книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf5.3. |
РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ |
203 |
Теорема |
5.2.3. Если стационарный процесс yt |
удовлетворяет |
стохастическому разностному уравнению (1) и все характеристи ческие корни этого уравнения лежат в единичном круге, то прог
ноз |
(58) имеет |
наименьшую |
среднеквадратичную |
ошибку среди |
||
всех прогнозов, использующих |
значения y t-1, yt-2, .... |
|||||
Наилучшим прогнозом случайной величины yt, использующим |
||||||
значения yt-s- 1, |
yt-s-2, ... (s > 0 ), будет |
прогноз |
|
|||
(61) |
%{yt\ yts - u yt-s- 2, |
...} |
= aslyt- s-i |
+ ••• + a spyt-s-p. |
||
Коэффициенты |
asi = aji, |
.... asp — a & задаются |
соотношениями |
|||
(11) |
и (2 2 ). |
|
|
|
|
|
5.3.РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ
КВЕКТОРНОМУ УРАВНЕНИЮ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Для изучения стохастического разностного уравнения (1) § 5.2 его удобно записать в форме векторного уравнения первого порядка. Положим
(о |
У< = |
(2) |
|
|
|
|
|
(р строк), |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
■ |
Pi |
Рз |
Рз • • • |
Рр—1 |
Рр" |
|
|
— 1 |
0 |
0 . . |
0 |
0 |
(3) |
в = |
0 |
— 1 |
0 . . |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 . . . |
— 1 |
0 _ |
Тогда указанное стохастическое разностное уравнение можно пере писать в виде
(4) |
У/ + Ву,_, = ur |
Первое скалярное |
уравнение из (4) есть в точности уравнение |
(1) из § 5.2, а все остальные являются тождествами. Таким обра зом, скалярное стохастическое разностное уравнение порядка р оказывается частным случаем векторного стохастического разност ного уравнения первого порядка.
204 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
Рассмотрим теперь общее стохастическое разностное уравнение первого порядка относительно вектора с р компонентами:
(5) У, + Ву<_, = nt.
Здесь и, — случайный вектор с нулевым средним и ковариационной
матрицей |
8 u,u* = 2, |
причем |
8 u,us = |
0, |
t Ф s, |
а матрица В = |
|
= (р//), |
Если в (5) последовательно производить |
подстановку |
|||||
(6 ) |
|
|
ys = — Bys_i + |
us |
|
|
|
для s = |
t —1, t — 2 , |
, то в конце концов придем к представле |
|||||
нию |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
у, = 2 |
( - Б ) Ч - т . |
|
|
|
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
Пусть Я1( |
Я,а, .... кр — характеристические |
корни |
матрицы —В, |
||||
т. е. корни |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
(8 ) |
|
|
|В + |
М/ = 0. |
|
|
|
Если все эти корни различны, |
то найдется матрица С, такая, что |
||||||
(9) |
|
|
— В = СЛСГ1, |
|
|
||
где Л -- диагональная |
матрица о |
|
|
|
|||
|
|
|
( К |
0 .,,. |
0 |
|
|
(10) |
|
|
|
^ . .. |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч?
\о 6 .... к
Вэтом параграфе, а также в § 5.5 и 5.6 мы получим ряд результатов, справедливых в случае, когда все характеристические корни
х) Если существует р линейно независимых характеристических векторов, то (10) является канонической формой матрицы —В. Более общей является Жорданова каноническая форма, имеющая диагональные блоки вида
““Я |
1 |
0 ... |
0 |
0” |
0 |
Я |
1 . . . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 . . . |
Я |
1 |
_ 0 |
0 |
0 . . . |
0 |
Я_ |
в которых Я — корень характеристического уравнения (8). (См. Халмош (1958) йли Тернбулл и Эйткен (1952). Они называют такую форму классической канони ческой формой.) Каждому из линейно независимых характеристических векторов будет при этом соответствовать ровно один такой блок. (См. упр. 17 и 18.)
