книги / Численные методы. Ч. 3
.pdfУчитывая, что для осесимметричного напряженно-деформированного
состояния |
= 0, ст^ =0 |
пробные |
функции |
|
ф* не зависят от угла 0, |
||||||||
поверхностные нагрузки |
Fe = 0 и массовые силы |
= 0 (в этом случае второе |
|||||||||||
выражение обращается в тождество), приходим к системе уравнений |
|||||||||||||
(аЛ ^ М с ъ Х , ^ + ( а J . ^ - ] Л 1 = j [Fr9tJff4 |
|
|
|||||||||||
( 0 |
и ^ |
+ ( 0 , , ^ р |
_ |
Л Ч ^ |
Ф* ^ |
+ 1Р*’*Ф»Л1' |
k = Vn, |
||||||
|
dr |
' |
= /w |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая в матричной записи имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
<>щ |
ф, о |
|
*8. |
|
|
|
Ф, |
0 |
|
|
„ |
о |
p^;| |
dr |
г |
|
dz |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1dV=\ |
|
|
>1 |
|
|
IV, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 ф, |
||||||
о |
о |
|
|
|
|
|
rLo |
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
+ J k K p f K n , |
k = \,m |
(4.22) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’ 9ф* |
Ъ |
0 |
|
ftp* |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dr |
r |
|
dz |
|
|
|
||
|
|
|
k l = |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
дф* |
|
ftp* |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dr . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для установления кинематических соотношений, как и ранее, вектор перемещений представляется в виде
1к<р(
/-1
{«„}= т
][/,ф /
I i=
Для цилиндрической системы координат (с учетом осевой симметрии напряженно-деформированного состояния) связи компонентов тензора деформации и вектора перемещений устанавливаются формулами
(F \ = ^ k = V u ^ L |
(р ) - Ъ и = у и Ъ . |
(е ) = ^ 2 - = y v ( ^ - , |
|||||
' |
дг jr( 1 |
d r ’ |
|
Т м |
' г ’ |
' |
а)п dz t i & |
|
(у |
) =^И. + ^ 2 1 |
= У | V,.-®8L+ |
|
|
||
|
КУп>т |
dr dz |
t r v |
dr |
1 |
dz |
которые в матричной записи имеют вид
дф, |
0 |
(О. |
|
дг |
|
|
|
т |
Ъ . |
0 |
Щ |
||
(Е8э)т |
|||||
|
г |
|
|||
м |
*=1 |
0 |
3Ф/. |
= 1 М Ы |
|
(е*Х, |
У1 |
||||
.(YJm |
|
|
d z |
|
|
|
дф/ |
Зф/ |
|
||
|
|
|
|||
|
|
. д г |
дг. |
|
Последовательная подстановка (4.16) и последнего выражения в соотношение (4.22) приводит к системе алгебраических уравнений метода взвешенных невязок для осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, совпадающей по виду с выражением (4.19),
I J №I AГ |
Jk l №+ JklKKuJfoMm k = i,m . |
||
plQ |
г |
о |
о |
Подынтегральные выражения содержат интегралы по области Q, занимаемой конечным элементом. Для цилиндрических координат это соответствует
J /(r,0,z)rfO = J f(r,Q,z)rdrdQdz = 2л J f(r,Q,z)rdrdz.
о |
о |
о, |
При определении коэффициентов матрицы жесткости конечного элемента приходится вычислять значения интегралов вида
J <р.rdrdz, |
J ф.ф fdrdz, |
J |
drdz |
|
n, |
о, |
’ |
a, |
r |
и другие. Даже при аппроксимации решения линейными пробными функциями Ф,(г,г) это представляет значительные трудности.
Практика использования метода взвешенных невязок показывает, что с приемлемой точностью такого вида интегралы можно заменять выражениями
J /(г , z)rdrdz * f(r, z)f J drdz = f(r, z)rSp,
Q, |
a, |
где r, z. - координаты центра тяжести конечного элемента, Sp - как и ранее,
площадь конечного элемента. Очевидно, что точность такого приближения повышается с уменьшением размеров конечных элементов.
