6067
.pdf-38-
где S об - обобщающее среднее квадратичное отклонение, которое вычисляется по формуле (63).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n -1)× S 2 + (m -1)× S |
2 |
|
|
|
|
Sоб = |
|
1 |
2 |
. |
(63) |
||
|
n + m - 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Табличное значение критерия Стьюдента ( tтабл ) определяется по справочным |
|||||||
таблицам (например, приложение 4) |
при принятом уровне значимости |
α (обычно |
|||||
α = 0,05) при числе степеней свободы |
f = (n + m - 2). |
|
|
|
|
Если tр £ tтабл , то с принятой доверительной вероятностью принимается гипо-
теза Н0( Х ): Х1 = Х 2 , в соответствии с которой статистически значимых отличий ме-
жду средними результатами выборок не наблюдается.
|
|
Если tр > tтабл , то с |
принятой доверительной вероятностью |
гипотеза |
|||||||
Н0( |
|
): |
|
1 = |
|
2 |
отвергается |
и |
принимается |
альтернативная |
гипотеза |
Х |
Х |
Х |
Н1( Х ): Х1 ¹ Х 2 , в соответствии с которой между средними результатами выборок наблюдаются статистически значимые отличия.
2 случай. |
При проверке однородности дисперсий двух выборок принята гипо- |
||||||||||||||||
теза Н |
1 |
( S 2 ): S 2 |
¹ S 2 |
. В этом случае расчетное значение критерия Стьюдента вычис- |
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
S 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
tр = |
( Х1 - Х 2 ) |
|
+ |
2 |
|
. |
(64) |
||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табличное значение критерия Стьюдента ( tтабл ) определяется по справочным таблицам (например, приложение 4) при принятом уровне значимости α (обычно
α = 0,05) при числе степеней свободы, которое можно определить по формуле
|
(n -1)× (m -1) |
|
|
|
||
f = |
(m -1)× С2 + (n -1)× |
(1 - С2 ). |
(65) |
|||
Величина C в формуле |
(74) определяется из следующего выражения |
|||||
|
|
S 2 |
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
С = |
(S 2 n)+ (S |
2 |
т) . |
(66) |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
-39-
Если tр £ t табл , то с принятой доверительной вероятностью принимается гипо-
теза Н0( Х ): Х1 = Х 2 . Если tр > tтабл , то с принятой доверительной вероятностью ги-
потеза Н0( |
|
Х |
): |
Х |
1 = |
Х |
2 отвергается |
и принимается |
альтернативная гипотеза |
||||||||||||||||||
Н1( |
|
): |
|
1 ¹ |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Х |
Х |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
В случае подтверждения гипотез |
|
|
( S |
2 ): S 2 |
= S |
2 |
и Н |
|
( |
|
): |
|
1 = |
|
2 срав- |
||||||||||
|
|
Н |
0 |
0 |
Х |
Х |
Х |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ниваемые выборки могут считаться полученными из одной и той же генеральной со-
вокупности и объединяются в одну выборку с вычислением обобщенных статистиче-
ских характеристик, вычисляемых по формулам
|
|
об = |
n × |
Х |
1 + m × |
Х |
2 |
; |
|
(67) |
||
|
Х |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n + m |
|
|
|
|||
|
|
|
(n -1)× S 2 + (m -1)× S |
2 |
|
|
||||||
Sоб = |
1 |
|
|
|
2 |
. |
(68) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n + m - 2 |
|
|
|
||||
Пример 5. Сравнение двух выборочных совокупностей. |
При изучении влияния |
|||||||||||
на прочность бетона добавки ускорителя твердения Na2SO4 |
проведены сравни- |
|||||||||||
тельные испытания двух серий бетонных образцов, |
изготовленных по единой тех- |
нологии из бетона без добавок (серия №1) и с добавкой 1,5 % сульфата натрия от массы цемента. При проведении испытаний получены следующие результаты.