5.3. РЕДУКЦИЯ ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 205
матрицы В (или В) лежат в единичном круге. Так как вычисления с использованием общей жордановой канонической формы трудо емки, будем доказывать соответствующие результаты исходя из диагонального характера матрицы А. Что касается общего случая, то здесь мы предлагаем читателю обратиться к подстрочным приме
чаниям и к |
упражнениям. |
|
|
|
Из соотношения |
(9) имеем |
|
|
|
(И) |
|
(— В)т == CAtC“ 1, |
||
где ’> |
|
/%\ |
0 ... |
0 |
|
|
|||
(12) |
|
Лт = [ о |
ц ... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
о • |
о • |
|
Поэтому |
(7) можно записать в виде |
|
||
(13) |
|
со |
л ч г Ч - т . |
|
|
у, = С 2 |
|||
|
|
т=о |
|
Ряд в правой части сходится тогда и только тогда (в среднеквадра
тичном, |
см. разд. |
7.6,1), когда |
| A . J < 1 , |
i = 1, ..., р. Действи |
тельно, |
|
|
|
|
(14) |
у, - s |
( - В)тщ ,т = у |
, — с 2 |
Лтс - V x - |
|
т=»0 |
|
т= 0 |
|
|
|
=CAs+,C- 1y<-(s+i)- |
||
В предположении стационарности ковариационная матрица |
||||
(15) |
|
8yMs+i)y;_(s+1) * F |
не зависит ни от t, ни от s. Поэтому ковариационная матрица раз
ности |
(14) равна |
(16) |
CAS+1C-1F (С-1)' Л’+1С. |
Поскольку каждый элемент матрицы (16) является линейной комби нацией элементов (%i‘Kj)s+l, он будет сходиться к нулю при s -> оо,
только |
когда |
каждое | |
| <; |
1 2>. |
(Для |
того чтобы было |
верно и |
|||||||
*) В |
случае |
когда |
матрица Л имеет обш ую ж орданову каноническую ф орм у, |
|||||||||||
диагональны й |
блок |
разм ера т X т матрицы Л т , |
соответствую щ ий |
характеристи |
||||||||||
ческому |
корню |
|
ki, |
будет иметь следую щ ий |
вид. |
Все его элем енты , |
располож ен |
|||||||
ные на |
/ |
мест |
|
выше главной |
диагонали, |
равны |
(у) |
/ = |
0 , 1, |
. . . |
, т — 1. |
|||
Элементы |
ж е, |
располож ен ны е |
под |
главной диагональю , равны |
нулю . (См. упр. |
|||||||||
17.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) В |
случае |
общ ей |
ж ордановой |
канонической формы |
(kikj)s^ 1 зам еняю тся |
|||||||||
полиномами от |
|
s (степени не выш е чем 2р— 2), ум нож енны м и на |
|
1k дН - 1 - *. |
206 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
|
обратное, т. е. чтобы условие /Я^ | < 1, i = 1 |
было |
также |
и необходимым для сходимости ряда в (13), требуется невырожден ность ковариационной матрицы вектора уг )
Обратимся снова к соотношению (4), представляющему собой векторную форму записи скалярного уравнения порядка р. Пока жем, что корни характеристического уравнения (23) из § 5.2. сов
падают с корнями уравнения |
|
|
|
|
|||
(17) |
|
|
|В + |
М| = 0 . |
|
|
|
Определитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi + ^ |
Рз |
Рз • • • |
рр-1 |
Рр |
|
|
|
— 1 |
X |
0 ... |
0 |
0 |
(18) |
|В + |
М| = |
0 |
— 1 |
X ... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
% |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
— 1 |
X |
легко вычислить последовательно, прибавляя к каждому (/ + 1)-му столбцу i-й столбец, предварительно умноженный на Я, i =* 1, ...
При этом получим
(19)
Pi + Я Р2 + |
РхЯ + Я2 . . . РР + Ярр—1 + • • • |
+ |
!рх + |
Яр |
— 1 |
0 |
|
|
|
0 |
— 1 |
|
|
|
0 |
6 |
|
|
|
|
— Рр + ярр—1 + |
• • • |
+ Яр |
*Pi + Яр, |
а это и есть характеристический полином из (23) § 5.2. Поскольку предполагается, что все корни этого полинома лежат в единичном круге, то таковыми же будут и характеристические корни матрицы
—В. Отсюда вытекает, что сумма
(2 0 ) |
у, = | ] ( — В )Ч -* |
|
т=0 |
является определенной (т. е. ряд (2 0 ) сходится в среднем).
