книги / Моделирование физико- химических процессов нефтепереработки и нефтехимии
..pdfЕ с л и
|
GcKTF |
^ |
dw |
|
|
qupV |
> |
Ч Т |
|
ИЛИ |
|
|
|
|
Gc + K TF ^ |
f е |
, |
m |
|
qnpV |
> г " { д Т 2 + |
с |
||
то возможно только одно |
стационарное |
состояние. |
||
Отметим, что для |
экзотермической реакции д„Р < 0; |
|||
- q npV (dwldT) > 0 - |
|
|
|
|
Найденное условие позволяет исследователю обеспечить устой чивое стационарное состояние в аппаратах идеального перемеши вания, выбирая соответствующим образом G, F, V. Видно, что несколько стационарных состояний и, следовательно, неустойчи вость, могут появиться для реакций с большими значениями |д„р | и Е при малых скоростях потока и малых К т(FlV).
Рассмотрим теперь аппараты с вытеснением. Укажем, что если простые физико-химические процессы проводятся в аппаратах идеального вытеснения, то возможен только один стационарный профиль. Так (это доказывается в теории дифференциальных уравнений), для системы вида
1 F = /X (C, Т) |
= /а(С, Г) |
С(0) = Со |
Т(0) = Т о |
решение будет единственным в случае ограниченных первых част ных производных dfJdC и d fJd T и реализуется в подавляющем большинстве реальных ситуаций.
Если, однако, в аппарате имеется ограниченное внутреннее перемешивание, используется рециркуляция или граничные усло вия должны быть выполнены на разных концах аппарата, то, как показывает ряд экспериментальных и расчетных работ [5, 9—11], возможно несколько стационарных профилей С (х), Т (я). Общий прием изучения возможности нескольких стационарных профи лей для реакторов с ограниченным перемешиванием следующий. Пусть для дифференциального уравнения
d*T dT .
F (T \ Т \ Т) = Х Ч -Г - - а - ^ - ( - ф ( !Г ) = 0
описывающего процесс в таком реакторе, имеются два разных
решения Т х (z) |
и Т 2 (х), так что |
|
Т [, Т г) = о п F 2 (T"2, г ;, т 2) = 0 |
при указанных |
граничных условиях, и F 2 — F 1 = 0. Определим |
новую функцию:
1|) (х) = Т« {х)—Т 1 (х)
6 Заказ С72 |
161 |
Укажем теперь, что если непрерывная функция <р (Т) проходит
через |
две точки <р (Т ±) |
и |
<р (ЗГ2), |
то в интервале <р (Т г)— m ( f \ |
всегда |
есть такая точка |
<ps, что |
г' |
|
|
( I F ) . 35 |
|
|
» < г ,) - * ( г 1) = * ( - | 2 .) 1 |
В |
рассматриваемом |
случае |
|
|
|
^2 |
|
j |
|
F i~ F x = % -^ (T i—T-j) a "5J* (^2 —^l) + СФ(^2) — Ф(7’i)] = 0
ИЛИ
с граничными условиями
*К 0 ) = |
*Т г (0) |
dT i(0) _ |
dty(l) |
|
dx |
dx |
dx |
dx |
U |
Множественность решений означает, что можно .найти ф (х), отличную от нуля, которая удовлетворяет полученным условиям. При ф (х) = 0 существует только одно решение: Т г (х) = Т 2 (х). Исследование решения последнего дифференциального уравнения с указанными граничными условиями было выполнено Амундсо ном [13] и привело к следующему критерию единственности стационарного профиля:
где g (N) — функция N = аИ4Х, причем g (0,01) = 0 ,1 ; g (1) = 1; g (10) = И ; g (100) = 12.
Ван-Хирден [12] проанализировал устойчивость сложных процессов в аппаратах с кипящим слоем и отметил, что множест венность стационарных профилей может быть следствием только множественности решений уравнений, описыцающих граничные условия. Это, кстати, ясно и из сказанного выше. Поэтому иссле дование устойчивости в этом случае будет таким же, как и для аппаратов идеального перемешивания. В частности, для реакции первого порядка [w = /с0ехр (—ElRT) С] критерий единственности имеет вид:
4Е gnpPcVCo >
В ряде случаев (например, для сложных сильно экзотерми ческих процессов), как показывает анализ, возможен ряд ста ционарных состояний, т. е. приведенные здесь критерии един ственности не выполняются. В связи с этим рассмотрим математи ческие методы, позволяющие установить, какие из решений будут устойчивы.
m
Методы исследования устойчивости решения
Термин «устойчивость» широко используется при исследова нии решений, в частности, систем дифференциальных уравнений. Пусть системе уравнений
»}=//(*• Jh, • • •, Ур)
с начальными условиями
W(*o) = Wo |
(V.19) |
отвечает решение
У} — У} (*, 1/1. |
ур) |
х 0 ^ х ^ о о |
которое принято называть невозмущенным. Это решение называют устойчивым, если решение той же системы при бесконечно малом
изменении х 0 и у/0 и любых х 0 ^ х ^ оо отличается от невоз мущенного на бесконечно малую величину. Пусть возмущенные условия х 0 и у;0 , а возмущенное решение у,- Тогда условие устой чивости будет иметь вид:
т а х |у) yj 1~о<;с<00 — >-0 при I Уia Уjo I — > 0 |
(V.20) |
В противоположном случае, т. е. когда |}у;— у;-| существенно отличается от малой величины, решение считается неустойчивым.