Серия №1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
38,1 МПа; |
5. |
38,2 |
МПа; |
9. |
40,3 МПа; |
13. |
40,3 |
МПа; |
2. |
40,4 МПа; |
6. |
40,6 |
МПа; |
10. |
40,8 МПа; |
14. |
42,2 |
МПа; |
3. |
40,5 МПа; |
7. |
40,7 |
МПа; |
11. |
41,9 МПа; |
15. |
46,1 |
МПа; |
4. |
40,5 МПа; |
8. |
40,7 |
МПа; |
12. |
42,0 МПа. |
|
|
|
Серия №2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
42,0 МПа; |
5. |
42,4 |
МПа; |
9. |
42,5 МПа; |
13. |
42,8 |
МПа; |
2. |
42,1 МПа; |
6. |
42,5 |
МПа; |
10. |
42,6 МПа; |
14. |
46,5 |
МПа; |
3. |
42,3 МПа; |
7. |
42,5 |
МПа; |
11. |
42,6 МПа; |
15. |
47,6 |
МПа; |
4. |
42,3 МПа; |
8. |
42,5 |
МПа; |
12. |
42,6 МПа; |
|
|
|
С доверительной |
|
вероятностью Р = 0,95 провести проверку на наличие гру- |
бых ошибок измерений, вычислить статистические характеристики (среднее ариф
-40-
метическое, дисперсию, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариа-
ции), с достоверностью Р=0,95 проверить гипотезу о статистическом равенстве
средних результатов ( H : |
R |
1 = |
R |
|
2 ) и |
дисперсий ( H : S1 = S2 ) выборок. По результа- |
|||
там проверки гипотез H : |
|
1 = |
|
2 |
и H : S1 = S2 решить вопрос о причинах разли- |
||||
R |
R |
||||||||
чия прочности в сериях. |
|
Исключение грубых ошибок измерений из серии №1.
Исключение грубых ошибок измерений будем проводить с использованием
критерия Смирнова (ζ).
А) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=46,1 МПа;
Средний результат (среднее арифметическое), МПа:
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
R |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 + R3 + ....... + R1 |
|
|||||||||||
|
= |
i =1 |
= |
= |
|||||||||||
R |
|||||||||||||||
N |
|
||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
= 38,1+ 38,2 + 40,3 + 40,3 + 40,4 + 40,5 + 40,5 + 40,6 + 40,7 + 40,7 + 40,8 + 41,9 + 42,0 + 46,1 + 42,2 =
40,887 .
15
Дисперсия (МПа)2:
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∑(R - Ri |
) |
|
1 |
|
|
N |
|
∑ Ri |
|
|
|
`1 |
|
|
|
(613,3) |
2 |
|
|
|||
|
2 |
|
i=1 |
|
|
|
|
2 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
∑ Ri |
- |
|
|
|
= |
|
|
|
25123,33 |
- |
|
|
|
= 3,396. |
|
|
N -1 |
|
N -1 |
N |
|
15 -1 |
15 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее квадратичное отклонение, МПа:
S = S 2 = 3,396 = 1,843.
Расчетное значение критерия Смирнова (ζр):
|
|
|
- Rпод |
|
|
40,887 - 46,1 |
|
|
||||
ζр= |
|
R |
|
= |
|
= 2,93. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S × |
|
N -1 |
1,843 × |
|
15 -1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
При уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и числе степеней свободы fр
= N = 15 табличное значение критерия Смирнова ζтабл = 2,493.
Так как ζр= 2,93 › ζтабл= 2,493 , то с достоверностью 95 % гипотеза Н0 отверга-
ется и принимается гипотеза Н1 , по которой Rпод = Rmax = 46,1 МПа статистически значимо отличается от остальных элементов выборки, является грубой ошибкой из-
-41-
мерения и должен быть исключен из данной серии измерений. Новая выборочная со-
вокупность №1 будет выглядеть следующим образом: |
|
|
|
||||||
1. |
38,1 МПа; |
5. |
38,2 |
МПа; |
9. |
40,3 МПа; |
13. |
40,3 |
МПа; |
2. |
40,4 МПа; |
6. |
40,6 |
МПа; |
10. |
40,8 МПа; |
14. |
42,2 |
МПа. |
3. |
40,5 МПа; |
7. |
40,7 |
МПа; |
11. |
41,9 МПа; |
|
|
|
4. |
40,5 МПа; |
8. |
40,7 |
МПа; |
12. |
42,0 МПа; |
|
|
|
Б) |
принимаем |
за |
подозрительный |
результат |
в |
новой |
выборке |
|||||||||||||||
Rпод = Rmax = 42,2 МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= 40,51 МПа; |
|
|
S 2 = 1,417 (МПа)2; |
|
S = 1,19 МПа. |
|
|
||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- Rпод |
|
|
|
40,51 - 42,2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ζр= |
|
R |
|
|
= |
|
= 1,47 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
S × |
N -1 |
1,417 × |
14 -1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и |
числе степеней свободы |
|||||||||||||||||||||
fр=N=14 |
|
табличное |
значение |
критерия |
Смирнова |
ζтабл=2,461. |
Так как ζр= |
|||||||||||||||
1,47 › ζтабл= 2,461, то с достоверностью 95 % принимается гипотеза |
Н0 , |
в |
соответ- |
|||||||||||||||||||
ствии с которой результат Rпод = Rmax = 42,2 МПа |
статистически не значимо отлича- |
ется от других элементов выборки, т.е. не является грубой ошибкой измерения и при-
надлежит данной выборке.
