книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах
..pdf2.9. Аномалия Мида и ее объяснение |
111 |
Более сложную задачу решили Аскар, Ли и Какмак [2]. Они рассматривали функции ur, Pi, q> в неограниченном теле с ци линдрической и сферической полостями. Ту же задачу, но иным способом решил Шварц [45].
2.9.АНОМАЛИЯ МИДА И ЕБ ОБЪЯСНЕНИЕ Г29, 32]
Рассмотрим слой изотропного диэлектрика толщиной 2h, на краях которого (хх= ±/г) приложен электрический потен циал ±V . Задача трактуется здесь как одномерная в зави симости от переменной xi. Д ля статической задачи в нашем распоряжении находятся уравнения
(1) |
спЩ, п ~Ь ^цРь и — О» |
|
|
(2) |
и + ЬцР\, п —аРх— ф. 1 = |
О, |
|
(3) |
— э0ф, п + Pi, 1= |
0. |
|
Решим сначала |
частный случай |
системы |
уравнений при |
du = 0, Ьц = 0: |
|
|
|
(4) |
спиип = |
0, |
|
(5) |
аРх+ ф, 1= 0, |
|
|
(6) |
— э0Ф,ц + P Ui = |
0. |
|
Принимая dn = 0, Ьц = 0, мы исключили влияние градиента поляризации и получили уравнения (4), (5) классической тео рии пьезоэлектричества. В этих уравнениях функции Pi и ф связаны и перемещение ui не зависит от Pi и ф, что отвечает ранее сделанному утверждению, что, согласно классической теории пьезоэлектричества, в центрально-симметричном теле не возникает пьезоэлектрический эффект. Систему уравнений
(4) — (6) решим с учетом следующих краевых условий:
(7) ai“i = °> <P U -± * = ± ''-
Первое условие означает, что <уц = 0 на краях х\ = dhft. Крае вые условия, наложенные на функцию ф, показывают, что ф(л?1)— функция, антисимметричная относительно плоскости
A 'i=0. Из уравнений |
(5) |
и (6) |
следует, что функция |
Pi(.v*i) |
|
также нечетная. Исключение функции Pi из уравнений |
(5) и |
||||
(6) |
приводит к уравнению |
|
|
|
|
(8) |
|
|
д[Ф = |
0. |
|
Его решение имеет вид |
|
|
|
|
|
(9) |
Ф = |
Л + |
Рл:1, |
А = 0. |
|
Из краевого условия (7)2 получим B = V/h. Следовательно,
( 10) |
ф = (К /Л )а> |
112 |
Гл. 2. |
Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина |
|
Из уравнения (5) найдем |
|
||
(И) |
|
Pi = — э0т] (V/h), т1= |
1/(аэ0). |
Из уравнения |
(4) имеем ui = 0. |
|
|
Рассмотрим емкость |
|
||
(12) |
С = |
(30di<p —Р ,)*,=±л = |
1 э = э0(1+т1). |
Следовательно, емкость обратно пропорциональна толщине слоя
(13) |
С"' = (2/е)А. |
|
|
|
Таким образом, в пределах слоя |
||
|
функция |
tp(xi) |
пропорциональна |
|
переменной Ху, |
поляризация Pi |
|
|
постоянна и величина 1/С про |
||
|
порциональна толщине h. Этот |
||
|
результат |
противоречит опытам |
|
|
Мида [30]. На рис. 2 представ |
||
|
лены прямая (13) и эксперимен |
||
|
тальные данные |
Мида. Объясне |
|
|
ние этой аномалии можно найти |
в градиентной теории Миндлина. Отправным пунктом рассуждений будет при этом система уравне ний (1) —(3). Однако эта систе ма уравнений требует трех крае вых условий. Два из них — это
(М)а‘>1*-±4 ~
= {с\\д\Щ + = 0 , ф1Х1=±л= V»
Третье условие найдем из следующих соображений. Поляри зация на границах металл — диэлектрик — металл зависит от физических свойств металлического электрода и стыка ме
талл-диэлектрик. Миндлин [31] |
принял краевое условие |
|
в виде |
|
|
(15) |
Pi!*.** = - b 0ri№ ), |
0 < А < 1 . |
Здесь k = 1 отвечает классической теории (см. формулу (11)),
а &= |
0 характеризует непрерывность поляризации при пере |
|
ходе |
через плоскости х\ — ±А. Путем |
исключения соответ |
ствующих функций легко проверить, что |
|
|
(16) |
-7jr)K < P ) = |
o, |
(17) |
а, (а * - - ! . ) / > = о, |
|
2.9. Аномалия Мида |
и ее объяснение |
ИЗ |
где1 |
Р - |
> 0 |
|
|
С11 (°+ |
э0 ) |
|
есть величина с размерностью длины, характерная для рас сматриваемой задачи.