Решение задач упругопластичности
Рассматривается частный случай связи напряжений и деформаций в теории малых упругопластических деформаций' Г Генки, определяющей пропорциональность девиаторов тензоров напряжений и деформаций:
ev =Vsij> |
(4.23) |
eif = е» _ |
®/3, |
где с = О]j + оjj + ГТ33. С помощью соотношения (4.23) устанавливается связь интенсивности деформации е, (второго инварианта тензора деформации) с интенсивностью напряжения оу (вторым инвариантом тензора напряжений),
Принимая гипотезу единой кривой и учитывая условие пластического течения ст* = а т(е,), параметр у в соотношении (4.23) может быть определен в виде
Зе, |
Зе, |
(4.24) |
V|/ = —'- =-----7— |
||
2о, |
2аг(е|) |
|
1 А. А. Ильюшиным установлено, что закон малых упругопластических деформаций справедлив, по крайней мере, в тех случаях, когда процесс нагружения является простым. В частности, это имеет место, если внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру. В этом случае для простого нагружения достаточно, чтобы ст, и е, были связаны степенным соотношением вида а, = Ае“
Ильюшин Алексей Антонович [1911 - 31.05.1998] - выдающийся ученый-механик. В 1933 году окончил механико-математический факультет МГУ В 1937 защитил кандидатскую, а в 1938 году - докторскую диссертации. С 1938 года являлся профессором МГУ, с 1946 года до конца жизни заведовал кафедрой теории упругости Московского университета. Он был председателем совета Академии наук по проблемам прочности и пластичности, членом президиума ВАК, Национального комитета по теоретической и прикладной механике, Генеральной ассамблеи международного союза по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), руководил работой научно-исследовательских институтов.
Научная деятельность А. А. Ильюшина посвящена механике сплошных сред, теории пластичности, вязкопластичности, вязкоупругости, проблемам прочности конструкций и изделий, механике полимерных и композиционных материалов, аэродинамике сверхзвуковых скоростей, статическим и динамическим испытаниям материалов и конструкций. Он ввел понятие упругопластического процесса, постулат изотропии, принцип запаздывания. Им был предложен эффективный метод упругих решений, который в различных модификациях широко используется в практике инженерных расчетов.
Метод переменных параметров упругости
С помощью соотношения (4.23) устанавливается связь компонентов тензоров напряжений и деформаций,
|
|
\( |
Х |
0 |
+ 6 „ - = ! e „ + ^ - |
|
С(/ - |
S!J + Ь ц а ~ у e,J + |
—I e « - 8 |
|
|||
V |
|
|
3 |
у |
||
|
|
|
|
|||
С учетом зависимости между величинами ст и 0, |
|
|||||
|
|
ст = (ЗХ+ 2G)0 = ———0 , |
(4.25) |
|||
|
|
v |
^ |
l - 2 v |
|
физические уравнения теории малых упругопластических деформаций принимают форму
1 в а Е у - ( l- 2 v )
<5» - ^ E' + s ' e i F ^ > T '
Полученное выражение может быть представлено в форме, аналогичной записи закона Гука для упругого деформирования (4.15),
|
|
E’v |
vEy +5tf07 |
||
1 + v |
|
'(l + v'X l-2v*)' |
Из сопоставления двух последних выражений следует система уравнений |
||
относительно параметров £ \ v* |
|
|
f £* |
1 |
|
l + V* |
V|/’ |
|
Д У |
£ v |/-(l-2 v ) |
|
(l + v*)(l-2v*) |
3v|/(l - 2v) |
|
При решении этой системы уравнений получаем |
||
|
£ y - ( l - 2 v ) |
|
|
2£vy + ( l- 2 v ) ’ |
|
£ . |
|
3£ |
|
2 £ у + (l - 2v) |
Теперь соотношения теории малых упругопластических деформаций записаны в форме, аналогичной соотношениям теории упругости, что позволяет записать разрешающие соотношения метода взвешенных невязок в форме
Ё Д ВЛ ^ Г ^ И / } = | [ ф Д ^ К + | к М |
^ + | [ ^ ] { £ } ^ k=Tjn, (4.26) |
|
г |
О |
о |
эквивалентной выражению (4.19), полученному для случая упругого деформирования материала.
Рис. 4.7. Схема итераций метода переменных параметров упругости
Процесс решения строится в следующей последовательности:
1. |
Во всей рассматриваемой области П напряженно-деформированное |
|
состояние предполагается упругим, то есть |
||
|
ц/ = 1/2G = (l + v)/E , |
|
вследствие чего v = v, Е =Е |
Решением системы алгебраических уравнений |
|
(4.26) с граничными условиями, соответствующими поставленной задаче, |
||
определяются перемещения {ui}, |
/ = 1,т . |
|
2. |
С использованием решения {м,}, i = \,m подсчитывается интенсивность |
деформаций е,. Это, в свою очередь, позволяет с помощью диаграммы а г(в*)
определить для каждого конечного элемента величину параметра у согласно выражению (4.24) и подсчитать значения переменных параметров упругости
Е'У , то есть сформировать матрицу [D*] для каждого конечного элемента.