Таким образом, максимальный и минимальный результаты данной выборочной совокупности не являются грубой ошибкой измерения, принадлежат данной выборке,
а следовательно и все остальные результаты, заключенные между минимальным и максимальным, принадлежат данной выборке. Выборка №1 (бетон без добавки) после
исключения грубых ошибок измерения имеет вид: |
|
|
|
||||||
1. |
38,1 МПа; |
5. |
38,2 |
МПа; |
9. |
40,3 МПа; |
13. |
40,3 |
МПа; |
2. |
40,4 МПа; |
6. |
40,6 |
МПа; |
10. |
40,8 МПа; |
14. |
42,2 |
МПа. |
3. |
40,5 МПа; |
7. |
40,7 |
МПа; |
11. |
41,9 МПа; |
|
|
|
4. |
40,5 МПа; |
8. |
40,7 |
МПа; |
12. |
42,0 МПа; |
|
|
|
Статистические характеристики выборки №1: |
|
|
Среднее арифметическое (средняя прочность) ……………… 40,51 |
МПа; |
|
Дисперсия |
………………………………………………… 1,42 ( |
МПа)2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-42- |
|
|
|
|
|
|
|
Среднее квадратичное отклонение ………………………… |
1,19 |
|
|
МПа; |
|||||||||||||
Коэффициент вариации |
…… ..………………………………. 2,9 %. |
|
|
|
|
||||||||||||
Исключение грубых ошибок измерений из серии №2. |
|
|
|||||||||||||||
А) принимаем за подозрительный результат Rпод=Rmax=47,6 МПа; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
= 43,05 МПа; |
|
S 2 = 2,717 (МПа)2; |
|
S = 1,648 МПа. |
|
|||||||||
|
|
R |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- Rпод |
|
|
|
43,053 - 47,6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ζр = |
|
R |
|
= |
|
|
= 2,855. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
S × |
|
N -1 |
|
1,648 × |
15 -1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
N |
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 |
и |
числе степеней свободы |
||||||||||||||
fр = N = 15 |
|
табличное значение |
|
критерия |
Смирнова |
ζтабл = 2,493. |
Так как |
||||||||||
ζр= 2,855 > ζтабл= 2,493 , то с достоверностью 95 % отвергается гипотеза |
Н0 и при- |
||||||||||||||||
нимается гипотеза Н1,в соответствии с которой |
результат Rпод=Rmax=47,6 МПа ста- |
тистически значимо отличается от других элементов выборки, т.е. является грубой ошибкой измерения и не принадлежит данной выборочной совокупности.
|
Б) принимаем за подозрительный результат Rпод = Rmax = 46,5 МПа; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
= 42,73 МПа; |
|
|
|
|
S 2 =1,2222 (МПа)2; |
|
|
S = 1,106 МПа. |
|
|||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- Rпод |
|
|
42,73 - 46,5 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ζр = |
|
R |
|
= |
|
|
= 3,54 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S × |
N -1 |
1,106 × |
|
14 |
-1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
При уровне значимости |
α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и |
числе степе- |
||||||||||||||||||
ней свободы fр = N = 14 |
|
|
табличное значение |
критерия |
Смирнова |
||||||||||||||||
ζтабл |
= 2,461. Так как |
ζр = 3,54 |
> ζтабл= 2,461, то с достоверностью 95 % |
||||||||||||||||||
отвергается гипотеза |
Н0 |
|
и |
принимается |
гипотеза Н1 , |
в |
соответст- |
||||||||||||||
вии |
с которой результат |
|
Rпод = Rma x = 46,5 МПа |
статистически значимо |
отличается от других элементов выборки, т.е. является грубой ошибкой из-
мерения и не принадлежит данной выборочной совокупности.
