5546
.pdf= (0 - (- 1))× i - (- 2 - 0 )× j + (2 - 0 )× k = i + 2 j + 2k ;
|
´ |
|
|
= |
|
|
|
12 + 22 + 22 |
= 3 , следовательно |
|||||||||
a |
b |
|||||||||||||||||
S = |
1 |
|
|
|
|
´ |
|
|
|
= |
1 |
× 3 = 1,5 (кв. ед.). |
||||||
|
|
|
a |
b |
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ: 1,5 кв. ед.
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим произведение трех векторов a , b и c , составленное следующим образом: (a ´b)×c , то есть первые два вектора a и b умножаются векторно, а их
результат скалярно на третий вектор c . Такое произведение векторов называется
векторно-скалярным или смешанным и обозначается a b c , то есть
(a ´b)×c = abc.
Смешанное произведение трех векторов a , b и c представляет собой число,
равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (см. рис. 11), взятое со знаком «плюс», если эти три вектора образуют правую тройку и со знаком «минус», если они образуют левую тройку векторов.
c
b
a
Рис. 11
Свойства смешанного произведения:
1)(a ´b)×c = (b ´c)× a = (c ´ a)×b ;
2)(a ´b)×c = a ×(b ´c);
3)a b c = -a c b ; a b c = -b a c , a b c = -c b a ;
4)Если a b c = 0 , то векторы a , b и c компланарны.
20
Смешанное произведение трех векторов a , b и c заданных своими координатами, то есть a = {a1 ; a2 ; a3 }, b = {b1 ; b2 ; b3 }, c = {c1 ; c2 ; c3 } вычисляется
по формуле:
|
|
|
|
|
|
= |
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
b |
. |
|
a |
b |
c |
b |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
Пример. Вычислить смешанное произведение векторов a = 2i − j , b = j − k ,
c = i + j + k .
Решение.
a = {2;−1;0}, b = {0;1;−1}, c = {1;1;1}. Тогда
|
|
2 |
− 1 |
0 |
|
|
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
1 |
− 1 |
|
= 2 + 0 + 1 − 0 + 2 + 0 = 5 . |
a |
b |
c |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: a b c = 5.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, имеем, что объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c (см. рис. 11) вычисляется по формуле:
Vnap. = a b c .
Объем треугольной пирамиды, построенной на трех векторах a , b и c (см. рис. 12) вычисляется по формуле:
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vnup. |
|
a b c |
. |
|||||||||
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
a |
|||
|
b
Рис. 12
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
объем пирамиды, построенной на векторах |
|
= {1; 2;3}, |
||||||||||||||||||
|
Пример. |
Найти |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= {0;1;−1} и |
|
= {0;−1; 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
b |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 1 −1 |
|
|
= 0 − 0 − 0 − 0 −1− 0 = −1. |
||||||||||||||||||||||||
|
a |
b |
c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
× |
|
-1 |
|
= |
1 |
|
||||||||||||||
|
Тогда V |
|
|
|
a |
|
b |
|
c |
|
|
|
(куб. ед.). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nup. |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ: V |
|
|
= |
(куб. ед.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nup. |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
§ 3. Прямая на плоскости
Под прямой понимают прямую линию. Введение на плоскости прямоугольной декартовой системы координат позволяет определять положение точки на плоскости заданием двух чисел – ее координат, а положение прямой на плоскости определять с помощью уравнения, то есть равенства, связывающего координаты точек прямой.
Уравнение прямой позволяет изучение геометрических свойств прямой заменить исследованием ее уравнения. Так, для того, чтобы установить лежит ли
точка M 0 (x0 ; y0 )на прямой F (x, y) = 0, достаточно проверить (не |
прибегая к |
|
геометрическим построениям) удовлетворяют ли координаты точки M 0 |
уравнению |
|
F (x, y) = 0 этой прямой, то есть выполняется ли равенство F (x, y) = 0. |
|
|
Пример. Лежит ли точка M 0 (1; 2) на прямой l : 3x − y +1 = 0. |
|
|
Решение. |
Подставив в уравнение прямой 3x − y + 1 = 0 координаты точки |
|
M 0 , то есть x0 |
= 1 и y0 = 2 вместо x и y , получаем: |
|
3 ×1 - 2 +1 = 3 -1 = 2 ¹ 0 .
Следовательно, точка M 0 не лежит на данной прямой l .
Общее уравнение прямой.