3.Формируется система уравнений (4.26) с вычисленными значениями матрицы \D \ и вновь определяются векторы {м,}, / = 1,/я, {sm}, {am},
подсчитываются параметры \\/ и вычисляются Е \ v \ и так далее. Итерационная процедура выполняется до тех пор, пока для двух соседних итераций s и 5+7 выполняется условие
Iа ^ - с К |
max I |
> С, |
(4.27) |
|
« а гJ-1,2,31 |
|
|
где С > 0 - заданная погрешность вычислений. Геометрическая интерпретация итераций метода переменных параметров упругости показана на рис. 4.7.
Метод дополнительных нагрузок
Вновь с использованием соотношения (4.23) связь девиаторов тензоров напряжений и деформаций представляется в виде
|
Z j [ 5 j ^ f ^ J = J k ^ K + J k M d Q + f K } { ^ + |
||||||
|
w n |
|
г, |
П |
|
О |
|
|
+ j k l M |
^ + J k ] i ^ k 2 > |
k = l,m. |
(4.28) |
|||
|
r, |
|
Q |
|
|
|
|
Итерационное решение задачи упругопластического деформирования |
|||||||
строится следующим образом: |
|
|
|
|
|
||
1 . |
Bo всей рассматриваемой области принимается |
у = 1/2G = (l + v )/£ , в |
|||||
результате |
чего ст9 = 0, |
& = О, F = 0. |
Это означает, |
что первоначально во |
|||
всей области С1 предполагается чисто упругое деформирование. Решением |
|||||||
системы |
алгебраических |
уравнений |
(4.28) |
без |
слагаемых |
||
f k l t ^ K |
J k l l p ^ W |
определяются |
перемещения |
{ur}, |
i-\,m Затем, |
||
IV |
о |
|
|
|
|
|
|
согласно формулам (4.18) и (4.16), определяются деформации {гт} и напряжения {сгт} во всех конечных элементах, аппроксимирующих исследуемую область £1
2. По известным компонентам тензора деформаций подсчитывается интенсивность деформаций е,-. Это, в свою очередь, позволяет по диаграмме а г(ех) определить величину параметра \\/ согласно выражению (4.24),
вычислить дополнительные напряжения а*, и массовые силы & для каждого
конечного элемента, дополнительные поверхностные нагрузки F* на границе Гг области.
а/
Рис. 4.8. Схема метода дополнительных нагрузок
3.Формируется система уравнений (4.28) с дополнительными слагаемыми
J k l ^ ’K ’ j k & ^ W Вновь определяется решение задачи - векторы
Г, __ о
i = \,m, {ега}, {сгт }, подсчитываются параметры у и вычисляются
ст* F*, и так далее. Итерационная процедура выполняется до тех пор,
пока, как и в предыдущем методе переменных параметров упругости, для двух соседних итераций выполняется условие (4.27).
Геометрическая интерпретация метода дополнительных нагрузок приведена на рис. 4.8.
Контрольные вопросы и задания
♦Обоснуйте принцип построения системы пробных функций для пространственных (трехмерных) задач.
♦Покажите, что система пробных функций (4.6) для пространственных задач является полной и замкнутой.
♦Воспроизведите построение разрешающих соотношений метода Галеркина для уравнений равновесия деформируемого твердого тела с использованием конечно-элементной аппроксимации.
♦Сформулируйте основные гипотезы плоско-деформированного состояния.
♦Сформулируйте основные гипотезы плоско-напряженного состояния.
♦Сформулируйте основные гипотезы осесимметричного напряженнодеформированного состояния.
♦Обоснуйте процедуру ансамблирования конечных элементов. Каким образом учитываются кинематические и силовые граничные условия при получении системы линейных алгебраических уравнений методом Галеркина?
♦Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании плоско-напряженного и плоскодеформированного состояний твердого тела.
♦Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода
Галеркина при моделировании осесимметричного |
и плоско- |
деформированного состояний твердого тела. |
|
♦Сформулируйте гипотезу единой кривой, используемую в теории малых упругопластических деформаций.
♦Сформулируйте условие пластического нагружения деформируемого материала.
♦Сформулируйте условия простого нагружения материала при упругопластическом деформировании.
♦ Обоснуйте идеюрешения упругопластических задач |
с помощью |
последовательности решений задач упругости. |
|
♦Опишите идею метода переменных параметров упругости. Приведите схему этого метода.