5.3. РЕДУКЦИЯ. ОБЩЕГО СКАЛЯРНОГО УРАВНЕНИЯ 207
Если все корни |
xlt |
..., хр различны |
то найдется матрица С, |
||||
|
|
|
где |
0 . .. |
0 ' |
|
|
|
|
|
( |
Ч |
|
||
(21) |
|
А = |
0 |
.. . |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда, как |
следует |
из |
к о |
0 . . . |
х р |
записать анало |
|
предыдущего, (2 0 ) можно |
|||||||
гично (13). При этом первая компонента равна |
|
||||||
|
|
|
©о |
р |
|
|
|
(22) |
|
%=■ 2 |
S |
СЧХУ |
«*-т, |
|
|
где2>(с/‘) = |
С- 1 . Это |
Т=0 /=1 |
|
|
представлению |
||
соотношение эквивалентно |
(28) § 5 .2 . Таким образом, представление (28) можно получить еще одним способом. Именно, для этого следует найти матрицу С, столбцы которой являются характеристическими векторами мат
рицы —В, и использовать (2 2 ). (См. упр. 2 0 .)
В случае общего векторного уравнения соотношение (13) можно
использовать для отыскания |
ковариационной матрицы |
вектора y t |
|||||
при заданных |
матрицах |
В |
и 2. |
Действительно (при |
%yt — 0), |
||
искомая |
матрица имеет |
вид |
|
|
|
||
(23) |
Ц |
ty ’ = |
2 |
( - |
B)TSttt.rU ts ( - B')s = |
|
|
|
|
|
x,s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
oo |
BT2 B x = |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|||
|
|
x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
= C 2 |
ATC- 1 2 (C“ V AXC' = F. |
|
|||
Здесь 3) |
|
|
T = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
|
fij = |
2 |
cig 2 |
XlgC^ohkclkk]ci! =* |
|
|
|
|
|
g,h,k,l=1 |
T = 0 |
|
|
|
|
|
|
, |
л |
s |
v |
|
|
|
|
V |
h,k=1 |
|
|
|
____________ ~ gi |
i |
ig |
|
iu |
|
Из упр. 19 вытекает, что если имеются кратные корни, то при этом не существует р линейно независимых характеристических векторов и каноническая форма состоит из диагональных блоков, как это было указано в предыдущих примечаниях.
2) В случае общей |
жордановой |
канонической формы 2 ci/ |
следует |
|
надлежащим образом изменить. |
М |
|
||
|
|
|||
3) В случае общей |
жордановой канонической формы вместо суммирования по |
|||
индексу |
т произведений A,gA,] возникает суммирование степеней 'кх~ и №1~~х)%умно |
|||
женных |
на полиномы от т (степени |
не выше чем 2р — 2). Такие суммы |
сходят |
|
ся при | |
| < 1. |
|
|
|
208 |
ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ |
Гл. 5. |
||||
Если |
С и А |
определяются |
исходя |
из |
матрицы В, то выражение |
|
(24) |
можно |
упростить: |
о (0) = |
fu, |
а (1) = fu+i = ft+u |
, ... |
.... о (р — 1) — UP = fpi-
Если умножить (5) на транспонированное (7), а также на тран
спонированное (7) с заменой в последнем индекса t на |
t — s, то |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
(25) |
%/У; + влу,_,у; = Е, |
|
|
|||
(26) |
h ty’-s + BSy<-iy;_s = |
о, |
S = 1, |
2 , ... . |
|
|
Поскольку |
Лу<—1у^—s = |
Sy<y<_(S_i), |
мы |
можем, |
действуя |
последо |
вательно, |
получить из |
(26) |
|
|
|
|
(27) |
|
h ty't-s = (— B)sSy(y<. |
|
|
Беря последнее выражение при s — 1 и подставляя его в транспони рованном виде в (25) вместо Sy<_iy<, получим соотношение
(28) |
а д - в а д в ' = 2 |
ИЛИ |
|
(29) |
F — BFB' = 2. |
Решение системы линейных уравнений (29) является, таким обра зом, еще одним способом отыскания матрицы F. При этом F0 = 2 можно взять в качестве начального приближения и применить
итерационный метод, вычисляя |
последовательные приближения |
||||
F. = S + RF*_iB\ |
Если |
В = |
В |
и |
|
|
|
о |
о |
.. |
о |
(30) |
2 |
.. |
о |
||
= |
|
|
|
||
|
|
. 0 |
о |
. . . |
о |
это даст нам возможность вычисления а (h).