Краевое условие (14)2 показывает, что функция <p(*i) антисимметрична относительно плоскости х\ — 0; из уравнений
(1) и (2) следует, что функции Л(лг1) и и\(х\) симметричны от носительно этой плоскости. Ис пользуя теорему Боджио, пред ставим решения уравнений (16),
(17)в виде
(18)щ = Ах-f Bi ch (дгД),
(19)Р, = Л2 + В2сЪ(хА)>
(20) |
ф = |
Л3-f-В3sh (Xj//i). |
|
|
|
|
Подставляя |
решения |
(18) — (20) |
|
|
||
в систему |
уравнений |
(1) |
— (3), |
между |
постоян |
|
получим дополнительные |
соотношения |
|||||
ными: |
|
|
|
|
|
|
(21) |
А1= 0 , |
А2— э0пА3, |
В^ — 1^В2эй1— |
|
(эо^и) ■ |
|
Подставляя |
(18) и (19) в краевое условие |
(14) i, |
мы видим, |
что оно тождественно удовлетворяется. Краевые условия (14) 2 и (15) приводят к системе двух уравнений, из которых най
дем постоянные
(22) 4>=lrchr+
В3 — (1 k ) 4 V ^sh (*/,,) ц .(№ )сЬ (А//,) •
Остальные постоянные определим из соотношений (21). Обратную емкость определим по формуле
то) |
г - 1 = |
|
27 |
__ |
2 . |
l + (T|/,/A)th(A//,) |
||
V |
Ь |
(э0а,Ф - Pi)Xl„±k |
|
э0 |
п |
I + (knljh) th (h/h) ' |
||
|
п В нашем одномерном случае |
1\ |
> 0. Поскольку внутренняя энер |
|||||
гия есть положительно определенная квадратичная форма, то |
||||||||
|
|
с\\ ^ |
сп d\\ |
— C!161I ~d\\ |
> °* |
|||
|
|
0> |
||||||
Следовательно, н |
1\, |
ввиду того чго |
а > |
0, |
эо > |
0, величина положи |
||
тельная |
|
|
|
|
|
|
|
114 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
На рис. 3 представлена функция ъ/{21\С) в зависимости от h/l\ для частного случая Л = 0,1» Л = 10Произведенные вы числения с использованием экспериментальных данных Мида дают совпадение градиентной теории с опытами.
На рис. 4 показано поведение функций <р и Р\ в области диэлектрического слоя. Очевидно, что абсолютное значение
Рис. 4.
функции Р 1 ненамного меньше значения, найденного по клас сической теории, т. е. значения ЭоцУ/h, но в окрестности сте нок xi — dzh оно быстро изменяется до значения fi3Qr\V/h.
Функция <р принимает несколько меньшее значение, нежели по классической теории для \xi\<.h, и значение dzV для
Х\ = dh h .
2.10. ТЕРМОУПРУГОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Задачи термоупругости диэлектриков обсуждались в ра боте Чоудхари и Глокнера [12]. Приведем модифицированный способ постановки этой задачи, используя выражение для свободной энергии. Пусть тело испытывает деформацию под влиянием внешних нагрузок, электрического поля и теплового нагрева. Будем учитывать не только электрический потенциал и поляризацию, но и градиент поляризации.
Применим к области тела В, ограниченного поверхностью дВ, принцип сохранения энергии. Имеем
(1) j f \ ( K - \ - V ) d v = \ j Xivl d v + |
J piVi da — J |
+ |
||
В |
В |
дВ |
дВ |
|
|
-Ь ^ EiPidv -j- |
^ EijPjtii da -j- |
^ т|ф daf |
|
|
В |
|
дВ |
дВ |
Л = W . t + Pt)nt-
2.10. Термоупругость диэлектриков |
115 |
Здесь K = l/2pViVi — кинетическая энергия, |
[/ — внутренняя |
энергия. Оба вида энергии отнесены к единице объема. Интег рал
(2) SB — J XiVi dv + J piVt da
взв
представляют мощность механических сил: массовых и кон тактных. Здесь
(3 ) |
p i = о ц Щ |
— контактная сила, отнесенная к единице поверхности, п — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела В. Интеграл
(4) |
— $ qini da = - |
\q i,t dv |
|
дВ |
В |
представляет прирост тепла во времени, вызванный притоком тепла через поверхность дВ. Наконец,
(5) |
J E°iPi dv -f |
J EijPjtii da + |
J щ (—э0Ф.i + Pt)da |
|
В |
дВ |
дВ |
есть мощность электрических сил. Здесь использовались крае вые условия (12) и (13) из § 2.2.
Преобразуем уравнение баланса энергии (1), заменяя по верхностные интегралы с помощью преобразования Гаусса. Заметив, что
J |
PiVt d a = |
J сТцпр1 da = |
J (ог^Ы / dv, |
|
дВ |
|
дВ |
В |
|
|
$ |
qtnt da = jj qit { dv, |
|
|
|
дВ |
в |
|
|
|
5 EijPjtii da — ^ (EtjPj), i dv, |
|
||
|
дВ |
в |
|
|
^ т]ф da = |
J [(— э0Ф, t + Pi) Ф. i + (— э0ф. a + |
Pi, <) Ф. t] dv, |
||
дВ |
в |
|
|
|
приведем уравнение баланса энергии (1) к виду |
||||
(6) \ u dv = |
[ [(ff/f, j + |
%i — P^*) vi "b |
dv |
^ Яи i dv + |
в |
в |
|
|
в |
|
+ \[{E°l + |
Eti,i)Pj + EilPl,t]dv + |
|
|
|
В |
|
|
|
+ \ [(-ЭоФ. i + Pi) Ф. i + ( - эоф. « + Pi. I) Ф. I] dv.
116 |
Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина |
|
Примем во внимание уравнение движения и уравнение |
электромагнитного поля |
|
(7) |
Oji']-{-Xi — рй{, |
(8) |
— э0ф, и + Pui = О, |
а также уравнение баланса межмолекулярных сил |
|
(9) |
Я/м + Е ? - ф ., + £? = 0. |
Использование этих равенств значительно упрощает уравне
ние |
(7). Получаем |
|
|
(10) |
5 0 dv = |
$ (a„vh |
Efp, + E„P,. <+ <p. ,P, + |
|
В |
в |
|
+ Ф.!pi “ эоФ.*Ф.t) dv.
Теперь учтем вид внутренней энергии. Заметив, что
|
a]ivi- i = |
а Ц(®г/ “Ь |
= °ч/®г/> |
|
и вводя |
несимметричный тензор я,-/ = |
Pj,«, приведем уравне |
||
ние баланса энергии (10) |
к виду |
|
||
(11) |
J ULd v = |
J {рцкц —Pi, i — EfPi + Eijiiij) dv. |
||
|
в |
в |
|
|
Это уравнение должно удовлетворяться для произвольной области В. Если подынтегральное выражение в (11) непре рывно, то соотношение
(12)UL= ацгц - qt. t - EtPt +• Ецйц
выполняется локально.
