книги / Прочность и колебания элементов конструкций
..pdf§9. РАБОТА П. А. ВЕЛИХОВА |
121 |
влияние отбрасывания усилий Y y, мы можем утверждать, что в случае растяжения пластинки конечной ширины 2b при отношении 8/6=1/4 растягивающие усилия в точках а, а не больше 3,18/7. То есть возрастание напряжений в опасных точках для данного слу чая не превосходит 6%. При меньшем отношении р/b влияние конеч ности ширины пластинки будет еще меньшим.
§ 9. Работа П. А. Велихова
Статья П. А. Велихова нас заинтересовала потому, что мы ожи дали в ней найти прямое решение задачи, поставленной и путем под бора решенной Г. Киршем. Первую часть своей статьи автор посвя тил изложению начал гидродинамики и описанию некоторых гид родинамических аналогий. Аналогии эти весьма важны в теории упругости, они придают большую наглядность задачам о кручении призм, они же помогли А. Фёпплю решить поставленную им задачу о скручивании валов переменного диаметра 1). Мысль о применении гидродинамической аналогии к решению задачи о распределении на пряжений в пластинках не представляется новой. В 1898 году проф. X. Хелл-Шоу2) пользовался прибором, в котором для иллюстрации распределения напряжений в пластинке жидкость пропускалась тонким слоем между двумя параллельными стеклянными пластин ками. Этим прибором пользовался Джон Смит 3) для изучения рас пределения напряжений в некоторых частях обшивки судов. Гид родинамическая аналогия в таком виде, как она представлена у П. А. Велихова, дает только указания на характер распределения напряжений, но не дает никаких численных результатов, как то имеет место в случае кручения. В конце концов автору все же приш лось определять коэффициенты, идя медленным и утомительным пу тем последовательного подбора. Цель этого подбора для нас тем бо лее не ясна, что заранее известен тот результат, к которому при дешь — решение Г. Кирша.
Для получения экспериментальным путем закона распределения напряжений интересно было бы в этом случае воспользоваться дру гой аналогией, именно аналогией между распределением напряже ний в случае плоской задачи и изменением кривизны изогнутой
пластинки, |
подчиненной некоторым определенным условиям на |
-1) F 6 р р 1 |
A. Uber die Torsion von runden Staben mit veranderlichem Durch- |
messer. Sitzungsberichte |
der mathematisch-physikalischen Klasse der Akademie der |
||
Wissenschaften zu Munchen, 1906, |
Jahrgang 1905, |
Bd. 35, 3 Juni, SS. 249—262. |
|
2) [H e 1 e - S h a w |
H. S. A |
new instrument |
for' drawing envelopes, and its |
application to the teeth of wheels and for other purposes. Report of the sixty-eighth meeting of the British Association for the advancement of science. Held at Bristol
in September 1898. |
London, J . Murray, 1899, 1096 p .+ 112 p. |
CM . pj). 619—627.1 |
®) S m i t h J. |
An application of stream-line apparatus to |
determine the direc |
tion and approximate magnitudes of the principal stresses in certain parts of ships. Engineering, 1906, vol. 82, September 28, pp. 436—439.
122 О ВЛИЯНИИ ОТВЕРСТИЙ НА НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНКАХ
контуре1). |
В обоих случаях |
задача приводится к решению одного |
и того же |
уравнения |
A3A2F = 0. |
|
|
|
Хотя при составлении первой части своей работы автор пользо |
||
вался таким классическим |
сочинением, как курс гидродинамики |
Г. Лэмба 2), но изложение не везде достаточно ясно, есть и ошибки.
Например, на стр. 17 говорится: «Мц, м2 и м3 представляют собой |
|
угловые скорости вращения всего тела, как целого, вокруг |
мгно |
венных осей». На самом деле это ведь не так, величины со1( |
и to3— |
функции координат и при переходе от одного элемента тела к дру гому меняют свою величину.