В векторное уравнение независимые переменные можно ввести, полагая
При этом модель принимает вид
(32) |
|
у, + |
By<-i + Tzt = и, |
и |
|
|
|
(33) |
у, = 2 |
( - |
B )V x — S (— B)Tfz ^ t. |
|
х=0 |
|
т=0 |
5.4. |
ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ |
209 |
5.4.ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
ВСЛУЧАЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Одной из первоочередных задач при статистическом исследова нии модели стохастического разностного уравнения является оценка коэффициентов (Зь ..., и дисперсии <т2 по наблюдениям отрезка ряда уъ ..., ут. Если щ распределены нормально и модель описы вается разностным уравнением (1) из § 5.2 для всех /, то набор этих коэффициентов вместе с дисперсией а 2 (при — 0 ) полностью определяет распределение величин yt. Мы займемся более общей задачей оценки коэффициентов в модели
рч
(1) |
S |
$гУ‘~г + 2 Vi*» = ut> |
t = i. • • •, т . |
|
||
|
Найдем оценки максимального правдоподобия параметров |
..., |
||||
Рр» Уъ •••» Уя и ° 2* При |
этом будем |
предполагать, |
что величины |
|||
щ независимы |
и нормально распределены с нулевыми средними |
|||||
и дисперсиями |
= а 2. |
Исходное |
предположение о стационар |
|||
ности процесса мы изменим, полагая |
(помимо того, что мы ввели |
|||||
в модель переменные Zu), |
что наблюдения yt начинаются в точке |
|||||
t = |
—(р— 1) И |
что при |
этом */-(р_1), */-(р-2), |
у о— заданные |
известные числа. Тогда совместное распределение величин иъ ..., ит будет полностью определять совместное распределение наблюда емых величин уъ ..., ут (заметим, что zn , ..., zqU ..., Z\T, ..., гдт— заданные числа). Указанное предположение сделано для удобства отыскания оценок максимального правдоподобия. (В гл. 6 рассмот рены трудности, возникающие при отсутствии такого предположе ния.) Заметим, что любая процедура оценивания для этой модели является оценкой максимального правдоподобия или ее незначи тельной модификацией. Во всяком случае при больших Т влияние такого предположения невелико, а в асимптотической теории оно и вовсе не требуется. Оценки максимального правдоподобия и соот ветствующая асимптотическая теория для рассматриваемой модели были предложены Манном и Вальдом (1943b).
Обозначим
(2)
Полагая р0= 1, уравнение (1) запишем в виде
(3) |
Ut + Р'У<-1 + i h = ио t = l , |
Т. |
210 ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПАРАМЕТРОВ Г л . 5.
Поскольку иъ |
ит не зависят |
от у -р+и |
у 0, |
то условная |
|
плотность распределения случайных величин иъ |
|
ит при задан |
|||
ных значениях у~р+\, ...» у асовпадает с безусловной |
и равна |
||||
(4) |
1 |
ехр |
1 |
|
|
(2яоа)г/2 |
2а2 |
|
|
||
|
|
|
|
При фиксированных значениях #~р+ь • ••, Уо соотношение (3) опре деляет взаимно однозначное отображение переменных уъ ут на переменные иъ ...» ит. Якобиан этого преобразования есть
1 0 0
(5) |
дщ |
I |
Pi |
1 |
о |
1. |
|
Р2 |
Pi |
1 |
|||||
~дуГ I |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
О . .. |
1. |
Отсюда следует, что при заданных значениях у~р+\, ..., у9 сов местная плотность вероятностей значений ylt ..., ут есть
(2яо2)г/2 6Х^ [ |
2а5- 2 |
+ Р У<-> + V ztf j • |
Если это выражение рассматривать как функцию правдоподобия по отношению к параметрам р и у, то для получения оценок мак симального правдоподобия для этих параметров необходимо мак симизировать последнее выражение на множестве всех возможных значений Р и у. Для этого в свою очередь достаточно найти значе ния параметров Р и у, при которых достигает минимума сумма
(7) |
|
г |
2 |
(yt + P'y<-i + v 4 ) 2 = 2 у < ~ (~ Р' |
|
|
/=1 |
/=1 |
Таким образом, мы приходим к обычной задаче наименьших квад-
• А
ратов. Нормальными уравнениями относительно значений Р == Р
л
иу = у, минимизирующих сумму (7), будут здесь уравнения
(8)i H $ « . » ( - ! ! ) - £ * ( » -
*=1 \ Zt J |
\ --- |
у / |