Перейдем к глобальному уравнению баланса энтропии
(13) |
J |
da + J 0 d v . |
в |
зв |
в |
Здесь S — энтропия, |
отнесенная |
к единице объема. Левая |
часть равенства (13) представляет приращение энтропии во времени; первый член в правой части этого равенства — при ращение энтропии, возникающее при обмене тепла с окру жающей средой; второй член — производство энтропии, вы званное теплопроводностью. Уравнение баланса энтропии
(13)можно представить также в виде
4 t(s+(^-) -®)do=0.
В
Это |
выражение справедливо для произвольной области В. |
||||
Следовательно, имеет |
место |
локальное |
соотношение |
||
(15) |
5 = |
0 |
Я1,1 . |
<hT, I |
• |
j • I |
j*2 |
2.10. Термоупругость диэлектриков |
117 |
Свяжем между собой уравнения (12) и (15), исключив из них величину —qit i. Вводя свободную энергию F = U — ST, полу чим
(16)F = a , - S T - B i P , + E „ K ,I — T ( в +
Рассмотрим свободную энергию F как функцию независимых переменных е,7, Т, Pi, л,/. Тогда
(17) |
F = |
дР • |
I ^ ф I |
dF |
Pt + |
дР |
Лц. |
||
д вИ еЧ |
~дТ ^ |
дР |
|
дл |
И |
||||
|
|
|
|
|
I |
|
|
Предположим, что функции ац, 0, Ef , Ец не зависят явным образом от производных по времени функций ег/, Т, Pi, яц. Определяя энтропию как 5 = —dF/dT, получим из прирав нивания уравнений (16) и (17) следующие определяющие соотношения:
(18) or,. |
де, ’ 5 == — ddFf |
Е\ = |
|
|
0 = |
Я?. |
> 0 . |
|
J2 |
дР |
дР |
дР, |
Ец = дл ц ' |
В термоупругости диэлектриков мы имеем дело с необрати мым процессом. Второй принцип термодинамики будет вы полнен, если
(19) |
0 > О , - — ^ > 0 . |
Последнее неравенство выполняется в силу закона теплопро водности Фурье
(20) |
Qt — ki]T,i |
или |
|
(20') |
—Qt = k{]0, /, |
где Г = Го + 0. Здесь Т0— температура естественного состоя ния, 6 — приращение температуры. Из уравнений (15), (18) и (20) следует, что
(21) |
T S ^ k ifr tj. |
Поскольку источник энтропии 0 — величина неотрицательная, то квадратичная форма положительно определена. Следова тельно, величины kif должны удовлетворять следующим не
равенствам:
f y / ^ 0 > |
kft\fkjj |
> 0, |
j, k = \ , 2, 3. |
Разложим свободную энергию Г(в//, Pi, пц, Т) в окрестно сти естественного состояния Г(0, 0, Ь%, Го) в ряд Тейлора,
118 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
отбрасывая величины выше второго порядка. Для анизотроп ного тела это разложение имеет вид
(22) |
F = |
b]jP}, i + 420,ijPiP} + '/гbijkiPj, iPi, k + ЧлСцм&цВщ + |
+ |
icJTo) ^ 4" diikiPj, fiki 4~ fijkPfijk 4~ UikPiPk, / — Yi/8//9 — |
|
|
|
PiPfi f)i]P/, ^0. |
Используя |
уравнения (18), получим с учетом соотношений |
(27)— (28) следующие определяющие соотношения:
(23)ai} — cijkl&ki + fkijPk 4~ dkiijPi. к ~~ Vtfl*
(24) |
— Ef = |
fjki&ki + |
ajkPk + |
jjkiPi, k — Pfl* |
(25) |
Ец = |
d iJkieki + |
jkijPk + |
bijkiPi, k ~~ 'П*/® + &?/» |
(26) |
S = Yi f i i j 4* P i P i + “Пi j P j . i 4" (Сг / Р о)0* |
Благодаря симметрии тензоров ац и в,/, получаем следующие соотношения:
(27) |
Сцм = |
Сцк1= |
Cijikt |
fki.i~fkii> |