Вторая часть работы П. А. Велихова посвящена подбору выра жений для напряжений. В самом начале автором не установлено, что он будет трактовать задачу как случаи плоской деформации, и потому в дальнейшем изложении ему приходится делать ряд огово рок, например, на стр. 41 при определении напряжений Y z,Zx, на стр. 46 относительно напряжения Z*— это делает само изложение запутанным. При составлении выражений для перемещений на стр. 48 автор почему-то пропускает произвольные функции, которые войдут при интегрировании, они должны быть так определены, чтобы исключить перемещения пластинки, как целого. При опреде лении коэффициентов, на стр. 50, автор пользуется положением, что распределение напряжений не зависит от упругих свойств мате риала. В случае плоской задачи это всегда верно только для одно связных контуров, для сложных контуров необходимо еще вы полнение дополнительных условий3). (В случае, разобранном у П. А. Велихова, эти условия соблюдены.)
При исследовании пластинки конечной ширины автор подби рает коэффициенты таким образом, чтобы сумма растягивающих усилий по поперечному сечению, проходящему через центр отвер стия, равнялась силе, растягивающей пластинку; при этом автор почему-то пропускает напряжения Х у, которые, при выбранных величинах коэффициентов, будут действовать по продольным сто ронам пластинки. Результаты, полученные автором для отношения а/Ь= 1/4, кажутся нам несколько преувеличенными. Вычисленные автором величины наибольших деформаций также отличаются от
3) W i e g h a r d t [К.]. Ober ein Verfahren, verwickelte theoretische Spannungsverteilungen auf experimentellem Wege zu finden. Zeitschrift des Vereines deut-
scher |
Ingenieure, |
1905, Bd. 49, № 38, SS. 1568— 1569. |
1895, 604 p. |
!) |
L a m b |
H. Hydrodynamics. Cambridge, University Press, |
|
(Перевод на русский язык с шестого английского издания: Л а м б |
Г. Гидродина |
||
мика. М. —Л., |
Гостехиздат, 1947, 928 стр.] |
|
*) М i с h е 1 1 J. Н. On the direct determination of stress in an elastic solid, with application to the theory of plates. Proceedings of the London Mathematical Society [1899], 1900, vol. 31, № 686, pp. 100— 124. CM. p. 112.
§9. РАБОТА П. А. ВЕЛИХОВА |
123 |
полученных нами, так как они определялись при условии существо вания напряжений 1 г.
Третья часть работы П. А. Велихова посвящена опытам и прак тическим выводам. Важно отметить, что автор стоит на точке зре ния «теории максимальных касательных напряжений» и, следова тельно, теория эта у нас в России уже находит практическое приме нение, чего нельзя не приветствовать. Нужно пожалеть, что при изучении влияния четырех отверстий на распределение напряже ний автор не применил световой методы, которая могла бы дать дос таточно точные числовые результаты.
Полученные автором теоретические выводы вполне применимы к случаю отверстий, не заполненных заклепками. При наличии за клепки задача становится гораздо сложнее — здесь пока теория ничего не дает, и выводы, сделанные автором относительно диаметра заклепочной головки, относительно влияния направления зигзага и расстояния между осями заклепок, можно принять только в том случае, если они не уклоняются от выработанных практикой норм.
12 октября 1907 года
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕНИЙ В КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ ДВУМЯ ВЗАИМНО ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ СИЛАМИ
Известия Киевского |
политехнического |
института, 1909, |
год 9, книга |
1, |
|||
стр. 21—37. Сокращенный вариант: On the distribution |
of stresses in a circu |
||||||
lar ring |
compressed |
by two forces acting along a diameter. Philosophical |
Ma |
||||
gazine |
and Journal |
of Sciences, 1922, series 6, vol.44, № |
263, pp. |
1014— 1019. |
|||
Его перепечатка: T i m o s h e n k o S. P ., |
The collected |
papers. |
McGraw-Hill |
||||
book company Ltd, |
New York—London—Toronto, 1953, |
pp. |
334—337. |
|
§ 1. Введение
При расчете сжатого кольца (рис. 1) исходят или из гипотезы линейного закона распределения напряжений по плоскости попе речного сечения кольца, или из гипотезы плоских сечений, приво дящей к гиперболическому закону распре
деления |
напряжений. |
прямоугольного попе |
||||
В случае |
кольца |
|||||
речного |
сечения |
малой толщины |
(толщи |
|||
ну мерим |
в |
направлении, |
перпендику |
|||
лярном |
плоскости |
кольца) |
или |
в случае |
длинного пустотелого цилиндра с наруж
ным радиусом R и внутренним г |
(подоб |
ный случай встречается при расчете |
полых |
мостовых катков) задача об определении на пряжений приводится к плоской задаче тео рии упругости и может быть для заданного отношения R/r решена с любой степенью точности.
