книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdf6.2. Корреляция по времени |
191 |
Значение статистики DW |
Таблица 6.5 |
Вывод |
|
4 - ф <D W <4 |
Гипотеза Но отвергается, есть |
4 - du < DW < 4 —dj |
отрицательная корреляция |
Неопределенность |
|
du < DW < 4 - du |
Гипотеза Но не отвергается |
di < DW < du |
Неопределенность |
0 < DW <di |
Гипотеза Но отвергается, есть |
|
положительная корреляция |
Сделаем еще одно важное замечание. Тест Дарбина-Уотсона построен в предположении, что регрессоры X и ошибки е не коррелированы. Поэтому его нельзя применять, в частности, когда среди регрессоров содержатся датированные значения зависимой переменной у.
Выводы:
1)при анализе временных рядов следует учитывать, что, как правило, ошибки коррелированы во времени, что требует коррекции обычного метода наименьших квадратов;
2)во многих случаях можно считать, что ошибки образуют стационарный авторегрессионный процесс первого порядка (6.7);
3)МНК-оценки в случае авторегрессии первого порядка несмещены, состоятельны, но неэффективны;
4)оценка дисперсии при использовании МНК является зани женной;
5)если коэффициент авторегрессии известен, то обобщенный метод наименьших квадратов сводится к преобразованию (6.11) , (6.12) исходной системы и дальнейшему применению МНК;
6)при неизвестном коэффициенте авторегрессии существует несколько процедур доступного обобщенного метода наи меньших квадратов, суть которых состоит в оценивании
этого коэффициента, а затем в применении преобразования
(6.11) , (6.12);
192 |
Гл. 6. Гетероскедастичность и корреляция по времени |
7) одним из наиболее распространенных тестов проверки ги потезы об отсутствии корреляция является тест ДарбинаУотсона, основанный на статистике DW (6.13). Его особен ность заключается в наличии зоны неопределенности для DW, когда нет оснований ни принимать, ни отвергать гипо тезу об отсутствии корреляции.
Упражнения
6.1.Проверьте непосредственно, что для парной регрессии (п. 2.3) с гетероскедастичностью дисперсия оценки параметра Ь, полученная с по мощью метода взвешенных наименьших квадратов, меньше дисперсии МНК-оценки.
6.2.Процесс, порождающий данные, описывается уравнением
Vt = 0xt + et,
Eet =0, E(e?) = <r2, E(ctc*) = 0, t ^ s , < = l,...,n .
Экспериментатор не имеет доступа к исходным данным, а может использовать лишь «групповые» данные. А именно, значения незави симой переменной упорядочиваются по величине (xi < хг < • • ■< х„), вычисляются средние значения в первой группе из ni наблюдений
во второй группе из пг наблюдений
и т.д Всего есть J групп наблюдений, j -я группа имеет объем п,. Па раметр /? оценивается с помощью регрессия на Xj, j —1,..., J. Вы числите среднее значение и дисперсию оценки. Оцените потерю эффек тивности в результате такой группировки данных.
6.3. Рассмотрим уравнение yt = a+0xt+£«, где ошибки ег порождаются авторегрессионным процессом второго порядка:
£t — Pl^t-l + PiSt~2 + «t-
Упражнения |
193 |
Предложите обобщениеитеративной процедуры Кохрейна-Оркаттадля Оценивания параметров этой модели.
в.4. Рассмотрим модель у* = 0xt + £t, где
£t — pet-i + tt«* E щ ts 0, E u* = a2, E ««u, =0, |
t ф s. |
Предлагается оценивать параметр 0 с помощью регрессии первой раз ности Ayt = ш ~ Vt-i на Дх*.
а) Покажите, что эта оценка является линейной и несмещенной.
б) Вычислите дисперсию оценки и покажите, что стандартная оцен ка этой дисперсии смещена.
6.5. Предположим, что для системы yt = а + 0xt + et, t = 1 ,..., п, вы полнены все предположения классической нормальной модели за одним исключением: дисперсии ошибок удовлетворяют соотношениям
с f = n + Sxt .
Предложите двухшаговую процедуру оценивания параметров аи.0.
6.6. Рассмотрим модель, связывающую количество вакансий wt и уро вень безработицы и<:
lnitft = 01 + 02\пщ + £t.
Ошибки £t независимы и нормально распределены ЛГ(0,<т|).
