книги / Прикладная теория систем массового обслуживания.-1
.pdfСреднее время неполной загрузки системы |
|
|
|||||
|
|
г |
1-Лп |
- = 13,5 с. |
|
|
|
|
|
^н.з “ ^п.з |
|
|
|
||
Исходные данные для курсового проектирования приведены в |
|||||||
табл. 2.1. |
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер |
|1, 1/мин |
X, 1/с |
|
п |
|
Расчетные |
|
вар. |
|
|
характеристики |
||||
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
0,5 |
110-150 |
^>Робс» ^з.к» ^ |
|||
2 |
1 |
0,6 |
120-150 |
||||
^з.к^з.к ^п.к» f |
|||||||
3 |
1 |
0,7 |
110-140 |
к 9Яз.К, Яп.З» Робе |
|||
4 |
0,8 |
0,5 |
110-140 |
Робс>^з.к» Лз.К> ^п.К |
|||
5 |
0,8 |
0,6 |
120-150 |
^З.К» |
^п.К »*11.3, f |
||
6 |
0,8 |
0,7 |
110-150 |
РобС9 *э.к, ^п.к >^ |
|||
7 |
1,2 |
0,5 |
110-150 |
^»^з.к»^п.к»*п.з |
|||
8 |
1,2 |
0,6 |
120-150 |
||||
к 9Робе» *З.К, ^П.К |
|||||||
9 |
1,2 |
0,7 |
110-140 |
*з.к, h.K,tn.K , Робе |
|||
10 |
0,7 |
0,4 |
110-150 |
Робе» |
9^9 *п.з |
||
11 |
0,7 |
0,5 |
120-150 |
^>^обс >^з.к»^ |
|||
12 |
0,7 |
0,6 |
110-140 |
||||
Робе» f >*з.к, ^п.к |
|||||||
13 |
1,3 |
0,5 |
110-150 |
*З.К, |
^п.к »Робе» f |
||
14 |
1,3 |
0,6 |
120-150 |
Робе» *з.к» ^п.к *^ |
|||
15 |
1,3 |
0,7 |
110-140 |
^ >Робе» *З.К, ^П.К |
2.2.2.Система массового обслуживания с ожиданием
иприоритетом в обслуживании
Из всех возможных СМО с приоритетом здесь будет рассмотрена только одна, самая простая, - одноканальная СМО с абсолютным приори тетом.
Рассмотрим одноканальную систему с абсолютным приоритетом, на вход которой подаются два независимых простейших потока заявок с ин тенсивностями Х\ и Х2. Заявки первого рода (интенсивность потока этих заявок равна Х\) обладают приоритетом в обслуживании. Число мест в очереди для заявок обоих видов не ограничено (/ = оо). Если канал обслу живает заявку первого потока, то интенсивность простейшего потока об
служивания равна щ. Если канал обслуживает заявку второго потока, то интенсивность простейшего потока обслуживания равна рг-
Рассмотрим различные состояния системы: х0,о - в системе нет никаких заявок;
XQJ - в системе имеется j заявок, не обладающих приоритетом (/ = = 1, 2, ...), и нет заявок, обладающих приоритетом; из этих j заявок одна обслуживается иу - 1 заявок ожидают в очереди;
Хф - в системе имеется i заявок, обладающих приоритетом (/ = = 1, 2,...), и нет заявок, не обладающих приоритетом; из этих i заявок одна обслуживается и / —1 заявок находятся в очереди;
Xij - в системе имеется i заявок, обладающих приоритетом (/ = = 1, 2, ...), иу заявок, не обладающих приоритетом (/ = 1, 2,...); из / заявок, обладающих приоритетом, одна заявка обслуживается, а остальные / - 1 ожидают в очереди; до тех пор, пока все заявки, обладающие приоритетом, не будут обслужены, заявки, не обладающие приоритетом, не обслужива ются.
Размеченный граф состояний системы показан на рис. 2.3.
Рис. 2.3. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием и приоритетом в обслуживании
Система уравнений имеет следующий вид:
d^o,o(0 = + X2 )PQ0(/) + Ц!Pl0 (0 + Ц2^0,1 (0 > dt
? M ± = - ( \ i+ \ 2+VLl)P. o(0 + M -i,o (0 + Hi^-i,o(0,
<tfo,y(0
^ |
- (kl + \ 2 + ^2)^0>y (O “,"^2^0fy -l(0 + !i 2^0,y+l(O + ^l^>l,>(OJ ./>0, |
-(Л + * 2 + (0 + M , , - i ( 0 + M - u ( 0 + И.Лч1 , / ( 0-
/> 0 , y>0.