dkiij — dkiji, |
Y// = |
Y/f- |
|||||||
Поскольку dE — полный дифференциал, |
то |
справедливы |
за |
|||||||||||
висимости |
d 2F |
|
|
d 2F |
|
|
|
|
d o k i |
|
|
|||
(28) |
|
|
|
|
или |
д а и |
__ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dBiid 4 i |
|
|
|
|
d*ki |
|
д * ц ’ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(29) |
|
d 2F |
|
d 2F |
|
д Е ^ __ d E f |
|
|
||||||
|
d P i d P j |
""" d P j d P i |
или |
d P j |
|
д Р Г |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(30) |
d 2F |
|
|
d 2F |
|
|
д Е ц |
|
а в н |
|
|
|||
d P j , |
id P i, k "~ |
d P i t k d P f t 1 |
nJm |
d P i , k |
|
d p f, i |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
(31) |
|
d 2F |
|
|
d 2F |
|
и П1Т - |
d S |
dOfj |
|
|
|||
ОТ д в ц |
|
' |
д ъ ц d T |
tlJin |
д г 1} |
’ d T • |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
d 2F |
|
|
d 2F |
|
d S |
d E f |
|
|
|
|||
(32) |
|
|
|
" |
d P i d T |
Vf пи |
|
|
d T |
• |
|
|
||
|
d T d P i |
|
d P i |
|
|
|
||||||||
(33) |
|
d 2F |
|
|
d 2F |
или |
|
d S |
_ |
d E lf |
|
|
||
d T d P p i Ж' |
d P j , 1 |
d T |
9 P 1,1 |
|
d T |
• |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(34) |
|
d2F |
|
|
d 2F |
|
|
d o , , |
__ |
|
9 E Lt |
|
|
|
d&t] d P k |
|
' |
д Р к д ъ ц |
или |
|
|
|
d * t f |
‘ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(35) |
d 2F |
|
|
d 2F |
- |
И TTLT |
d o if |
|
d E kl |
|
|
|||
d p i, |
ft d e ij |
|
~ д ъ ц d P lt k |
|
ИЛИ |
d P l , b |
|
* • 1/ ’ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(36) |
* |
|
|
d2F |
|
|
|
|
d E lt |
__ |
9 E ki |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
WAI |
R> |
11 |
' |
' |
|
или |
|
|
|
a r\ |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из соотношений (28)— (^0) получим |
^tlkl = |
bktip |
|
|
||||||||||
(37) |
|
с{ikt — cbtlP |
aii |
|
аР’ |
|
|
2.10. Термоупругость диэлектриков |
119 |
Остальные соотношения (31) — (36) удовлетворяются тожде ственно. Подстановка определяющих соотношений (23) — (26) в систему дифференциальных уравнений
(38) |
a/i. / "b Xi — ptii — 0, |
|
(39) |
£l;,l + £,l -< p ./ + £? = |
0, |
(40) |
— Э0ф. il + Pi, i = |
0 |
приводит к системе семи уравнений, в которых в качестве неизвестных функций выступают три составляющие переме щения и, три составляющие вектора поляризации Р, элек трический потенциал ср и приращение температуры 0. Отсут ствует восьмое дифференциальное уравнение — уравнение теплопроводности. Это уравнение получим исходя из равен ства (21). Подставляя в это уравнение 5 из определяющего соотношения (26), найдем
(41) |
Иф, II = Т {уфц + PiPi + ч\цЩ! + (CJTQ)0). |
Это — нелинейное уравнение. Введем ограничение | ©/Fo | <d 1 для приращения температуры. В таком случае имеем
|
Г = Го(1 + е/Г0) Го- |
Подставляя это соотношение в (41), получим |
|
(42) |
И ф , ц — се0 — To(yi]Bij + p tP i + л//Л*у) = 0. |
Если учесть действие источника тепла, то уравнение (42) примет вид
(43)Т0 1(£*Д ц — се0) — (уifin + PiPi + "Hi/ftf/)= ” WTo1.