а) Используя (искусственные) данпые из таблицы 6.6, найдите МНК-оценки параметров 0\ и 02, а также 95%-ный доверитель ный интервал для 02-
б) Вычислите статистику Дарбииа-Уотсона. Что ее значение гово рит об исходном предположении об ошибках с(? Что можно скат зать о доверительном интервале, найденном в а)?
в) Оцените модель заново, используя модель автокорреляции перво го порядка для ошибок регрессии. Найдите 95%-ный доверитель ный интервал для 02- Сравните результат с интервалом, получен ным в а).
194 |
|
|
Гл 6 Гстеросксдастичность и корреляция по времени |
|||||
t |
Wt |
Щ |
t |
|
|
t |
Таблица 6.6 |
|
Щ |
«t |
wt |
щ |
|||||
1 |
1.73 |
8.65 |
9 |
5.06 |
2.87 |
17 |
3.15 |
4.72 |
2 |
1.94 |
4.82 |
10 |
2.81 |
5.29 |
18 |
1.92 |
7.45 |
3 |
3.05 |
2.67 |
11 |
4.43 |
3.31 |
19 |
2.26 |
6.21 |
4 |
4.17 |
2.67 |
12 |
3.19 |
5.44 |
20 |
6.18 |
2.64 |
5 |
2.52 |
2.58 |
13 |
2.23 |
6.80 |
21 |
2.07 |
8.55 |
6 |
1.71 |
8.07 |
14 |
2.06 |
8.25 |
22 |
8.39 |
2.60 |
7 |
1.95 |
8.83 |
15 |
3.33 |
3.44 |
23 |
2.75 |
6.25 |
8 |
2.57 |
5.54 |
16 |
2.12 |
7.80 |
24 |
6.10 |
2.70 |
в.7. В таблице 6.7 представлены данные о потребительских расходах С и располагаемом доходе % тридцати семей (долл.).
|
Потребление |
|
Таблица в.7 |
10700 |
11200 |
Доход |
|
10900 |
12000 |
||
11400 |
11700 |
12100 |
13000 |
12300 |
12600 |
13200 |
14000 |
13000 |
13300 |
13600 |
15000 |
13800 |
14000 |
14200 |
16000 |
14400 |
14900 |
15300 |
17000 |
15000 |
15700 |
16400 |
18000 |
15900 |
16500 |
16900 |
19000 |
16900 |
17500 |
18100 |
20000 |
17200 |
17800 |
18500 |
21000 |
а) Проведите регрессию С на Yd и проверьте наличие или отсутствие гетероскедастичности.
б) Если и а) выявлена гетероскедастичностъ, осуществите коррек цию на гетероскедастичность.
6.8. Таблица 6.8 содержит данные об уровнях запасов I, объемов про даж 5 (млн. долл.) и процентные ставки по кредитам Л в 35 фирмах некоторой отрасли. Экономическая интуиция подсказывает, что / долж но быть положительно связано с 5 и отрицательно с R.
а) Проведите регрессию I на S и R и тест на гетероскедастичность.
б) Если в а) выявлена гетероскедастичность, осуществите коррек цию на гетероскедастичность, предполагая, что дисперсия ошиб ки пропорциональна S2.
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
195 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.8 |
|
Фирма |
I |
S |
R |
Фирма |
I |
5 |
R |
1 |
10 |
100 |
17 |
19 |
15 |
122 |
11 |
2 |
10 |
101 |
17 |
20 |
15 |
123 |
11 |
3 |
10 |
103 |
17 |
21 |
15 |
125 |
11 |
4 |
11 |
105 |
16 |
22 |
16 |
128 |
10 |
5 |
11 |
106 |
16 |
23 |
16 |
128 |
10 |
6 |
11 |
106 |
16 |
24 |
16 |
131 |
10 |
7 |
12 |
108 |
15 |
25 |
17 |
133 |
10 |
8 |
12 |
109 |
15 |
26 |
17 |
134 |
9 |
9 |
12 |
111 |
14 |
27 |
17 |
135 |
9 |
10 |
12 |
111 |
14 |
28 |
17 |
136 |
9 |
11 |
12 |
112 |
14 |
29 |
18 |
139 |
8 |
12 |
13 |
113 |
14 |
30 |
18 |
143 |
8 |
13 |
13 |
114 |
13 |
31 |
19 |
147 |
8 |
14 |
13 |
114 |
13 |
32 |
19 |
151 |
8 |
15 |
14 |
116 |
12 |
33 |
19 |
157 |
8 |
16 |
14 |
117 |
12 |
34 |
20 |
163 |
7 |
17 |
14 |
118 |
12 |
35 |
20 |
171 |
7 |
18 |
15 |
120 |
11 |
|
|
|
|
6.9. В таблице 6.9 приведены данные об объеме импорта М и ВНП США (млрд, долл.) за период с 1960 по 1979 г.
