книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfУравнения (б.Зб)-(б.ЗЭ) совпадают формально с соответствующи ми уравнениями при изотермическом деформировании (6.3), (6.7), (6.4) и (6.5). Разница между ними заключается лишь в том, что в уравнениях (6.36)-(6.39) «силовые» входные данные помечены звездочкой, причем
р1? = рД - |
(6.40) |
= у . + а-’ )д-;*{а0}п*|29, |
(6.41) |
5?° = 5? + * 0 {а*}п ,Ы а. |
(6.42) |
Заметим, что если изотропная среда является несжимаемой, то мы получаем вместо уравнений (б.ЗО)-(б.ЗЗ) следующие:
ри- |
= рЕ{ + «о,; {«, Т } - р,., |
(6.43) |
*» « {« .Т ) ~ Р,* + рРг = 0, |
(6.44) |
|
[аО?Ч *{«> т) пь + |
*) + а(Ур(х, 1)п, |2, , |
(6.45) |
«(1=! = «®0М); |
«ч {« ,Г } вуЫ» = $?(*>*) + р (5,<)«.-|е», |
(6.46) |
|
«М = 0, |
(6.47) |
где добавляется лишняя неизвестная функция р(х, <) и одно кине матическое уравнение (6.47).
§ 7. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ М ДТТ |
|
Рассмотрим статическую (квазистатичекую) задачу |
М ДТТ, |
т.е. уравнения равновесия (6.7) |
|
*<ы {2} + РЯ = 0 |
(7.1) |
и граничные условия частного вида.(6.5) |
|
= 0, ^ {3 }п ,| 2г = 5?(2,*). |
(7-2) |
Как следует из замечания, сделанного в конце предыдущего па раграфа, к задаче (7.1), (7.2) иногда сводится и соответствующая несвязанная задача термомеханики.
Помножим уравнение (7.1) на некий вектор »<(*), удовлетворя ющий нулевым кинематическим граничным условиям (7.2), и про интегрируем по объему V. Применив формулу ОстроградскогоГаусса и воспользовавшись условиями (7.2), получим
I *ц{Ъ}ец(г>)<1У = I рР<щАУ + { 5?ы <П1. |
(7.3) |
V V
Очевидно, правая часть (7.3) представляет собой работу внешних сил на перемещении V,- (§ 2):
А (е\ ь ) = У РР т (IV + У 5>,- оЕ. |
(7.4) |
ке2
Предположим, что оператор ^ является потенциальным (3.22):
? = ^{е} = -^-. |
(7.5) |
Здесь РУ{е} называется потенциалом деформации. Воспользуем ся определением дифференциала оператора Т и функциональной производной (3.13). Тогда
{е,,(2), «г,у(«?)> = 0 №{м,»} = ^{м}б,Д«). |
(7.6) |
Определим оператор потенциальной энергии деформации ф по формуле
ф = У № {е}(1 У . |
(7.7) |
Тогда, очевидно, соотношение (7.3) можно записать в следую щем виде:
О ф {й ,Щ - А (е\Ъ) = 0. |
(7.8) |
Итак, с каждой задачей (7.1), (7.2) связаны равенства (7.3) или (7.8) для произвольного дифференцируемого векторного поля 15(5), удовлетворяющего условию
Щ Ы .= 0. |
(7.9) |
Заметим, что в уравнения (7.1) входят вторые производные по ко ординатам вектора и, поэтому решение задачи (7.1), (7.2), должно быть по крайней мере дважды дифференцируемым.
Можно отказаться от этого требования и понимать решение задачи (7.1), (7.2) в обобщенном смысле. А именно, назовем й обобщенным решением задачи (7.1), (7.2), если для всякого диф ференцируемого вектора Й(5), удовлетворяющего условию (7.9), справедливо тождество (7.3) или (7.8). От входных данных тре буется лишь условие существования интегралов в правой части
(7.3). Заметим, что обобщенное решение будет классическим, если оно является дважды непрерывно дифференцируемым.