♦Опишите идею метода дополнительных нагрузок. Приведите схему этого метода.
|
5. |
ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ |
|
||||||||||
Пусть |
v = vxi + vyj |
+ vzk |
- |
вектор скорости частицы жидкости. Вводятся |
|||||||||
векторные |
(в |
общем |
случае) |
функции |
тока |
vj/ = ц/х/ + \\iyj |
+ \\izk и |
||||||
завихренности со = ©х/ + j + ®zk , определяемые соотношениями |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v = Vx\j>, |
|
|
|
|
(5-1) |
||
|
|
|
|
|
|
© = Vxv. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Vxvj/ = д/дх |
д/ду a / a z |
= |
f ^ |
- ^ V |
+ f ^ |
i - ^ |
i \ 7 . |
'дуу |
9Vx |
||||
|
4 x |
|
4 y |
4 z |
\ |
ду |
dz ) |
^ & |
дх j |
дх |
' Ъ , |
||
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
|
j |
к |
|
<Ч_ |
|
|
|
|
fdv^ |
|
|
Vxv |
д/дх |
|
д/ду |
d/dz |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1. dz |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ду |
& 1 |
|
дх |
<дх |
|
||
в компонентной форме соотношения (5.1) имеют вид |
|
|
|
||||||||||
|
v |
-дУ * |
dz ’ |
v = |
^ - - ^ |
’ |
у |
дуу |
дц/х |
|
|||
|
1 |
|
ду |
' |
& |
etc |
1 |
дх |
dy |
|
|||
|
оа |
dv. |
dv |
|
|
dv |
dv. |
|
|
dvy |
dvx |
|
|
|
= —i |
----£. |
|
&у~~дl~ ~ dx' |
|
dx |
dy |
|
|||||
|
|
|
dy |
& |
|
|
|
В дальнейшем рассматривается плоское (двухмерное) течение жидкости. В этом случае приведенные выражения упрощаются. Функция тока ц/ (здесь и далее индекс z опускается) связана с компонентами vx и vy вектора скорости выражениями
ду |
д\|/ |
(5.2) |
V . = |
~дх |
|
V> |
|
Функция завихренности © (вихрь скорости) определяется также одним компонентом,
(5.3)
ду
Рассматривается система уравнений Навье - Стокса в безразмерной форме [10], описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости,
dv,- + v |
dVx |
to* |
dP |
1 |
( d \ |
d \ |
(5.4) |
|
dt |
|
dx |
dy |
dx |
Re ^ dx |
dy |
|
|
dv |
|
dv |
9v„ |
|
|
/ 9 v„ |
32vv^ |
|
|
|
|
^___dP_ |
|
|
|
(5.5) |
|
—- + v_ —- + vv |
9y |
Re |
dx2 |
dy2 |
||||
dt |
x |
dx |
y dy |
|
||||
|
|
|
dv |
+ ^ = |
o |
|
|
(5.6) |
|
|
|
dx |
dy |
|
|
|
|
Здесь обозначено: x ,y - координаты произвольной точки рассматриваемой области, t - время, Р - давление, Re = LF/v - число Рейнольдса, L, V -
характерные размер области и скорость течения, v - вязкость жидкости. Для функции тока уравнение несжимаемости
dvx | fry |
д2\у |
а У _ 0 |
|
дх |
dy |
dxdy |
dydx |
выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения (5.4) по переменной у, уравнения (5.5) —по переменной х приводят к выражениям
d dv |
dvx dv |
d2vx |
dv |
9vx |
d2vx |
d2P |
|
1 f |
d3vx |
93у Л |
||||
------ - + —£-—- + vr --- - + —- —- + v |
— ~ =---------+ — |
------V + — r |
, |
|||||||||||
dt dy |
dy dx |
dydx |
dy |
dy |
y dy |
dydx |
Re^9y9x |
dy |
|
|
||||
d dv |
dvx dv |
d2v |
dv |
dv |
d2v |
д2Р |
|
1 |
f d3v |
d3v |
|
) |
||
dt dx |
dx |
dx |
|
dx |
dx |
dy |
dxdy |
dxdy |
Re ^ dx |
dxdy |
|
|
||
Вычитание первого выражения из второго приводит к соотношению |
|
|
||||||||||||
( dv, |
|
д |
|
|
+v„ |
'dvy |
dvx' |
d v f |
|
|
dvJ dv] |
& |
||
У .£ 4 |
+ v — |
|
|
|
|
+ —- |
У |
|
|
у |
||||
дх |
ду |
Хдх |
дх |
ду |
'ду кдх |
ду J |
ду[ дх |
5V |
dx |
dx |
|
ay. |
||
|
|
|
1 |
" д2 'dvy |
dvx' |
д2 'dVy |
д О |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Re |
дх2 ^дх |
д у , + ду2 к дх |
ду)_ |
|
|
|
|
С использованием уравнения несжимаемости (5.6) и определения (5.3) функции завихренности со предыдущее соотношение принимает вид дифференциального уравнения
до |
9© |
9© |
_1_ |
92© 92© |
— + v, — + |
— |
Re |
(5.7) |
|
dt |
dx |
у dy |
асг + ' ^ г |