название инерциальных систем отсчета. Гелиоцентрическая система координат (с началом в центре солнца и осями, направленными на «неподвижные» звезды), весьма близка к инерциальной. Легко понять, что все системы отсчета, движущиеся равномерно и поступательно относительно инерциальной системы отсчета, также являются инерциальными, т.к. ускорение точки в этих системах не отличается от ускорения в неподвижной системе отсчета, т.е. равно нулю.
2. Основной закон динамики (второй закон Ньютона)
Сила, действующая на материальную точку, сообщает ей ускорение,
которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и имеет направление силы.
Аналитическое выражение этого закона носит название основного
уравнения динамики
¡ ¢,
F – сила, действующая на точку,
a– ускорение точки, m – масса точки.
3. Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона)
Две материальные точки взаимодействуют так, что силы их взаимодействия равны по величине, противоположны по направлению и имеют общую линию действия.
4. Закон независимости действия сил
![](/html/65386/175/html_EGRGk2BWLA.Kf8m/htmlconvd-5bm1q764x1.jpg)
63
Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение,
приобретаемое точкой, равняется геометрической сумме ускорений,
которые приобрела бы точка под действием каждой силы в отдельности.
¡ ¡A ¡ ¡<,
где ¡A ¢¤{ , ¡ ¢¤. , … , ¡< ¢¤J
или ¡ ∑ ¢¦.
Последнее соотношение носит название основного уравнения динамики точки.
3.1.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Если на материальную точку массы m действуют силы ¢A, ¢ ,… , ¢<,
то основное уравнение динамики точки имеет вид |
|
||||
|
|
).§ |
¢, |
(1.1) |
|
|
).§ |
)+. |
|||
где § – радиус-вектор точки, |
¡ – |
ускорение точки, |
¢ ∑ ¢¦. |
||
)+ . |
Этому векторному дифференциальному уравнению соответствуют скалярные уравнения, форма которых зависит от выбора системы координат.
Например, в проекциях на оси декартовой системы координат уравнение (1.1) принимает вид:
max = m&x& = Fx , ma y = m&y& = Fy ,
maz = m&z& = Fz .
(1.2)
64
Уравнения (1.2) носят название дифференциальных уравнений движения точки в координатной форме.
В проекциях на оси естественной системы координат, т.е. на касательную, нормаль и бинормаль, дифференциальные уравнения движения точки принимают вид:
ma |
τ |
= m |
|
dv |
= F , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
τ |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
ma |
|
= m |
v 2 |
|
= F , |
(1.3) |
|
|
ρ |
|
|||||
|
n |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
0 = Fb .
Уравнения (1.3) носят название дифференциальных уравнений движения точки в естественной форме или в форме Эйлера.
3.1.3.Две задачи динамики
Вдинамике решают две основные задачи, постановки которых мы и рассмотрим. Методика решения каждой из этих задач зависит от способа задания движения точки.
Первая задача динамики
Задача формулируется следующим образом:
найти силу, действующую на точку массой m, движущуюся по
известному закону.
Решение задачи основано на умении находить вектор ускорения a при различных способах задания движения.
Векторный способ задания движения предполагает, что известна зависимость r = r (t).
Чтобы решить поставленную задачу нужно определить ускорение a = dv/dt = d2r/dt2 , а затем с помощью (1.1) – искомую силу F = ma = md2r/dt2.
Координатный способ задания движения предполагает, что известны зависимости:
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).
![](/html/65386/175/html_EGRGk2BWLA.Kf8m/htmlconvd-5bm1q766x1.jpg)
65
Дифференцируя их дважды, найдем проекции вектора ускорения на оси координат:
ax = &x& = f1′′(x), ay = &y& = f2′′(x), az = &z& = f3′′(x),
откуда с помощью (1.2) проекции искомой силы: Fx , Fy и Fz , по которым легко найти ее модуль и направление:
F = |F| = Fx2 + Fy2 + Fz2 ,
cos(F,i) = Fx /F, cos(F,j) = Fy /F, cos(F,k) = Fz /F.
Задача 1.1. Найти силу, под действием которой точка массой m движется по закону:
x = acos(ωt), |
(1) |
y = bsin (ωt). |
|
Решение.
Исключив из этих соотношений время t, получим уравнение траектории движущейся точки:
(x/a)2 + (y/b)2 = 1.
Дифференцируя (1), получим:
&x& = −aω 2 cos ωt, &y& = −bω 2 sin ωt.
Подставляя в (1.2), найдем:
Fx = m&x& = −mω 2 x,
Fy = m&y& = −mω 2 y,
F = |F| = Fx2 + Fy2 = mω2r, cos(F, i) = – x/r , cos(F, j) = – y/r,
______
где r = √ x2 + y2 (рис. 1).
![](/html/65386/175/html_EGRGk2BWLA.Kf8m/htmlconvd-5bm1q767x1.jpg)
66
|
y |
|
|
|
M |
b |
F |
x |
O |
a |
|
|
|
Рис.3.1
Таким образом, точка движется в плоскости xOy под действием квазиупругой силы F = – mω2r.