Пусть в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости xOy
задана точка M 0 (x0 ; y0 ) и вектор N{A; B}. Требуется составить уравнение прямой
l , проходящей через точку M 0 |
и перпендикулярной вектору N . (см. рис. 13) |
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
M |
|
|
|
0 |
|
|
x |
Рис. 13 |
|
|
Выберем произвольную |
точку |
M (x; y) на |
прямой |
l . Тогда вектор |
||
|
= {x − x0 ; y − y0 } лежит на прямой l . Так как прямая l |
|
||||
M 0 M |
перпендикулярна |
23
вектору N по условию, то и вектор M 0 M перпендикулярен вектору N , а значит
|
× |
|
= 0 , откуда |
|
M 0 M |
N |
|
||
|
|
|
A × (x - x0 )+ B × (y - y0 ) = 0 . |
(3.1) |
Уравнение (3.1) является уравнением прямой на плоскости, проходящей через |
точку (x0 ; y0 ) и перпендикулярной вектору N{A; B}.
Всякий вектор, перпендикулярный прямой называется вектором нормали прямой. Вектор N{A; B} является вектором нормали прямой l .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и
перпендикулярной вектору PQ , если P( 0;1) и Q(-1; 2).
Решение. Находим координаты вектора PQ , являющимся вектором нормали
прямой l :
N = PQ = {−1− 0; 2 −1} = {−1;1}.
Подставляя в уравнение (3.1) координаты точки M 0 (1; 2), то есть x0 = 1, y0 = 2 и координаты вектора N = {−1;1}, то есть A = −1, B = 1, находим искомое
уравнение прямой l : |
|
l : |
-1×(x -1) +1× (y - 2) = 0 или |
l : |
− x + 1 + y − 2 = 0 или |
l : |
− x + y −1 = 0 |
Ответ: − x + y −1 = 0 . |
|
Преобразуем уравнение (3.1) следующим образом: |
|
Ax - Ax0 + By - By0 = 0 или Ax + By + (- Ax0 |
- By0 ) = 0 . |
Обозначив C = - Ax0 - By0 , получаем общее уравнение прямой на плоскости |
|
вида: |
|
Ax + By + C = 0. |
(3.2) |
Исследуем уравнение (3.2):
1. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид:
24
Ax + By = −C .
Разделив обе части последнего уравнения на (− C ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ax |
+ |
By |
= |
− C или |
|
|
x |
|
+ |
y |
|
= 1, |
||||
|
− C |
|
− C |
− C |
|
||||||||||||
|
|
− C |
− C |
|
B |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|||
обозначив a = − C |
, |
b = − C |
B |
получаем уравнение прямой на плоскости в |
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«отрезках» вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ |
y |
= 1, |
|
(3.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|||
где a и b величины отрезков, которые прямая l |
отсекает от осей координат (см. |
||||||||||||||||
рис. 14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
|
|
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и
отсекающей от осей координат равные отрезки (см. рис. 15).
y
l
b
2 M 0
0 |
1 |
a |
x |
Рис. 15
25
|
|
Решение. |
Пусть |
уравнение |
искомой прямой l имеет вид |
(3.3), |
то есть |
||||||||||||||||||
l : |
x |
+ |
y |
|
= 1. Так как |
a = b |
по условию, |
то уравнение (3.3) можно переписать в |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
виде: |
l : |
x |
+ |
y |
= 1 |
или l : x + y = a . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Поскольку точка M 0 (1; 2) лежит на прямой l , то подставляя ее координаты |
|||||||||||||||||||||||
x = 1, |
|
|
y = 2 |
в |
последнее |
уравнение, |
находим: l :1+ 2 = a , |
откуда |
a = 3 . |
||||||||||||||||
Следовательно, |
l : x + y = 3 – |
уравнение искомой прямой. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Ответ: x + y = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример. Построить прямую l : 2x − 3y − 6 = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Решение. Приведем заданное уравнение к уравнению вида (3.3): |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 3y − 6 = 0 ; 2x − 3y = 6 ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
− |
3y |
= 1; |
x |
+ |
y |
= 1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
− 2 |
|
|
||
|
|
Отметим на оси Ox точку x = 3 , а на оси Oy точку y = −2 и через эти точки |
|||||||||||||||||||||||