|
|
|
_________________ Таблица 6.9 |
||
Год |
М |
ВНП |
Год |
М |
ВНП |
1960 |
23.2 |
506.0 |
1970 |
58.5 |
982.4 |
1961 |
23.1 |
523.3 |
1971 |
64.0 |
1063.4 |
1962 |
25.2 |
563.8 |
1972 |
75.9 |
1171.1 |
1963 |
26.4 |
594.7 |
1973 |
94.4 |
1306.6 |
1964 |
28.4 |
635.7 |
1974 |
131.9 |
1424.9 |
1965 |
32.0 |
688.1 |
1975 |
126.9 |
1528.1 |
1966 |
37.7 |
753.0 |
1976 |
155.4 |
1702.2 |
1967 |
40.6 |
796.3 |
1977 |
185.8 |
1899.5 |
1968 |
47.7 |
868.5 |
1978 |
217.5 |
2127.6 |
1969 |
52.9 |
935.5 |
1979 |
260.9 |
2368.5 |
Источник: D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982.
а) Проведите регрессию M на ВНП и на 5%-ном уровне значимости протестируйте гипотезу об отсутствии автокорреляции ошибок.
б) Бели в а) гипотеза отвергается, проведите коррекцию на автокор реляцию.
196 |
Гл 6. Гетероскедастичность и корреляция по времени |
||||
6.10. Рассмотрим |
модель yt = |
0 x t |
+ et, t = 1,2, |
где |
0, |
it — скаляры, и |
предположим, |
что |
Нт„-.оо(1/л )£"=1 xt |
= |
ах> |
limfl_ 00(l/n) EiU +i xtxt-a - <*’<?%, где |а| < 1 и E(et) = 0, E(ete,_e) = pso\ при всех з, где \р\ < 1.
а) Вычислите асимптотическую дисперсию МНК-оценки параметра 0, т.е. limn_.00 7iV(/30Ls)-
б) Вычислите асимптотическую дисперсию оценки параметра 0 , по лученной с помощьюобобщенного метода наименьших квадратов, и покажите что при а = р асимптотическая эффективность МНКоценки равна (1 - р2)/(1 + р2).
6.11. Рассмотрим модель yt = 0 x t + et, t = 1...... n, где E(ce) = 0, E(e?) = ai?, E(etes) = 0 при t ф s и £ " =I x \ = n.
а) Покажите, что МНК-оцспка 0 параметра 0 является несмещен ной, но неэффективной.
б) Покажите, что стандартная оценка дисперсии 0 смещена вниз по отношению к истинной дисперсии 0.
6.12. Уравнение yt = 0 i+ 02Xt + et оценивается no следующим наблю дениям (см. таблицу 6.10):
I |
4 |
1 |
|
|
Таблица 6.10 |
5 |
8 |
2 |
|||
У |
6 |
3 |
12 |
15 |
4 |
Известна функциональная форма гетероскедастичности: V(et) = а2 = <т2х2. Вычислить оценки обобщенного метода наименьших квад ратов параметров 0\, 02 и их стандартные отклонения.
6.13.В модели yt = 0xt + et (0, xt —скаляры и it > 0) ошибки et образуют авторегрессию первого порядка: £t = pet-1 + щ, 0 < р < 1. Покажите, что стандартная оценка дисперсии et, полученная с помо щью обычного метода наименьших квадратов, смещена вниз.
6.14.Расходы домашних хозяйств в Нидерландах (см. продолжение в упражнении 12.15).