Упражнение 7.1. Доказать, что если оператор IV является квадратичным (3.16), то справедливо соотношение
^ «Гусу ЛУ = 2ф. |
(7.10) |
Упражнение 7.2. Доказать, что если оператор V/ является однородным т-й степени, то справедливо соотношение
|
^ (Гу еу йУ = тф. |
(7.11) |
|
Упражнение 7.3. С помощью представления функции |
|
||
|
/(О = ф{щ + *(й 2 - й 1)}, |
(7.12) |
|
дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке 0 ^ |
^ 1 и |
||
допускающей на этом отрезке представление |
|
||
/(1) = /(0) + /'(0) + |г(ч); 0 < п < 1 , |
(7.13) |
||
доказать тождество |
|
|
|
ф{и2) = 0{«1} + ^ *у {«1}[еу(32) - Су(«х)] йУ+ |
|
||
|
V |
|
|
+ 2 / |
+ |
~ Й1М е*'(32) " |
|
|
х [еу(«2)- |
*у(«1)]<*У- |
(7.14) |
Упражнение 7.4. С помощью той же функции (7.12) доказать тождество
Ф{«2} =^{«1} + Л(е)(«2 - «1)+
+ 2 ! [ & ^ 31 + - “1)}(е«(«г) - еы(“1))| х
х (%•(«2) - еу(«х)] ЛУ. |
(7.15) |
Упражнение 7.5. Показать, что в случае потенциального опе ратора Т работа внутренних сил выражается формулой
А ® |
(7.16) |
причем изменение работы внутренних сил (2.17) является полным дифференциалом от выражения (716).
Упражнение 7.6. Показать, что в случае потенциального опе ратора Т и потенциальности массовых и поверхностных сил (2.2 1) и (2 .22) из теоремы живых сил (2.18)
АЕ = АА<•> + АА& |
(7.17) |
следует, что |
|
С = Е - Л(е) + <р = сопв!. ■ |
(7.18) |
Оператор С называется лагранжианом системы, а системы, для которых он имеет постоянное значение, — консервативными.
Умножим уравнения движения сплошной среды (2.9) на не который произвольный вектор проинтегрируем результат по объему V и применим теорему Остроградского-Гаусса. Тогда мы получим следующее тождество:
у |
рщу(АУ = у |
р Е м АУ + у |
АЕ + I <ГцП]Ьг АЕ — ^ <г^ец АУ. |
|
V |
V |
Е! |
Е* |
V |
(7.19) Это тождество справедливо для любой сплошной среды, так как мы не пользовались определяющими соотношениями.
Положим теперь в этом тождестве » = й и воспользуемся граничными условиями (6.5):
[ ри-щ А У = у |
РР{щ АУ + у |
3 ? щ А Е + [ |
пу«® АЕ — ^ |
АУ. |
|
V |
V |
Е2 |
Е , |
V |
|
(7.20) Предположим теперь, что массовые и поверхностные силы, фигу рирующие в (2.9) и (6.5), а следовательно и в (7.20), обладают потенциалом (или просто не зависят от перемещений). Тогда первые два слагаемых правой части (7.20) представляют собой работу внешних сил (7.4) на перемещениях щ . Третье слагаемое называется работой внутренних сил на заданном перемещении и®:
Е !
Интеграл в левой части (7.20) представляет |
собой работу сил |
Д ’Аламбера, или инерционных сил: |
|
А е = ^ ри-щЗУ. |
(7.22) |
V |
|
Упражнение 7.7. Показать, что изменение сил Д ’Аламбера совпадает с изменением кинетической энергии (2.14):
<1Ае = <1Е = ^ ри{ Зщ ЗУ. ■ |
(7.23) |
V
Если оператор Т является потенциальным, причем 1Й{е} ■— одно родный оператор степени т, то из (7.20) следует так называемая теорема о работе:
Ае — А ^ - тф + Ае , • |
(7 24) |
Если силы инерции отсутствуют, кинематические граничные ус ловия нулевые и оператор Й^{е} квадратичный, то из (7.24) сле дует теорема Клапейрона
А ^ = 2ф. |
|
(7.25) |
Рассмотрим теперь статическую (квазистатическую) задачу |
||
М ДТТ. Пусть заданы уравнения равновесия |
|
|
+ РР* = |
°. |
(7.26) |
соотношения Коши |
|
|
1, |
|
(7.27) |
е»3 — 2 |
|
|
и определяющие соотношения |
|
|
дШ {е} |
(7.28) |
|
<т1; — (?) — |
д а . |
|
Пусть, кроме того, заданы граничные условия |
|
|
и* 12,= и?, |
|
(7.297) |
п3 Ы2= 5?- |
(7.29") |
Нетрудно видеть, что соотношения (7.26)-(7.29) описывают поста новку статической (квазистатической) задачи в перемещениях.