В настоящей статье приводим подробный расчет для того случая, когда R/r= 2.
Для сравнения даны также те результаты, к которым приво дят две вышеупомянутые гипотезы.
§ 2. Сжатие кругового диска
Если через / обозначим толщину диска (длину катка), то функ ция напряжений *) для какой-либо точки А (рис. 2) будет
F = - R r ( ^ —r i(PisinV1— ''2(p2sinip}). |
О)*1907 |
’) L о v е А. Е. Н. Lehrbuch der Elastizitat. Autorisierte Ausgabe unter Mitwirkung des Verfassers besorgt von Aloys Timpe. Leipzig— Berlin, B. G. Teubner,
1907, 664 S. CM. S. 256.
$2. СЖАТИЕ КРУГОВОГО ДИСКА |
125 |
Напряжение, соответствующее функции (1), составится из трех элементов:
1) из равномерного растяжения в плоскости кольца
_ Р CTl — InR ’
2) из сжатия по направлению /V
_ _ |
2Р cos q>i |
° Г>~ |
In Г\ ' |
3) из сжатия по направлению г,:
_ |
2Р cos фа |
Рассмотрим закон распределения напряжений по горизонталь ному диаметральному сечению ab диска (рис. 3).
Для любой элементарной площадки этого сечения, находящейся на расстоянии х от центра О,
Г1 = гг= У & + х*
и
COS Фа = COS ф2 |
R |
= |
|
|
VrRi +xi ' |
Радиальные напряжения аГ1 и <хг> в сумме дадут напряжение, нормальное к площадке тп и равное
—2 |
2Р cos ф! |
COS^ |
АР |
R» |
In /i |
In |
|
126 |
НАПРЯЖЕНИЯ в КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ СИЛАМИ |
|
|
то |
Если мы примем во внимание равномерное растяжение а1( |
||
окончательно нормальное напряжение по площадке |
тп будет |
||
|
a = - L \ i ____ (2) |
W |
|
|
° |
/яЯ |/ (Я2+ х2)2] • |
Тангенциальное напряжение по той же площадке, очевидно, будет равно нулю. На рис. 4 закон изменения напряжения а представлен
графически. Наибольшее напряжение соответствует центру диска и равно 3P/lnR.
Ряд значений заключенного в скобки множителя формулы (2) приведен в таблице А.