В) Принимаем за подозрительный результат Rпод = Rmax = 42,8 МПа;
-43-
|
|
R |
= 42,438 МПа; |
|
|
|
|
|
|
S 2 = 0,04758 (МПа)2; |
|
S = 0,218 МПа. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Rпод |
|
|
42,438 - 42,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ζр= |
|
|
R |
= |
|
|
|
|
= 1,723. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
S × |
|
|
|
N - |
1 |
0,218 × |
13 -1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При уровне значимости α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 |
и |
числе степеней свободы |
|||||||||||||||||||||||||||
fр = N = 13 |
табличное |
значение |
|
|
критерия |
|
|
Смирнова |
ζтабл = 2,426. Так как ζр |
||||||||||||||||||||
= 1,723 < ζтабл = 2,426 , то с достоверностью 95 % |
принимается гипотеза |
Н0 , по ко- |
|||||||||||||||||||||||||||
торой результат Rпод = Rmax = 42,8 МПа |
не является грубой ошибкой измерения и |
||||||||||||||||||||||||||||
принадлежит данной выборочной совокупности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Г) |
Принимаем за подозрительный результат Rпод= Rmin= 42,0 МПа; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 42,438 МПа; |
|
|
|
|
|
|
S 2 = 0,04758 (МПа)2; |
|
S = 0,218 МПа. |
|
||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Rпод |
|
|
|
42,438 - 42,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ζр= |
|
|
R |
|
|
= |
|
|
|
= 2,092. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
S × |
|
|
N -1 |
0,218 × |
13 -1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При уровне значимости |
α = (1-Р) = (1-0,95) = 0,05 и числе степеней свободы |
||||||||||||||||||||||||||||
fр = N = 13 |
|
табличное |
значение |
|
|
критерия |
|
|
Смирнова |
ζтабл = 2,426. |
Так как ζр |
||||||||||||||||||
= 2,092 < ζтабл = 2,426 , то с достоверностью 95 % |
принимается гипотеза |
Н0 , по ко- |
|||||||||||||||||||||||||||
торой результат Rпод = |
Rmin = 42,0 МПа |
не является грубой ошибкой измерения и |
|||||||||||||||||||||||||||
принадлежит данной выборочной совокупности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Таким образом серия №2 принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
42,0 МПа; |
5. |
|
42,4 |
МПа; |
|
9. |
42,5 МПа; |
|
13. 42,8 |
МПа. |
||||||||||||||||||
2. |
42,1 МПа; |
6. |
|
42,5 |
МПа; |
|
10. |
|
42,6 МПа; |
|
|
||||||||||||||||||
3. |
42,3 МПа; |
7. |
|
42,5 |
МПа; |
|
11. |
|
42,6 МПа; |
|
|
||||||||||||||||||
4. |
42,3 МПа; |
8. |
|
42,5 |
МПа; |
|
12. |
|
42,6 МПа; |
|
|
||||||||||||||||||
Статистические характеристики серии №2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Среднее арифметическое (средняя прочность) …… |
|
……… |
… 42,44 |
МПа; |
|||||||||||||||||||||||||
Дисперсия |
…………………………………… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…..…………… |
0,0476 |
( |
МПа)2; |
|
|
|
|
-44- |
|
|
|||||
|
|
|
Среднее квадратичное отклонение |
………… |
…..………….. 0,218 |
МПа; |
|||||
|
|
|
Коэффициент вариации ………………………………… |
|
|
…… |
0,514 % |
||||
|
|
|
Проверка статистического равенства дисперсий двух выборок. |
||||||||
|
|
|
Проверка гипотезы Н0 о статистическом равенстве дисперсий двух выборок |
||||||||
(Н |
0 |
: S |
2 |
= S 2 ) проводится по критерию Фишера, расчётное значение которого опре- |
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
деляется по формуле |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Fр = |
Sмах |
= |
S1 |
= |
1,42 |
= 29,83. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Sмin S2 |
0,0476 |
|
|
Табличное значение критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05, числе степеней свободы числителя fч = (N1-1) = 13 и знаменателя fз = (N2-1)=12 равно Fтабл
= 2,69.
Так как Fр = 29,83 > Fтабл = 2,69, то с доверительной вероятностью Р = 0,95 ги-
потеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1 , по которой дисперсии выборок имеют статистически значимые отличия.