Эту систему дифференциальных уравнений обычно интегрируют при начальных условиях
Л),о(0) = 1; Pij{0) = 0 (при i * 0 или j * 0)
(в начальный момент система свободна).
Решение системы уравнений для любого момента времени t удовле творяет условию
0000
1Е Л , j ( 0 = 1. /=0у=0
Введем обозначения: |
|
^1 |
^ 2 |
»! = — ; |
а 2 = — . |
Pi |
Р2 |
Доказано [8], что стационарный режим работы системы существует только при
a = ai + a2< 1.
Основные характеристики определяются следующим образом:
1.Среднее число заявок, обладающих приоритетом,
р_ (a i)2
11 —a,
2.Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, в
очереди
1t*l
ц, 1 - а , ■
3.Среднее время пребывания заявки, обладающей приоритетом, системе (в очереди и на обслуживании)
h =to4\ + — |
1 |
1 |
|
Hi 1-а, |
|||
Hi |
4. Среднее число заявок, не обладающих приоритетом,
г2 = <х2 |
1 + H |
l i |
1 - а |
ц, |
! - а , |
5. Среднее время нахождения в системе заявок, не обладающих при оритетом,
1
^2 —^оч2
V-2
6. Среднее время ожидания в очереди для заявок, не обладающих приоритетом,
j |
|
И2 |
<*1 - + а |
Г2 |
1 Hi |
1 ~ «I |
|
1оч2 |
л |
Ц2 |
« |
|
Л2 |
1 СХ |
Пример 2.2. Анализируется работа междугороднего переговорного пункта в небольшом городке. Пункт имеет один телефонный аппарат для переговоров. Переговоры бывают двух видов: обычные и срочные. При проведении срочного переговора обычный переговор прерывается. В сред нем за сутки поступает 180 заявок на обычные переговоры и 60 - на сроч ные. Средняя длительность переговоров обоих видов (с учетом вызова абонента в другом городе) составляет 5 мин. Определить характеристики работы переговорного пункта в стационарном режиме.
Решение. Переговорный пункт можно рассматривать как однока нальную СМО с приоритетом. Ее характеристики следующие:
х ,= 60 |
— 1/мин, А,2 — 180 |
— 1/мин, |
||
24-60 |
24 |
|
24-60 |
8 |
Hi=H2 = j |
1/мин> |
Л] |
J |
5 |
а, = — = — , |
И2 8 ' |
|||
|
|
ц, |
24 |
|
Условие наличия стационарного режима выполняется (а = (Xj + а 2 = |
|||||||
__ 5 |
5 |
5 1Ч |
|
|
|
|
|
|
24 |
8 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т _ |
(a l) 2 - 0,05, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1-а,~ |
|
|
|
|
|
|
|
/оч, =~ |
= 1,20 мин, |
|
|
||
|
|
|
ц2 |
|
а. • + а |
|
|
|
|
|
|
W = — |
|
----- = 32,9 мин, |
|
||
|
|
|
ц2 |
1 - а |
|
|
|
|
|
|
|
гг =Х.2Гоч2 =4,11. |
|
|
|
||
|
Исходные данные для курсового проектирования приведены в |
|||||||
табл. 2.2. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер |
Х\91/сут. |
\ 2, 1/сут. |
Ц| |
И2 |
|
|
Расчетные |
|
вар. |
|
1/мин |
л |
/ |
характеристики |
|||
|
|
|
||||||
1 |
|
50 |
160 |
5 |
5 |
1 |
О0 |
^2» ^оч1**042 |
2 |
|
50 |
160 |
6 |
6 |
1 |
оо |
*1» *2 |
3 |
|
50 |
160 |
5 |
6 |
1 |
00 |
П »*2 >^оч1> ^оч2 |
4 |
|
50 |
160 |
6 |
5 |
1 |
оо |
h> h> h |
5 |
|
70 |
200 |
5 |
5 |
1 |
00 |
r\i г2>?оч1» ^оч2 |
6 |
|
70 |
200 |
4 |
4 |
1 |
00 |
?2> *i> h |
7 |
|
70 |
200 |
4 |
5 |
1 |
00 |
г\>г2> ^оч1> ^оч2 |
8 |
|
70 |
200 |
5 |
4 |
1 |
00 |
П. ^2. 'i> h |
9 |
|
60 |
180 |
4 |
4 |
1 |
00 |
г\> г2> ^оч1» ^оч2 |
10 |
|
60 |
180 |
5 |
4 |
1 |
оо |
n. '2> h> h |
11 |
|
60 |
180 |
4 |
5 |
1 |
00 |
П»Г2»^оч1> ^оч2 |
12 |
|
60 |
200 |
5 |
5 |
1 |
оо |
n. ?2. 'i> h |
13 |
|
60 |
200 |
5 |
4 |
1 |
оо |
Л>**2»^оч 1>^оч2 |
14 |
|
60 |
200 |
4 |
5 |
1 |
00 |
П> ^2. 'l- '2 |
15 |
|
60 |
200 |
4 |
4 |
1 |
оо |
»^2 >^оч1»^042 |
3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПРОТИВОРАКЕТНОЙ ОБОРОНЫ КАК СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Рассмотрим работу «-канальной системы противоракетной обороны (ПРО) (рис. 3.1), на вход которой поступают ракеты противника. Ракеты, пролетающие в пределах полосы налета, могут быть обстреляны любым из п каналов данной системы ПРО.