проведем прямую. Это и будет искомая прямая (см. рис. 16). |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
-2
Рис. 16
Уравнение (3.2) можно переписать и другим образом:
By = − Ax − C или y = − |
A |
x − |
C |
. |
|
|||||
B |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
||
Обозначив k = − |
A |
, |
b = − |
C |
, получим уравнение прямой |
с угловым |
||||
|
|
|||||||||
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|||
коэффициентом k : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
l : y = kx + b |
|
|
|
(3.4) |
26
Угловой коэффициент k |
равен |
тангенсу |
угла |
α наклона |
прямой l к |
|
положительному направлению оси Ox (см. рис. 17), то есть k = tg α . |
|
|||||
|
y |
M |
|
|
|
|
|
y0 |
y − b |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
b |
α |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
l |
0 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|
|
Из рисунка 17 следует, |
что для |
любой |
|
точки |
M (x; y) l |
выполняется |
равенство y − b = tgα = k . x
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку M 0 (1; 2) и
образующей с положительным направлением оси Ox угол 45 . |
|
|
|||
Решение. Пусть |
искомое |
уравнение |
прямой l запишется |
в виде (3.4) |
|
l : y = kx + b . По условию α = 45 , значит |
k = tgα = tg 45 = 1, |
следовательно |
|||
l : y = x + b . |
|
|
|
|
|
Поскольку точка |
M 0 (1; 2) |
лежит на прямой l , то подставляя в последнее |
|||
уравнение x = 1, y = 2 находим: |
l : 2 = 1+ b , откуда b = 1. |
|
|
||
Таким образом, искомое уравнение прямой l имеет вид: |
y = x + 1. |
||||
Ответ: y = x + 1. |
|
|
|
|
|
Пусть прямая l |
проходит через точку M 0 (x0 ; y0 ) |
и ее |
направление |
характеризуется угловым коэффициентом k , тогда уравнение этой прямой можно записать в виде:
l : y = kx + b ,
где b – пока неизвестная величина.
27
Так |
как точка |
M 0 (x0 ; y0 ) лежит на прямой l , |
то ее |
координаты |
удовлетворяют уравнению прямой l , то есть имеет место равенство: y0 |
= k × x0 + b , |
|||
откуда |
b = y0 - kx0 . |
Подставляя значение b в уравнение |
y = kx + b , получаем: |
|
y = kx + y0 - kx0 или |
|
|
|
|
|
|
y - y0 = k (x - x0 ) |
|
(3.5) |
Уравнение (3.5) |
с различными значениями k называется также уравнением |
пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ).
Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy , так как tg90 = +∞ .
Пример. Составить уравнение прямой l , проходящей через точку пересечения прямых l1 : x - y + 2 = 0 и l2 : 2x + y - 5 = 0 и образующей с положительным направлением оси Ox угол 135 .
Решение. Координаты точки M 0 пересечения прямых l1 и l2 находим из системы уравнений этих прямых:
x − y + 2 = 0
2x + y − 5 = 0
Сложив эти уравнения в данной системе, получаем: 3x − 3 = 0 , откуда x = 1. Тогда y = x + 2 = 1 + 2 = 3.
Итак, координаты точки M 0 (1;3).
По условию α = 135 , значит k = tg135 = −1. Подставляя в уравнение (3.5) k = −1 и x0 = 1, y0 = 3 находим искомое уравнение прямой
l : y - 3 = -1× (x -1) или
l : y − 3 + x −1 = 0 или l : x + y − 4 = 0.
Ответ: x + y − 4 = 0 .
28
2. При A ¹ 0 , B ¹ 0 , C = 0 уравнение (3.2) примет вид: Ax + By = 0.
Это уравнение прямой l , проходящей через начало координат – точку O( 0; 0) и
|
|
|
A |
|
точку M |
|
1;− |
|
. (См. рис. 18) |
|
|
|||
|
0 |
|
B |
yl
−A M 0 B
0 1 |
x |
|
Рис. 18 |
Пример. Построить прямую l : 2x − 6 y = 0 .
Решение. Уравнение прямой l является общим уравнением прямой на
плоскости A = 2 , B = -6 , C = 0 , проходящей через точку O |
и точку M |
|
|
1; |
1 |
|
. |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
||
(См. рис. 19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 x
Рис. 19
3. При A = 0 , B ¹ 0 , C ¹ 0 уравнение (3.2) примет вид: By + C = 0 или
y = − C . Это уравнение прямой на плоскости параллельной оси Ox и проходящей
B
|
C |
|
через точку 0;− |
|
. (См. рис. 20) |
|
||
|
B |
y |
|
|
l |
|
|
− C |
|
|
B |
|
|
0 |
Рис. 20 |
x |
|
|
29