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а А |
|
X |
0 |
0.1 |
0,2 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
alnR/P |
- 3 |
—2,92 |
—2,70 |
—1,96 |
— 1,56 |
- 1 ,1 6 |
—0,49 |
0 |
Если в центре диска сделать отверстие, то произойдет перераспре деление напряжений, и если диаметр отверстия мал по сравнению с диаметром диска, то значительные изменения в величине напряже ний произойдут лишь вблизи отверстия. Изменения напряжений по горизонтальному диаметральному сечению с достаточной точностью
§3. НАПРЯЖЕНИЯ НА КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ |
127 |
можно определить, пользуясь формулой*) |
|
a' = o (2 + g + 3 £ ) . |
(3) |
Здесь через х обозначено расстояние по горизонтальному диа метру от центра диска и через р — радиус отверстия. Мы видим, что
при расстоянии |
х = 10р влияние |
отверстия |
|||||||||
несколько больше |
*/2%, |
при |
дальнейшем |
||||||||
увеличении х влияние отверстия быстро |
|||||||||||
уменьшается. |
На рис. 4 |
пунктиром пока |
|||||||||
зано изменение напряжений в том случае, |
|||||||||||
когда р = 0,01#. |
не очень мало, форму |
||||||||||
|
Если отверстие |
||||||||||
ла (3) не |
даст |
нам точных |
результатов, |
и |
|||||||
для |
определения |
напряжений |
придется |
||||||||
идти иным путем. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 3. |
Распределение |
напряжений |
|
|
|
||||||
по окружности, |
концентрической |
|
|
|
|||||||
с наружным контуром кольца |
|
|
|
|
|||||||
Определим |
|
напряжение |
|
по |
любому |
||||||
элементу тп поверхности цилиндра ра |
|||||||||||
диуса г |
(рис. |
5). |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Нормальное напряжение определится из следующей формулы |
||||||||||
a = ax + |
ff/. sin2\p1 + |
(Tr sin2\p2= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<«> |
|
Выразим это напряжение в зависимости от радиуса г и централь |
||||||||||
ного угла 0. Из рис. 5 имеем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
г\ = г2sin20-)- (R — г cos 0)2, |
||||||
|
|
|
|
|
г\ = г2sin20+ (R + |
г cos в)3, |
|||||
|
|
cos фх = R — г cos 0 |
|
COS Ф 2 : |
R + г cos 0 |
||||||
|
|
sinrpj = co s(0 -f фх), |
sin^Jj2= cos(0—ф2). |
||||||||
|
Подставляя эти значения в формулу (4), получим |
||||||||||
|
2Р г . |
|
— - ^ - CO S0^ |
-----COS0 |
|
cos о) (■£-+ « * о)*' |
|||||
а = |
(■■ |
|
|
|
|
)■ |
|
|
|||
InR |
2 |
|
’( т ) + |
1- |
2 т |
|
2 |
. ( т ) + 1+ 2 lT cose| |
|||
|
|
|
|
соав |
*) См. стр. 102 нашей работы «О влиянии круглых отверстий на распределе ние напряжений в пластинках». Известия Киевского политехнического института, 1907, год 7, книга 3, стр. 95—113.
128 |
НАПРЯЖЕНИЯ в КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ. СЖАТОМ СИЛАМИ |
Касательное напряжение т по тому же элементу тп найдется из формулы
т = + |
2Р |
cos фх sin 2фх ^ cos фа |
sin 2t|?a |
/я _ |
2 ■ г2 |
'] • |
Выражая входящие в эту формулу величины через г и 0, получим
2р
Т = тгттsin 0 X ■InR'
X |
( ’ - |
Г 030) |
( COS0~ T ) |
, |
( 1+ ^ - c° s 0 ) ( c o s 0 + - L ) |
(б) |
||||
- 2 |
/ |
- |
\ 2 1 |
2 Т |
Г 0-2 |
/ |
- |
\ 2 1 |
||
|
[j^ -sin 20 + ^ l - - ^ - c o s 0 ^ |
|
[ ^ |
sin20+ ( 1+ '^ ' |
co s0 ) |
|
§ 4. Распределение напряжений в кольце
Чтобы от сплошного диска перейти к кольцу, мы воспользуемся формулами (5) и (6). Допустим, что по цилиндрическому сечению ра диуса г приложены усилия, равные и противоположные имеющимся напряжениям а и т, вычисленным по формулам (5) и (6). Тогда се чение это будет свободно от всяких усилий и его можно рассматри вать как внутренний контур кольца. Чтобы определить напряжения в получившемся таким образом кольце, придется к напряжениям, вычисленным для сплошного диска, присоединить напряжения от усилий а ит, приложенных по внутреннему контуру. Эту последнюю задачу можно для всякого соотношения r/R решить с любой точно стью, пользуясь общим решением для случая кругового кольца 1).
Произведем подробные расчеты для того случая, когда внутрен ний радиус равен половине наружного, т. е. # /г = 2. Введем обозна чение Р/1=РГдля сжимающей силы, приходящейся на единицу дли ны, считая по образующей цилиндра.