Кинематической системой назовем произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле 5(2), а статической системой — произвольное тензорное поле <т(х) (необязательно удовлетворяю щее условиям совместности). Кинематически допустимой называ ется кинематическая система, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям (7-29/). Статически допустимой называется статическая система, удовлетворяющая уравнениям равновесия (7.26) и статическим граничным условиям (7.29п ). Действитель ной кинематической системой 5(2) И действительной статической системой <т(х) называются соответственно вектор перемещения и тензор напряжения, удовлетворяющие всем соотношениям (7.26)- (7.29).
Построим теперь лагранжиан для задачи (7.26)-(7.29):
С = ф -А ^ \ |
(7.30) |
где слагаемые в правой части определяются |
формулами (7.7) |
и (7.4) |
|
Вариационный принцип Лагранжа (теорема Лагранжа) заклю чается в следующем.Из всех кинематически допустимых систем действительная система отличается тем, что для нее и только для
нее лагранжиан (7.30) имеет стационарное значение, т.е. |
|
0<С{5,«5} = 0, |
(7.31) |
или, если использовать определение дифференциала оператора
(3.13) и соотношение |
(7.28), |
|
|
/ |
а / = / рРгбщ (IV + ^ 5?6щ <Е, |
(7.32) |
|
V |
V |
Е , |
|
где считается справедливым (7.27): |
|
|
|
Ь*И = |[(*«.Ъ + ( Ч |
).«]• |
(7-33) |
Под 6щ манено понимать разность между двумя кинематически допустимыми системами.
Необходимость требования (7.31) вытекает сразу же из тож дества (7.19), в котором следует положить
Чтобы доказать достаточность, подставим (7.33) в (7.32), восполь зуемся теоремой Остроградского-Гаусса и учтем, что
|
$и,-Ь,= 0. |
|
(7.35) |
Тогда получим |
|
|
|
У К |
, ; + РЪ)6щ Ы = 1 |
- 5?)М <ЙЗ, |
(7.36) |
и |
е 2 |
|
|
откуда в силу произвольности 6щ следует (7.26) и (7.29/7).
Итак, при формулировке вариационного принципа Лагранжа (7.30), (7.31) мы требуем выполнения соотношений Коши (7.27) и кинематических граничных условий (7.29/), а из условий стацио нарности (7.31) следуют уравнения равновесия (7.26) и статичес кие граничные условия (7.29//).
Введем теперь понятие преобразования Лежандра для опера торов. Прежде всего напомним, что дифференцируемой функции
/(х): |
|
# = ХЛх, X = $ - , |
(7.37) |
ах |
|
обычное преобразование Лежандра ставит в соответствие функ цию Р{Х ), такую, что
АР = хАХ. |
(7.38) |
При этом выполняется тождество |
|
/ + Р —хХ = сопз!. |
(7.39) |
Обобщение преобразования Лежандра на операторы заключает ся в замене обычной производной функциональной производной. Пусть задан скалярный оператор Ж {е}:
7}Ж{е,йе} = (Гцбеу, |
аж |
(7.40) |
Ставим в соответствие оператору Ж, т.е. потенциалу деформа ции, оператор й>{<т), который назовем потенциалом напряжений, причем
Ш + й — <гцец = сопз!. |
(7-42) |
Заметим, что если й>(0) = 0 и Й^(0) = 0, то константа в правой части (7.42) равна нулю. Итак, операторное преобразование Ле жандра ставит в соответствие потенциалу деформации потенциал напряжения. Можно ввести и оператор потенциальной энергии напряжения Ф аналогично введенному оператору потенциальной энергии деформации (7.7):
Ф = ^ й (IV, |
Г)ф{<г,&г} = ^ |
(IV. |
(7-43) |
V |
V |
|
|
Заметим, что последнее выражение (7.41) предполагает потенци альность оператора О (4.60):
= |
(7-44) |
и, кроме того, разрешимость уравнений (7.28) в виде (7.44). Таким образом, мы можем сформулировать статическую (квазистатическую) задачу в МД Т Т В напряжениях. Она заключается в решении уравнений равновесия (7.26) и уравнений совместности, которые можно благодаря определяющим соотношениям (7.44) записать в напряжениях:
^Ш^тпЁ4п,1т{^} = 0 |
(7.45) |
при удовлетворении граничным условиям (7.29).