Проверка статистического равенства средних результатов двух выборок.
Поверка гипотезы Н0 о статистическом равенстве средних результатов двух се-
рий испытаний (Н0 : R1 = R2 ) проводится по критерию Стьюдента. Поскольку под-
тверждено наличие статистически значимых различий между дисперсиями этих вы-
борок, то расчётное значение критерия Стьюдента определяется по формуле:
|
|
|
|
1 - |
|
2 |
|
|
|
|
40,51 - 42,44 |
|
|||
tр = |
|
|
R |
R |
|
|
|
= |
= 5,954 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S12 N1 + S22 |
N 2 |
1,42 14 + 0,0476 13 |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Число степеней свободы критерия Стьюдента определится по формуле
|
|
|
|
f = |
|
|
(N1 -1)× (N 2 -1) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
(N 2 -1)× C 2 + (N1 -1)× (1 - C )2 |
|||||||
|
|
|
(S |
2 N1 ) |
|
|
(1,42 14) |
|
|
|
|
C = |
(S 2 |
N 1)+ (S 2 |
|
|
)= |
|
|
= 0,965 , |
|||
N |
2 |
(1,42 14) + (0,0476 13) |
|||||||||
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
f = |
|
|
(14 -1)×(13 -1) |
= 13,94 » 14 . |
|||||||
(13 -1)×0,9652 + (14 -1)×(1 - 0,965)2 |
-45-
При α = 0,05 и числе степеней свободы f = 14 tтабл = 2,145. Так как tр = 5,954 > tтабл = 2,145, то гипотеза H0 отвергается и принимается гипотеза H1, по кото-
рой между средними результатами наблюдаются статистически значимые различия.
Выводы
Статистический анализ двух серий испытаний бетонных образцов подтвердил наличие статистически значимых отличий дисперсий и средних результатов прочно-
сти. На основании этого с доверительной вероятностью 95 % можно утверждать, что выборочные совокупности принадлежат к разным генеральным совокупностям и,
следовательно, не могут быть объединены в одну выборку. На основании проведён-
ного анализа можно утверждать, что отличия в прочности получены за счёт введения в бетон серии №2 добавки ускорителя твердения сульфата натрия, но и случайные причины (например, разная точность проведённых измерений, разное качество ис-
пользованных для изготовления образцов форм, погрешности в уплотнении бетона образцов и т.д.), на что указывают статистически значимые отличия дисперсий этих выборок.
2.6.2. Сравнение нескольких выборочных совокупностей
Сравнение нескольких выборочных совокупностей необходимо при проведе-
нии эксперимента с несколькими значениями исследуемого фактора, а также при проведении многофакторного эксперимента. Сравнение нескольких выборок прово-
дится в той же последовательности, что и при сравнении двух выборок, т.е. после ис-
ключения из всех выборочных совокупностей грубых ошибок измерений последова-
тельно проверяются ноль-гипотеза о статистическом равенстве дисперсий
( Н |
0 |
( S 2 ):S 2 |
= S 2 = ... = S 2 ), |
и |
статистическом |
равенстве средних результатов этих |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
выборок |
( Н0( |
|
): |
|
1 = |
|
|
2 = ... = |
|
n ) . Следует |
помнить при этом, что гипотеза |
||||||||||||
Х |
Х |
Х |
Х |
||||||||||||||||||||
Н0( |
|
): |
|
1 = |
|
2 = ... = |
|
n |
|
проверяется только в том случае, если справедлива нуль- |
|||||||||||||
Х |
Х |
Х |
Х |
|
|||||||||||||||||||
гипотеза Н |
0 |
( S 2 ):S 2 |
= S 2 |
= ... = S |
2 . Рассмотрим случай, когда в результате проведе- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
ния однофакторного эксперимента получено n выборочных совокупностей, причем
-46-
каждая выборка состоит из m измерений. Результаты такого эксперимента можно
представить в виде табл. 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
Результаты однофакторного эксперимента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/пп№ |
исслеЗначениефакторадуемого |
|
|
|
|
Номер |
|
|
|
Количество |
параллельных измерений |
|
Выборочное арифмесреднеетическое |
Выборочная дисперсия |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
результат измерения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
… |
|
j |
|
… |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
х1 |
|
Х11 |
Х12 |
… |
|
Х1 j |
|
… |
|
Х1m |
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