Ширина полосы налета Ъопределяется возможностями обстрела все ми п каналами любой цели в пределах полосы налета. Предполагается, что если ракета летит выше пределов полосы налета (слева или справа), то эти ракеты не могут быть обстреляны ни одним из п каналов данной системы ПРО.
Глубина зоны обстрела а определяется рубежом перехвата (условная линия, пролетев которую ракета может быть обстреляна) и рубежом прекращения огня, которые являются одинаковыми для всех гг каналов. Если обозначить через dm&x среднюю дальность перехвата, а через dmin - среднюю дальность прекращения стрельбы, то можно записать следующее приближенное выражение для глубины зоны обстрела а:
d\rax
Рис. 3.1. л-канальная система ПРО
Необходимо отметить, что характеристики зоны обстрела а и Ъзави сят также от скорости налетающих ракет и, высоты их полета h и т.п.
При анализе системы ПРО в качестве канала обслуживания рассмат ривается канал наведения. Под каналом наведения будем понимать всю совокупность средств, обеспечивающих стрельбу по воздушной цели. На-
пример, канал наведения может состоять из радиолокационной станции наведения и одной пусковой установки. Если станция наведения обеспечи вается одновременно тремя пусковыми установками, то каналом наведения будет эта станция и три пусковых установки. Иногда несколько каналов могут обстреливать одну цель. В этом случае будем говорить о том, что в такой системе ПРО существует «взаимопомощь» между каналами.
Одной из основных характеристик системы ПРО является эффектив ная скорострельность одного канала ц. Допустим, что станция наведения обеспечивается одновременно g пусковыми установками, а каждая пуско вая установка производит в среднем р выстрелов в единицу времени. То гда эффективная скорострельность одного канала определяется так:
где р - средняя вероятность поражения цели одной выпущенной по ней ра кетой.
При рассмотрении работы системы ПРО существенным является во прос о получении информации о результатах стрельбы. Здесь возможны различные случаи.
Самым простым является случай, когда канал обстреливает цель в течение времени /об, после чего обстрел цели прекращается независимо от того, поражена цель или нет. Считая, что каждый из каналов производит пуассоновский поток эффективных (успешных) выстрелов с параметром р, можно приближенно вычислить вероятность поражения цели одним кана лом по формуле
Р, = 1 - е_м'°б |
(3.1) |
Если считать, что каждый канал производит регулярный поток вы стрелов с параметром g p , то вероятность поражения цели одним таким каналом можно приближенно вычислить по формуле
Р, = 1 - (1 - |
(3.2) |
Необходимо отметить, что формула (3.1) проще в обращении, а по точности мало уступает формуле (3.2).
Если цель обстреливают одновременно к каналов и каждый из кана лов поражает цель независимо от других, то вероятность поражения цели
3 = 1 -(1 -/> )*
В рассматриваемом случае время обстрела Т0б должно быть меньше или, по крайней мере, равно времени пребывания цели в зоне обстрела Г3. Среднее время пребывания цели в зоне обстрела
l)
где о - скорость полета ракеты при условии, что она обстреливается. Случай Гоб = Т2 характерен для системы ПРО, когда само время Т3
мало и нет возможности выяснить, поражена цель или нет за время ее об стрела, т.е. когда цель находится в зоне обстрела очень малое время.