Через W обозначена интенсивность источника тепла, отнесен ного к единице объема и единице времени. Заметим, что в уравнениях (38) и (39) появляются градиенты темпера туры, а в уравнении теплопроводности (43)— производные по времени деформации, поляризации и градиента поляри зации.
Значительное упрощение дифференциальных уравнений, описывающих термоупругое поведение диэлектриков, полу чается для изотропных тел. В этом частном случае имеем
ftfk — Q* |
hik — Qt Ьц — ЬоЬц, |
ац — аЬц, |
Vif~\btl> |
411 = ^11, pi = 0, |
kii — кЬф |
(44)biiki — b\2bifiki + ^44{bik&ii + fy/6/jfe) + b71 (Ь1кЬц — bubjit),
Ctjkl — ^12blfikl + C44{btkbjl + Ьф]к)>
dijki — difiifibi + {bikbp +
120 Гл. 2. Теория пьезоэлектричества Тупина и Миндлина
Подставляя эти соотношения в определяющие соотношения
(23) — (26), получим |
|
|
|
(45) |
a if = cnbifikk + |
2^446^ + |
d\2Pk,Фц + |
(46) |
— Ei — aP{, |
|
+ ^44 (РI. i *4* Pi, j) — Yfy/0, |
|
|
||
(47) |
Eif = dl2bijekk+ |
2dAieij + |
bi2bi}Pkt k + b44 {P}t {+ PitJ) + |
+b°bij + b77(Pi, i — Pi, f) — r\bijQ,
(48)S = yekk + r\Pkt k+ (cJT0)0.
Подставляя определяющие соотношения (45) — (48) в урав нения (38) — (40) и (43), находим
(49) |
C44V2U + |
(с12+ |
С44) grad div u + d44V2P + |
|
|
|
|
|
+ [dl2+ d44) grad div P + X = |
pii + у grad 0, |
|
(50) |
rf44V2u + |
{dl2+ |
d44) grad div u + {b44+ b17)V2P + |
||
+ |
{b\2 + ^44— b77) grad div P — aP — grad <p + |
E° = TJ grad 0, |
|||
(61) |
|
|
- |
30V2q> + divP = 0, |
|
(52) |
6v29 - CgQ- |
(Y div ii + ц div P) TQ= - |
W. |
Эти уравнения связаны. К значительному упрощению прихо
дим, если опустить член Y div и + div Р в уравнении тепло проводности. Такое упрощение делается в инженерной тео рии температурных напряжений. В таком случае уравнение теплопроводности становится не зависящим от остальных уравнений.
Теорему взаимности работ для динамических задач тер моупругости диэлектриков получили Дж. Новацкий и Глокнер [39]. Они нашли также функцию Грина в упругом про странстве для причин, изменяющихся во времени по гармо ническому закону. Нелинейная теория термоупругих диэлек триков разработана Чоудхури, Эпштейном и Глокнером [11].
Переходим к стационарной температурной задаче. В этом случае получается система дифференциальных уравнений
(при X = 0, Е° = 0) |
|
|
|
(53) |
C44V2u + (с12 + |
С44) grad div u + d44V2P + |
|
|
|
+ (di2+ ^44) grad div P = |
Y grad 0, |
(54) |
d4iV2u -f (dl2+ |
d44) grad div u + {b44+ b77) V2P + |
|
(55) |
+ (612+ b44— b77) grad div P — aP — grad <p = |
T) grad 0, |
|
|
— 30V2<p -f div P = 0, |
|
|
|
|
/zv2fl = — W. |
|