Введение. Традиционной задачей эмпирических исследований в микро экономике является оценивание кривых Энгеля. Эрнст Энгель устано вил, что при увеличении дохода семьи доля расходов на питание умень шается (закон Энгеля). В современных микроэкономических терминах это означает, что эластичность расходов на питание по доходу мень ше единицы. (При этом говорят также, что еда является необходимым
Упражнения |
197 |
товаром, а не предметом роскоши.) Зависимость расходов на приобре тение некоторого вида товара от доходов называется кривой Энгеля. В настоящее время принято, как правило, вместо дохода рассматривать полные расходы.
В этой серии упражнений мы будем изучать ежегодные расходы до машних хозяйств (household) на питание в зависимости от полных еже годных расходов и некоторых других переменных на основании данных по расходам семей в Нидерландах.
Данные. Используются данные, полученные из архива журнала Jour nal of Applied Econometrics (expend.xls). Для наших целей мы взяли данные о годовых расходах на питание, отдых и другие товары за пе риод с октября 1986 г. по сентябрь 1987 г. (427 наблюдений). Список переменных содержится в таблице 6.11.
Переменная |
Таблица 6.11 |
Описание |
|
/з |
Расходы на питание одной семьи с октября 1986 г. по |
|
сентябрь 1987 г. в голландских гульденах |
v3 |
Расходы на отдых с октября 1986 г. по сентябрь 1987 г. |
totZ |
в голландских гульденах |
Полные расходы с октября 1986 г. по сентябрь 1987 г. |
|
prov |
в голландских гульденах |
Провинция |
|
reg |
Регион |
scl |
Социальный класс (1 — нижний класс, ..., 5 — верх |
|
ний класс) |
nahm |
Число членов семьи старше 11 лет |
durb |
Степень урбанизации (1 — маленькая деревня, ..., |
|
13 —большой город) |
nch06 |
Число детей младше 6 лет |
nchlll |
Число детей от 7 до 11 лет |
ncftl217 |
Число детей от 12 до 17 лет |
nc/il8 |
Число детей старше 18 лет |
6.14.1. а) Вычислите суммарные статистики всех переменных. Проверь те, имеют ли смысл ваши результаты.
б) Вычислите корреляционную матрицу переменных /3, v3, totZ и nahm. Проинтерпретируйте результат. Соответствует ли он ваг шим ожиданиям?
198 |
Гл. 6. Гетероскедастичность я корреляция по времени |
Расходы на питание. Здесь мы изучим линейную модель для объяс нения логарифма расходов на питание: I f3 = 1п(/3). Мы рассмотрим также некоторую модель для объяснения доли расходов на питание.
6.14.2. а) Проведите парную регрессию 1/3 на ItotZ = ln(ioi3). С ее по мощью постройте 95%-ный двусторонний доверительный интер вал для эластичности по доходу.
б) В регрессии и. а) не принимается во внимание размер семьи. Объ ясните, почему это может привести к смещенности оценки. Объ ясните, почему таким образом вы, возможно, переоцениваете эла стичность по доходу.
6.14.3. а) Проведите регрессию f/З на ItotZ, пакт, пскОб, пск711 и кон станту.
б) С ее помощью постройте 95%-ный двусторонний доверительный интервал для эластичности по доходу. Сравните ваш результат с результатом упражнения 6.14.2 а).
в) Проинтерпретируйте эффект включения в регрессию состава се мьи.
г) Проверьте, отличается ли влияние детей в возрасте до 6 лет от влияния детей в возрасте от 7 до 11 лет.
д) Проверьте, зависит ли каким-нибудь образом влияние наличия детей от их возраста.
6.14.4. а) Добавьте переменную ItotZs = ItotZ • ItotZ в правую часть ре грессионного уравнения упражнения 6.14.3 и проведите новую ре грессию. Является ли переменная ItotZs значимой? Что она озна чает?
б) Воспользуйтесь полученными результатами для оценивания эла стичности при различных уровнях дохода totZ.
в) Воспользуйтесь полученными результатами и/или дополнитель ными вычислениями для построения доверительного интервала для эластичности при totZ = 36000.
6.14.5. а) Постройте фиктивные переменные для каждой из 13 про винций. Проведите регрессию If3 на переменные, включенные в упражнении 6.14.2, и на двенадцать из тринадцати фиктивных переменных. Почему не следует включать все 13 фиктивных пе ременных? Проверьте (на 95%-ном доверительном уровне) сов местную значимость эффекта провинции.
б) Проведите аналогичную процедуру с заменой провинций на соци альные классы.
