книги / Теория автоматического управления. Дискретные системы

тудной характеристики и принята равной 160 с–1, что соответствует

На рис. 7.6 показаны логарифмические амплитудные псевдочастотныехарактеристики системы и корректирующего устройства.

Рис. 7.6. Логарифмические амплитудные псевдочастотные характеристики

Построение характеристик выполнено с учетом, что в области частот от 0 до 2/T характеристики дискретной и непрерывной систем совпадают, так как частота 2/T намного больше частоты среза исходной системы.

Из построенных логарифмических частотных характеристик определяем комплексную псевдочастотную функцию корректирующего

устройства дифференцирующего типа: W (jλ)= 1+ j0,055λ . 1+ j0,00625

Для определения передаточной функции цифрового регулято-

ра сделаем замену в полученном выражении λ = 2 z −1, в резуль-

T z +1

тате чего получим

Wp (z)= 5,33z − 4,44.

131

Ниже приведен скрипт для моделирования системы с цифровым последовательным регулятором:

num1=[100];den1=[0.1 1 0]; num2=[5.33 -4.44];den2=[1 -0.111]; sys1=tf(num1,den1) sysa=c2d(sys1,0.01,'zoh') sysc=tf(num2,den2,0.01) sys=series(sysa,sysc); sysb=feedback(sys,1); [y,t]=step(sysb,0:0.01:0.2);

plot(t,y),title('переходная характеристика системы с ЦВМ') xlabel('время (с)'), ylabel('h(t)')

grid

Рис. 7.7. Переходная характеристика скорректированной системы с последовательным цифровым регулятором

На рис. 7.7 приведена переходная характеристика дискретной системы с последовательным цифровым регулятором, полученная в результате имитационного моделирования скорректированной системы.

132

7.2.3. Реализация цифровых регуляторов

Цифровые регуляторы могут быть реализованы в виде им-

причем всегда должно быть n ≥ m.

Разделим числитель и знаменатель на zn. Тогда для предельного случая n=m

Если a0=1, то из (7.14) можно получить линейный алгоритм работы цифрового управляющего устройства:

Из полученных соотношений можно установить, что цифровой регулятор оказывается физически реализуемым, если в (7.14) нет слагаемых с положительной степенью z. Наличие хотя бы одного члена в (7.14) с положительной степенью z означает «упреждение», т.е. показывает, что выходной сигнал опережает входной. В равной степени это относится и к слагаемым уравнения (7.15), т.е. значение u[k] будет определяться значениями опережающих его слагаемых u[k+1] и e[k+1].

Условием физической реализуемости цифрового регулятора, таким образом, является выполнение условия n≥m. Кроме того, при n=m знаменатель (7.14) не должен иметь сомножителя z–1 при b0 ≠ 0, т.е. должно быть также a0 ≠ 0.

133

К цифровым регуляторам предъявляются требования к точности реализации параметров при их вычислении с ограниченной разрядностью процессоров.

Для обеспечения устойчивости регуляторов должно выполняться условие расположения полюсов их передаточной функции внутри единичной окружности на комплексной плоскости.

Передаточная функция цифрового регулятора обычно реализуется в виде программы ЭВМ, реализуемых методами прямого,

последовательного и параллельного программирования.

При прямом программировании из передаточной функции (7.14) запишем уравнение в форме обратного преобразования:

решением которого будет

В общем виде уравнение (7.17) может быть представлено как разность двух групп слагаемых входного и выходного сигналов:

Для последовательного программирования передаточную функцию регулятора представляют в виде произведения простейших передаточных функций, каждая из которых реализуется простейшими программами:

k =1

где p – наибольшее из чисел n и m. Для каждой простейшей программы используется метод прямого программирования.

При параллельном программировании передаточная функция

(7.14) представляется в виде

134

k =1

где p – наибольшее из чисел n и m. Здесь также каждая из передаточных функций может быть реализована методом прямого программирования.

Пример 7.2. Пусть передаточная функция цифрового регулятора имеет вид

Регулятор является физически реализуемым (n=2, m=1 при b0 ≠ 0, a0 ≠ 0) и устойчивым (полюсы z1=0,5, z2=0,1).

1. Прямое программирование. Из передаточной функции запишем линейное уравнение регулятора:

(1−0,6z−1 + 0,05z−2 )U (z)= 5(1+ 0,25z−1 )E(z).

ВыполнимобратноеZ-преобразованиекобеимчастямуравнения: u* (t)= 5e* (t)+1,25e* (t −T )+ 0,6u* (t −T )−0,05u* (t − 2T ).