Формулу (5) можно переписать в таком виде:
а = |
2Р ’ |
(7) |
|
nR |
|||
|
Здесь коэффициент k зависит от угла 0. Ряд значений для k вы числен и приведен в таблице В.
Т а б л и ц а В
0
k
0° |
10° |
20° |
38° |
40° |
50° |
60° |
о |
80° |
90° |
О |
2,667 2,356 1,699 1,113 0,7320 0,5275 0,4081 0,3525 0,3271 0,3200
х) Т i m р е A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einlach gelost mit Hilfe der Airyschen Function. Zeitschrift fflr Mathematik und Phvsik, Ь05, Bd. 52, Heft 4, SS. 348—383. CM. S. 370.
0 0°
к' 0
§4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В КОЛЬЦЕ |
129 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а С |
|
10° |
20° |
О О СО |
40° |
50° |
о о СО |
о |
80° |
90° |
О |
||||||||
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
0,685 |
0,979 |
0,922 |
0,727 |
0,524 |
0,353 |
0,216 |
0,102 |
0 |
Закон изменения к в функции от 0 представлен на рис. 6. Формулу (6) для касательных усилий можно представить в та
ком виде:
|
т |
(8) |
Ряд значений коэффициента к' |
приведен в таблице С. |
|
Кроме того, |
изменение к’ в зависимости от угла 0 графически |
|
представлено на |
рис. 7. |
|
О /О го 30 40 50 ВО 70 80 90 /00 ПО /20/30/40150 /60 /70/80
Рис. 6.
Рис. 7.
Чтобы воспользоваться общим решением для случая кругового кольца, представим а и т в виде тригонометрического ряда. Имея
130 НАПРЯЖЕНИЯ в КРУГОВОМ КОЛЬЦЕ, СЖАТОМ СИЛАМИ
ряд значений для k и к ', разложение легко выполнить, пользуясь
схемой |
проф. К. |
Рунге *). |
Результат этого разложения таков: |
||
а = — |
9Р' |
\ |
[0,506 + |
1.008 cos 20 + 0,443 cos 40 + 0,158cos 60+ |
+ 0,0467 cos 80 + 0,0083cos 100], т = + — ■[0,749 sin 20+ 0,374 sin 40 + 0,141 sin 60+
+ 0,0460sin 80 + 0,0133 sin 100]. ,
Приложим теперь no внутреннему контуру кольца усилия а и т. Напряжения, соответствующие первому члену в разложении
для п, т. е. члену |
|
2р ' |
, определятся по |
||
0,506 |
|||||
формулам Ламэ |
|
|
|
|
|
2Р' |
R %- |
р* |
|
||
гг = 0,506 nR |
р 2 R }—гг |
( 10) |
|||
00 = —0,506 |
2P 'r 2 R * + p * |
||||
|
|||||
|
п R р2/?2+/-2 |
|
Здесь через р обозначено расстояние рас сматриваемой точки от центра диска (рис. 8).
Напряжения, соответствующие любой паре
+ / l mcosm0; —Вт sin m0
тригонометрических членов в разложениях (9), определятся по фор мулам
00 = [(т— 1) rnampm~2 |
(m + 1) (m + 2)bmpm + tn(m+ l) a mp - m- 2 + |
|
|
|
+ (m—2) (т— 1) P«p- "] cos m0, |
r0 = [(m— 1) rnampm~2 + m(m + |
1) bmpm— rn (m + 1) amp~m~2— |
|
|
|
— m (m— l)P mp_m] sinm0, |
n — [m(l—m) ampm~2 |
+ 2—m2) brnpm— m (m + l) a mp-m-2— |
|
|
|
— (m— 2 + m*) Pmp-m] cos mQ. |
Произвольные постоянные |
определятся из условий на |
наружном и внутреннем контуре кольца, т. е. при p=R и р=г.
2) R u n g е С. Theorie und Praxis der Reihen. Leipzig, G. J. Goschen’sche Verlagshandlung, 1904, 266 S. CM. S. 153.