Естественный способ задания движения предполагает, что известна траектория и закон движения точки по траектории: s = f(t) .
Чтобы найти действующую на точку силу нужно вычислить проекцию вектора скорости на направление орта касательной:
vτ = ds/dt = s& ,
проекции касательного и нормального ускорений:
aτ = d2s/dt2 = &s&, an = v2/ρ ,
а затем из уравнений (1.3) определить проекции вектора силы на эти направления:
Fτ = maτ и Fn = man .
После этого легко найти ее модуль и направление:
F = |F| = Fx2 + Fy2 , cos (F, τ) = Fτ /F, cos (F, n) = Fn /F.
Задача 1.2. Найти силу натяжения нити T и скорость v конического маятника весом P, если нить длиной l образует с вертикалью угол α (рис. 2).
Решение.
Проектируя основное уравнение динамики для нашей задачи:
![](/html/65386/175/html_EGRGk2BWLA.Kf8m/htmlconvd-5bm1q768x1.jpg)
|
67 |
|
|
|
ma = P + T |
|
|
на оси естественной системы координат τ , n и b, получим: |
|
||
|
|
mdv/dt = 0; |
(1) |
α |
|
|
|
|
|
mv2/ρ=Tsinα; |
(2) |
l |
|
0=Tcosα– P, |
(3) |
|
|
||
T |
|
где P = mg. |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (1) следует, что v = const, а |
|
|
τ |
из (3) получим: |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
T = P/cosα. |
|
P |
|
Подставляя |
последнее |
|
|
выражение в (2), получим: |
|
Рис. 3.2 |
|
mv2/(lsinα) = mg tgα, |
|
|
|
|
откуда найдем скорость конического маятника:
_________
v = √gl sinα tgα .
Вторая (основная) задача динамики материальной точки.
Вторая или основная задача динамики является обратной первой. Она формулируется следующим образом: найти закон движения точки массой m, движущейся под действием заданной силы при известных начальных условиях.
Математически поставленная задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений второго порядка (1.2):
md2x/dt2 = Fx ,
md2y/dt2 = Fy , (1.4) md2z/dt2 = Fz ,
при заданных начальных условиях:
68
x(0) |
|
& |
& |
= vx 0 , |
|
= x0 , x(0) |
= x0 |
(1.5) |
|||
|
|
& |
& |
= v y 0 , |
|
|
|
|
|||
y(0) = y0 , y(0) |
= y0 |
|
|||
z(0) |
= z |
& |
& |
= vz 0 . |
|
0 , z(0) |
= z0 |
|
При этом Fx, Fy и Fz в общем случае являются функциями следующих переменных: t, x, y, z, x&, y& , z&.
В следующем параграфе мы рассмотрим решение второй задачи в зависимости от вида этих функций.
3.1.4. Прямолинейное движение точки
Если точка движется вдоль оси Ox, уравнения (1.4) и (1.5) принимают следующий вид:
&& |
= Fx |
|
|
(1.6) |
mx |
|
|
|
|
|
& |
= v(0) |
= v0 . |
(1.7) |
x(0) = x0 ; x(0) |
||||
Рассмотрим случай, когда на |
точку действует |
постоянная сила, |
F = const.
Задача 1.3. Найти максимальную высоту подъема тела массой m, брошенного вверх со скоростью v0 , пренебрегая сопротивлением воздуха.
Решение.
Проектируя основное уравнение динамики
ma = P,
на ось Oy, направленную вверх – по движению точки, получим:
&& |
(1) |
my = −mg |
|
Решим уравнение (1) при заданных начальных условиях: |
|
y(0) = 0, v(0) = v0 |
(2) |
Запишем (1) в виде |
|
¨'¨# ©,
разделим переменные и проинтегрируем:
69 |
|
¨' ©¨#, ª ¨' ª ©¨# , |
' ©# –A. |
Постоянную интегрирования –A 'O определим из начального условия
'"0$ 'O.
В результате получим закон изменения скорости тела:
|
' 'O ©#. |
|
|
|
|
(3) |
||
Подставив в (3) ' )3)+, найдем закон движения тела по оси y, определив |
||||||||
постоянную интегрирования – 0 из начального условия 1"0$ |
0: |
|||||||
¨1 |
ª ¨1 ª"'O ©#$¨# , |
1 'O# |
©# |
|
– , |
|||
¨# "'O ©#$¨#, |
|
2 |
|
|||||
|
1 'O# |
©+. |
. |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим (3) и (4) в момент времени t = tпод, соответствующий достижению максимальной высоты подъема H :
0 = v0 – gtпод ;
H = v0tпод + (1/2)g#под.
Из полученной системы уравнений находим высоту подъема тела,
H= v02/(2g).
Вслучае, когда на тело, движущееся прямолинейно, действует сила, зависящая только от времени, F = F(t), интегрирование основного уравнения динамики (1.1) по аналогии с задачей (1.3) дает законы изменения скорости и координаты тела с течением времени:
t
v = v0 + (1/m) ∫ F(t)dt ,
0
t t
x = x0 +v0t + (1/m) ∫(∫ F(t)dt)dt .
0 0