Применяя метод прямой (непосредственной) декомпозиции к предыдущему уравнению, получим систему

U (z)= (5 +1,25z−1 )X (z);

X (z)= E(z)+ 0,6z−1 X (z)−0,05z−2 X (z).

Структура решения данной системы уравнений приведена на рис. 7.8.

2. Последовательное программирование. Передаточную функ-

цию регулятора запишем в виде произведения двух функций, например, вида

135

Рис. 7.8. Прямое программирование передаточной функции

Программирование выполним, представив произведение передаточных функций системой уравнений

X (z)= (1+ 0,25z−1 )E(z)+ 0,5z−1 X (z);

U (z)= 5X (z)+ 0,1z−1U (z).

Структурная схема решения системы приведена на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Последовательное программирование передаточной функции

3. Параллельное программирование. Разложим передаточную функцию регулятора на сумму простейших:

Составим систему уравнений:

U (z) =U1 (z) −U2 (z);

U1 (z)= 9,375E(z)+ 0,5z−1U1 (z); U2 (z)= 4,375E(z)+ 0,1z−1U2 (z).

136

Структурная схема решения системы приведена на рис. 7.10.

Рис. 7.10. Параллельное программирование передаточной функции

7.2.4. Синтез аналогового регулятора в виде обратной связи

Качество дискретной системы можно улучшить введением аналогового регулятора в цепь обратной связи, как показано на рис. 7.4, в, которые имеют преимущество перед другими, что могут быть реализованы на базе RC-четырехполюсников.

Проведем синтез аналогового регулятора из условия его эквивалентности последовательно включенному цифровому регулятору (см. рис. 7.4, б), как наиболее распространенному способу коррекции систем. Считаем, что для управляемого процесса с передаточной функцией WНЧ (z) известна желаемая передаточная функция

последовательного цифрового регулятора WРП (z).

В замкнутом состоянии система с последовательным цифровым регулятором (см. рис. 7.4, б) будет иметь передаточную функцию

Передаточная функция дискретной замкнутой системы с внутренней обратной связью:

137

Умножив числитель и знаменатель выражения (7.22) на передаточную функцию последовательного цифрового регулятора WРП (z), получим условие эквивалентности систем по рис. 7.4, б, в,

обладающих одинаковыми показателями качества:

Выражения по (7.21) и (7.23) будут равны при равенстве знаменателей:

+ z −z 1WРП (z)WНЧ (z),

откуда получим условие определения аналогового регулятора в цепи обратной связи системы:

При решении задачи синтеза следует определить, какие должны быть ограничения на WРП (z), рассмотренные в подразд. 7.2.3,

чтобы WР (z) была физически реализуемой.

Пример 7.3. Требуется определить корректирующую обратную связь в дискретной системе со структурной схемой, приведенной на рис. 7.4, в, с параметрами объекта регулирования и цифрового регулятора, приведенного в примере 7.1.

138

Пусть эталонный цифровой ПИ-регулятор описывается пере-

даточной функцией: WРП (z)= 0,265z −0,085, при последователь- z

ном включении которого система имеет переходный процесс, показанный на рис. 7.11.

Рис. 7.11. Эталонный переходный процесс

Подставим передаточную функцию регулятора в уравне-

ние (7.25):

z

Дискретная система с полученным цифровым корректирующим устройством была решена моделированием программой Matlab по нижеприведенному скрипту:

num=[100];den=[0.1 1 0] sys=tf(num,den); sys1=c2d(sys,0.01,'zoh'); num1=[0.735 0.085];den1=[0.265 -0.085]; sys4=tf(num1,den1,0.01); sys5=parallel(sys1,sys4);

zero(sys5),pole(sys5)

sys6=feedback(sys5,1);

139

zero(sys6),pole(sys6)

[y,t]=step(sys6,0:0.01:0.5);

plot(t,y),title('h(t) системы с аналоговой обратной связью') xlabel('время,с'),ylabel('h(t)')

grid

Рис. 7.12. Переходный процесс системы с аналоговым регулятором

Полученный переходный процесс, как видно на рис. 7.12, обладает лучшими показателями качества, чем эталонный переходный процесс. Однако наличие близких нулей и полюсов замкнутой систе-

мы (z1,2=0,9408±j0,1323, z3=0,1099, p1,2=0,9438±j0,1185, p3=0,0044)

вызывает начальный скачок выходного сигнала до значения 0,75. Определим передаточную функцию аналогового регулятора в

форме преобразования Лапласа:

140