S12 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
х2 |
|
Х21 |
Х22 |
… |
|
Х2 j |
|
… |
|
Х2m |
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
S22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х 2 |
|
||||||||||||||||
|
. |
…. |
|
…. |
|
…. |
… |
|
…. |
|
… |
|
…. |
|
…. |
|
|
…. |
|
…. |
|
|||
|
i |
хi |
|
Хi1 |
Хi2 |
… |
|
Хij |
|
… |
|
Хim |
|
mi |
|
|
|
|
|
|
|
Si2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х i |
|
||||||||||||||
|
… |
…. |
|
…. |
|
…. |
… |
|
…. |
|
… |
|
…. |
|
…. |
|
|
…. |
|
…. |
|
|||
|
n |
хn |
|
Хn1 |
Хn2 |
… |
|
Хnj |
|
… |
|
Хnm |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
Sn2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ Si2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
При реализации такого эксперимента возможно одинаковое количество парал- |
||||||||||||||||||||||
лельных измерений в каждой группе, т.е. |
m1 = m2 = ... = mn , |
или неодинаковое, т.е. |
||||||||||||||||||||||
m1 ¹ m2 ¹ ... ¹ mn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Если |
число |
параллельных измерений |
|
в каждой группе одинаковое , т.е. |
||||||||||||||||||
m1 = m2 = ... = mn , |
то |
проверка |
гипотезы |
о |
статистическом |
равенстве |
дисперсий |
( Н0( S 2 ):S12 = S22 = ... = Sn2 ) проводится по критерию Кохрена (G - критерий), расчетное
значение которого определяется по формуле
|
|
G |
расч |
= |
Smax2 |
|
, |
(69) |
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∑ Si2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
где Smax2 |
- |
наибольшая из всех n выборочных дисперсий; |
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ Si2 |
- |
сумма всех выборочных дисперсий. |
|
|
||||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-47-
Если Gрасч £ Gтабл , то с принятой доверительной вероятностью P = (1 - a)
можно утверждать, что между рассматриваемыми дисперсиями статистически значи-
мых отличий не наблюдается, т.е. справедлива гипотеза Н0( S 2 ):S12 = S22 = ... = Sn2 .
Если G |
> G |
табл |
, то гипотеза |
Н |
0 |
( S 2 ):S 2 |
= S |
2 = ... = S 2 |
отвергается и при- |
||
расч |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
|
||
нимается альтернативная гипотеза Н ( S |
2 ): S 2 |
¹ S 2 |
¹ ... ¹ S 2 |
, по которой между срав- |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
ниваемыми дисперсиями имеются статистически значимые отличия. |
|||||||||||
Табличное значение критерия Кохрена (Gтабл ) |
определяется по справочным |
таблицам (например, приложение 10) при принятом уровне значимости и числе сте-
пеней свободы f = (m -1) для числителя и k = n для знаменателя.
Если при сравнении дисперсий оказывается справедливой альтернативная ги-
потеза Н ( S |
2 ): S 2 ¹ S |
2 |
¹ ... ¹ S 2 , то это означает, что измерения в выборках проведе- |
|||
1 |
1 |
2 |
n |
|
|
|
ны с разной точностью и объединять такие выборки нельзя (нельзя их также |
ис- |
|||||
пользовать |
при обработке математически спланированного эксперимента). |
Для |
||||
дальнейшей |
работы |
|
требуется |
повторение |
либо всего эксперимента, либо от- |
|
дельных опытов с максимальной дисперсией. |
|
|
||||
Если |
число параллельных |
измерений |
в группах не одинаковое, |
т.е. |
||
m1 ¹ m2 ¹ ... ¹ mn , то |
проверка гипотезы о статистическом равенстве дисперсий |
( Н0( S 2 ):S12 = S22 = ... = Sn2 ) проводится по критерию Бартлетта, расчетное значение ко-
торого определяется по формуле
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2,30259 K × lg S2 - |
∑(mi -1)× lg Si2 |
|
|
||
|
|
Bрасч = |
|
|
i=1 |
|
, |
(70) |
|
|
|
С |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где mi |
- |
число параллельных измерений в соответствующей группе; |
|
|||||
Si2 |
- |
дисперсия каждой группы измерений. |
|
|
|
|
||
Величина K в формуле (70) рассчитывается по формуле: |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
i -1). |
|
|
|
(71) |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В свою очередь величина |
S2 и С рассчитываются по формулам: |
|