Итак, задача в перемещениях записывается соотношениями
(7.26) |
, (7.27), (7.28), (7.29), а задача в напряжениях соотношениями |
|
(7.26) |
, (7.45), (7.44), (7.29). |
|
Построим теперь для задачи (7.26)-(7.29) так называемый кас- |
||
тильяниан |
|
|
|
К = - Ф + А х,, |
(7.46) |
где слагаемые правой части определяются формулами (7.43) и (7.21).
Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно) зак лючается в следующем. Из всех статически допустимых систем действительная система выделяется тем, что для нее и только для нее кастильяниан (7.46) имеет стационарное значение, т.е.
И Ц а , 6 *} = 0, |
(7.47) |
или с использованием определения дифференциала оператора (3.13) и соотношения (7.43)
^ ецбацАУ = { б а ц ^ А Л :
V 2?!
Под 6а м ож но понимать разность двух статически допустимых систем.
Необходимость требования следует из тождества (7.19), в ко тором следует положить
Р = 0, 1>г = Щ , а ц = б а ц
и учесть, что бац — разность статически допустимых систем. Чтобы показать достаточность условия (7.47), заметим, что
оно выражает условный экстремум, ибо должны удовлетворять ся еще уравнения (7.26) и граничные условия (7.29/7). Поэтому
введем систему функций х^ (ж ), 5 € V и *Р^(у), |
у € Ег (обоб |
||
щенные множители Лагранжа). Построим оператор |
|
|
|
1 = К - I |
+ рР-) А У - I хр(ацт ц - 89) |
АП. |
(7.48) |
Применяя к выражению / х ^ а ц ^ АУ формулу Остроградского-
V
Гаусса |
|
|
|
|
! |
а ау = ^ х^огцП] АП |
(7.49) |
||
|
|
Е |
|
|
получим из |
(7.48) |
|
|
|
Л /(е , бац) = I |
[-е.у + \{х(^ |
+ х#>)1 бац АУ+ |
||
|
V |
|
|
* |
+ 1 |
бац тц(«? - |
х р ) АН - ! |
бац щ (х$У) + х Р>) <ЙЗ. (7.50) |
|
21 |
|
|
|
|
Отсюда в силу произвольности бац |
получим |
(7.51)
Значит, существует единственное поле «множителей Лагранжа»
Для того чтобы Существовало непрерывное поле н (х ), как следу ет из первого соотношения (7.51) и § 1, необходимо выполнение условий совместности деформаций ( 1 .22), которые в силу опре деляющих соотношений (7.44) можно записать в напряжениях в виде (7.45). Следовательно, вектор й имеет смысл вектора пе ремещения и и второе условие (7.51) определяет кинематические граничные условия.
Итак, при формулировке вариационного принципа Кастильяно (7.46), (7.47) мы требуем выполнения уравнений равновесия (7.26), определяющих соотношений (7.44) и статических гранич ных условий (7.29//), а из условия стационарности (7.47) следуют уравнения совместности (7.45) и кинематические граничные ус ловия (7.29*).
Можно сформулировать вариационный принцип, более общий, чем принцип Лагранжа. Назовем его обобщенным принципом Рейсснера.
Запишем оператор Х\
(7.53)
где под символом а подразумевается совокупность величин и, е, <т. Обобщенный принцип Рейсснера формулируется так. И з всех кинематических, статических систем и систем, описываемых тен зором е(х ), действительная выделяется тем, что для нее оператор (7.53) имеет стационарное значение, т.е.
«ЙГ{д,«д} = 0. |
(7.54) |
В самом деле, воспользовавшись определением дифференциала оператора (3.13) и теоремой О строградского-Гаусса, получим
!» < * ,« • } = / [ ( § “ |
» « ) * « - |
V |
|
~ |
- («уд +/>7г. ж | (IV - |
— ^ («, - « ? ) п ^ 0- <п: + ^ (<Гуп, - 3°)6щ « с ,