Другой способ обстрела имеет место тогда, когда есть возможность получить и использовать информацию о поражении цели. Допустим, что время, проходящее между моментом поражения цели и моментом прекра щения огня, есть случайная величина Ги с математическим ожиданием А/[ГИ] = ги. Если за начало отсчета времени считать момент входа ракеты в зону обстрела, то при наличии свободных каналов это начало отсчета сов падает с началом обстрела цели. В общем случае время пребывания в зоне обстрела будет случайной величиной Г3 с математическим ожиданием М[Т2]=Т2. Цель будет не поражена, если время Гп, потребное для ее
поражения, будет больше времени пребывания цели в зоне обстрела Г3 (рис. 3.2,а).
Рис. 3.2. Взаимоотношение времени пребывания цели в зоне обстрела (Г3) и поражения цели (Т„)
Если Тп < Т2(рис. 3.2,6), то цель будет поражена. В этом случае время обстрела цели (или время занятости канала)
То6 = mintT; +ГИ,Г3),
так как при всех условиях обстрел ведется до тех пор, пока цель находится в зоне обстрела. Если величина Ти велика, то с большой вероятностью бу дет выполняться равенство Т0б = Г3, т.е. мы приходим к первому случаю обстрела цели, когда стрельба ведется в течение всего времени пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время Т2мало).
Таким образом, вероятность поражения цели при условии, что она обстреливается одним каналом, будет определяться как вероятность вы полнения неравенства ТП<Т3:
Р,=Р(Т„<Тг).
Имея в виду принятое допущение о пуассоновском характере систе мы, будем считать, что среднее время, затрачиваемое на поражение цели,
h= M [Tn] = -,
ц
а поток эффективных выстрелов является пуассоновским с параметром р. Далее, в силу того, что рассматриваются только пуассоновские системы, будем считать, что время пребывания ракеты в зоне обстрела Т2 подчиня ется показательному закону с параметром rj:
1 и
В этом случае
Pl = P(TB<T3) = - £ - .
p-f л
Если, кроме того, допустить приближенно, что сумма случайных ве личин Тп + Тн распределена по показательному закону с математическим ожиданием tn +/и, то время занятости канала Гоб будет также подчинено показательному закону с параметром
иф= |
ц |
(3.3) |
+ П- |
1 + ц г'и
Таким образом, поток освобождений канала ПРО, определяемый вы ражением (3.3), имеет интенсивность р*. Если время передачи информа ции /и мало, то выражение (3.3) имеет вид
Можно дать следующее объяснение формуле (3.4). Поток освобож дений канала слагается из двух потоков: потока поражающих выстрелов с параметром р и потока уходов непораженных ракет из зоны обстрела с па раметром rj. Другими словами, канал освобождается либо по причине по ражения ракеты, либо по причине выхода непораженной ракеты из зоны обстрела.
Если время передачи информации велико по сравнению со временем пребывания цели в зоне обстрела (типично для системы ПРО, у которой время Г3 мало), то
И* = Л
Наконец, при анализе работы системы ПРО необходимо знать харак теристики налета. Будем считать, что налетающие ракеты образуют пуас соновский поток с интенсивностью X, который определяется так:
где I - средний линейный интервал между ракетами.
3.1.Система противоракетной обороны с отказами
иупорядоченным обслуживанием
Упорядоченное обслуживание состоит в том, что заявки (цели) стро го распределяются по свободным каналам (нет случайного распределения заявок и нет взаимопомощи).
С точки зрения СМО рассматриваемая система представляет собой СМО с отказами в обслуживании и «нетерпеливыми» заявками, когда ка нал мгновенно освобождается либо при обслуживании заявки (поражение ракеты), либо при уходе заявки из системы (непоражение ракеты).
Рассмотрим работу л-канальной системы ПРО с ограниченным вре менем пребывания заявки в системе. Алгоритм работы системы следую щий: если к моменту поступления заявки в систему свободен хотя бы один из п каналов, то эта заявка принимается к обслуживанию только одним (любым) из свободных каналов. Если к моменту поступления заявки в сис тему все каналы заняты, то данная заявка остается необслуженной. На за нятый канал действует пуассоновский поток освобождений с интенсивно стью |х*. Эта интенсивность слагается из интенсивности потока обслуживаний одного канала р и интенсивности потока уходов заявки из-под об служивания ц:
ц* = ц + Л.