Упражнения |
199 |
6.14.6. а) Воспользуйтесь стратегией «от общего к частному» для по строения наиболее подходящей модели, объясняющей величину 1/3. Проинтерпретируйте ваш результат. Используйте выбранную вами модель в последующих упражнениях.
б) Оцените эластичность подоходу для различных уровней перемен ной ШЗ. Является ли еда необходимым товаром или предметом роскоши?
в) Постройте доверительный интервал для эластичности но доходу при ШЗ = 36000.
г) Постройте двусторонний 95%-ный доверительный интервал для прогнозного значения расходов на питание бездетной семьи из двух человек, принадлежащей среднему классу и проживающей в Амстердаме, если ее общие расходы составляют 50000 гульденов.
д) Нарисуйте график зависимости остатков регрессии от 1ШЗ. Ка кой вывод вы можете сделать относительно предположения о независимости ошибок и регрессора ltot3?
6.14.7. а) Постройте переменную s f 3 = 100 • /З /totZ (доля расходов на питание в общем бюджете, в %). Следуя процедуре упражне ния 6.14.6, постройте наиболее подходящую модель для объясне ния а/3.
б) Используя результаты п. а), оцените эластичность по доходу для различных значений tot3. Сравните с результатами, полученными в упражнении 6.14.6.
в) Нарисуйте график зависимости остатков регрессии от ltot3. Ка кой вывод вы можете сделать?
6.14.8. Долю расходов на питание в общем бюджете можно рассмат ривать как отрицательный показатель благосостояния: более высокое значение этой доли соответствует более низкому благосостоянию семьи. Тогда «стоимость детей» можно измерить, ответив иа следующий во прос: какой дополнительный доход требуется семье с каждым новым ребенком, чтобы остаться на том же уровне благосостояния, т. е. чтобы иметь ту же долю расходов на питание в общем бюджете?
а) Воспользуйтесь результатами, полученными в упражнении 6.14.7, чтобы оценить стоимость одного ребенка в возрасте 12 лет, беря в качестве отправной точки бездетную семью из двух человек.
б) Вычислите стоимость (первого) ребенка в каждой возрастной группе. Сравните с п. а). Проинтерпретируйте результаты.
200 |
Гл. б. Гетероскедастичность и корреляция по времени |
Расходы на питание и гетероскедастичность. В предыдущих упраж нениях мы предполагали, что ошибки гомоскедастичны. Сейчас мы по пытаемся ответить на вопрос, является ли эта гипотеза приемлемой. В тех случаях, когда ее целесообразно отвергнуть, мы будем исследовать модель с учетом гетероскедастичности.
6.14.9. В качестве отправной точки используется модель упражне ния 6.14.6.
а) Вычислите остатки е вэтой модели и постройте переменную 1п(е).
б) Проведите регрессию 1п(е) на все независимые переменные моде ли упражнения 6.14.6.
в) Проверьте совместную значимость всех переменных в б).
г) Объясните, почемуэтот тест можно рассматривать как тест на на личие экспоненциальной гетероскедастичности (о2 = ехр(ф'а)), и проинтерпретируйте результат.
6.14.10. В качестве отправной точки используется модель упражне ния 6.14.7.
а) С помощью теста Бреуша-Пагана проверьте гипотезу о гетеро скедастичности вида о = f(x 'a ) с неизвестной функцией /.
б) С помощью теста Голдфилда-Квандта проверьте гипотезу о на личии гетероскедастичности типа «о возрастает с ростом ItotZ*.
в) Проверьте гипотезу о наличии экспоненциальной гетероскеда стичности, следуя той же схеме, что и в упражнении 6.14.9.
6.14.11. В качестве отправной точки используется модель упражне ния 6.14.7, но теперь допускается наличие экспоненциальной гетеро скедастичности (<т = ехр(я'а))
а) Основываясь на результатах упражнения 6.14.10 в), выберите в качестве г подходящий подвектор вектора х.
б) Оцените а.
в) Примените метод взвешенных наименьших квадратов с весом ехр(-я'а).
г) Сравните результаты с результатами упражнения 6.14.7.
6.15. Рассматриваются следующиеданные из газеты «Из рук в руки» за период с декабря 1996 г. по сентябрь 1997 г., касающиеся стоимости од нокомнатных квартир в юго-западной части Москвы. Данные содержат ся в файле rooml.xls. В таблице 6.12 приведено описание переменных.