/=I |
\ Zt |
Их можно записать в матричной форме следующим образом:
(9) |
/Аи |
Ala\ / f h |
_/а0\ |
\ASx |
А23/ \у / |
' d / * |
5.4. |
ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ |
211 |
||||
где |
|
|
|
Г |
- |
|
|
|
т |
„ „ |
|
||
Аи |
= |
2 |
|
А12 == A2I = 2 |
У'-12)- |
|
(10) |
|
Г |
|
t=l |
|
|
|
|
г |
|
т |
||
|
|
|
|
|||
А22 ^ |
2 |
z*z*» |
а0 = 2 У/У<-ь |
d = |
2 № |
|
|
|
/=1 |
|
/=1 |
|
f=l |
Оценкой максимального правдоподобия для а2 будет
(И)> = - f - S ( f c + P'y*-' + v V -
Непосредственно видно, что плотность (6 ) зависит от значений наблюдаемых переменных через выражение (7). Последнее же равно
(12) |
2 |
у] + |
2р'а0 + 2Y'd + |
P'Anp + 2p'A12v + v'A22V- |
||||
|
м |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, |
что 2#?» |
а0, |
^ Ац |
и А12 образуют достаточное |
||||
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
множество статистик. |
q = |
1, zlt = 1 |
положим |
уг = у; уравнения |
||||
В |
частном случае |
|||||||
для оценок |
примут вид |
|
|
|
|
|||
(13) |
|
Р |
А |
_ |
~ |
— я«ь |
i = 1, |
• • •, А |
|
^ |
^/Р/ + |
тУа)У = |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(Н) |
|
Г 2 |
Л/)Р/ + Г ? -- Г у , |
|
|||
где |
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
U I = |
1, |
• • |
• > />. |
|
ац |
У*-№-ь |
||||||
(16) |
|
Я/о = |
т |
‘ = |
1, |
• • •. р. |
|
|
2 |
||||||
(17) |
|
= |
2 yt-u |
i — 0. |
1, |
• • •, р, |
|
<=i |
ц у =* *(0, Если из |
г-го уравнения (13) вычесть умноженное на |
Уи) уравнение (14), |
то получим |
(18) 2 [2 yt-wt-i—тттп1fe = — 2 |
+ ту<оу» |
||
/=1 L<=i |
J |
<=i |
|
i = 1, • • •, р,
212 л и н е й н ы е Мо д е л и с к о н е ч н ы м чи сло м п а ра м етро в Г л . 5.
или, |
что |
равносильно, |
|
|
|
|
|
р |
т |
_ |
_ /ч |
т |
|
(19) |
2 |
2 (#-< — №))(У‘ч ~ У а )) Р/ = — 2 (#-* ~~»й) (//<— У)> |
||||
|
/=1 *=1 |
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
/ = 1, |
д. |
Суммы по t в (19), соответствующие одному и тому же значе нию разности (i — /), отличаются только добавлением или вычита нием крайних членов. Эти суммы можно различным образом видо изменять, Например, можно вместо (19) записать уравнения
( 2 |
0 |
) |
2 |
|
|
= |
____Г * |
1* |
|
/ = |
1 , . . |
• > |
р , |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
/ = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 |
1 |
) |
2 С |
А |
- |
|
|
/ |
= |
1 , . . |
• > |
р , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
/ = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 2 ) |
2 С |
А |
= |
" ~ ~ г р |
t |
= |
1 , . . |
. , |
р . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
/ “ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из соображений удобства и для согласования с последующим изложением определим входящие сюда величины следующим обра зом:
(23) |
С; = с1„ = |
|
г2 |
(У,- |
У) (У«*- |
У). |
|
|
|
|
|
|
<=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 = |
0 , |
1..........Т - 1 , |
||
(24) |
|
! |
Т-Н |
|
|
|
|
|
|
сн= Сн = т |
2 ( и — у) (#+»— у). |
|
|
|
|||||
|
|
|
<=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1 = |
0 , |
1 , |
Г |
- 1, |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
Гн = Cft/co, |
h — 0, 1 , . . , |
Г — 1, и у = 2 & /Т . |
Отметим, |
что |
(2 2 ) |
||||
|
|
|
|
<=i |
|
|
|
|
|
получается из (2 1 ) делением всех с\ на со. |
|
|
|
|
|||||
Если Т |
относительно |
велико, то различие между уравнениями |
|||||||
максимального правдоподобия (19) |
(при |
наблюдениях |
у~р+ь ... |
..., ут) и уравнениями (2 0 ), (2 1 ), (2 2 ) (включающими только наблю дения уи .... ут) становится незначительным. При этом последние уравнения обладают большей симметрией. Каждая диагональ матрицы коэффициентов состоит в этом случае из одинаковых эле ментов. Что касается правых частей, то они образованы из тех же элементов, к которым добавляется еще один.