Можно «ослабить» условие (V.20) и потребовать, чтобы раз личие уi и у/ стремилось к нулю лишь при х -> оо (стационарный
режим). Такое условие принято называть асимптотически устой чивым, и для него
шах |y j— yj |
— |
> 0 при |
|vjo— iio I — ►0 |
(V.21) |
Если применить условие |
(V.21) |
к инженерным |
задачам, то |
в качестве х можно рассматривать время осуществления процесса. Тогда условие х-+-оо означает переход процесса к установивше муся (стационарному) состоянию, и асимптотическая устойчи вость есть устойчивость стационарного состояния. В теории регу лирования такую устойчивость называют локальной, или устой чивостью в малом.
Для исследования устойчивости решения можно, например, вычислить величины у;- при различных начальных условиях и сопоставить их при одинаковых наборах х , ух, ..., ур. Если, например, у) близки при # —>- сю, получим асимптотически устой чивые решения.
На рис. V-4 приведен пример асимптотически устойчивого решения функции одной переменной у' — / (у). Достаточно ясно, что если / (0) = 0 и / (у) меняет знак с + на — , когда х, увеличи ваясь, проходит через 0, решение будет асимптотически устойчи вым. Этот вывод указывает на возможность анализа устойчивости
6* |
163 |
без получения решения дифференциального уравнения, например, на основе анализа свойств / (у). Методы, в которых исследование устойчивости не связано с решением системы дифференциальных уравнений, называют качественными. Именно качественные ме тоды представляют наибольший интерес для инженерной практики ввиду сложности проверки условий (V.20) или (V.21) *.
При качественном исследовании асимптотической устойчивости обычно осуществляют перенос начала координат, что позволяет от произвольной системы дифференциальных уравнений перейти**
к системе (V.19) при невозмущенном решении у;- (0) = 0. Кроме
Рис. V-4. Пример асимптотически устойчивого решения уравнения
у' — Ну)-
того, для задач химической технологии можно рассмотреть авто номную систему (когда в функции / не входит ж):
y'j — fi (Уъ |
Ур) |
(V.22) |
Наиболее просто рассмотреть идею качественного исследо вания для двух переменных
У{ = к (У ь Уг) |
Уъ = !ъ{У\, Уг) |
исследуя траекторию точки (ух, у2) в так называемой фазовой плоскости Ух—Уг' Изучим движение точки (уг, у2) относительно концентрических окружностей с центром в точке (0, 0) (стацио
нарное решение) и радиусами г (ух, уг) = 1f У\~*с У\- Уравнения
точек, лежащих на таких |
окружностях, имеют вид: |
” (Уь |
+ 4 |
%
Если при изменении ж траектория движения физико-химиче ского процесса пересекает эти окружности так, что с ростом х уменьшается v [т. е. траектория стремится к точке (0, 0) при увеличении ж], то стационарное, состояние устойчиво. Достаточно очевидно, что устойчивость будет выполнена, если
,du
v ~~dx = 2У1У1 + 2УъУч < 0
* Вместе с тем часто при ограниченных выборках для проверки усло вий (V.20) или (V.21) инженерная интуиция позволяет оценить устойчивость решения подобно тому, как это сделано выше (стр. 159).
** Это осуществляется путем замены yj = у) -j- z; z = 2 (х, y l7 . . ур).
164
Если v' >>0, то стационарное состояние неустойчиво; при у, меняющем знак, возможно как устойчивое, так и неустойчивое стационарное состояние. Только в немногих случаях знак vr постоянен или его можно определить.
Обобщая эти рассуждения на многомерный (р-мерный) случай и для v, не обязательно являющихся окружностями, приходим к теореме Ляпунова об устойчивости, которая формулируется следующим образом.
Пусть в окрестности стационарной точки существует функция
*>(Ун |
— . УР)> Для которой v (0, |
0) = 0; |
lim у(ух, ..., уРу ^ -> |
-*■ °о; |
v (у15 ..., ур) > 0 при уг, ..., ур ф |
0; v' ssO. Тогда невоз |
мущенное решение у} (0) = 0 является устойчивым. Функции v принято называть функциями Ляпунова. Их существование определяет необходимое и достаточное условие устойчивости.
Из теоремы Ляпунова не вытекает способ построения функций v. Рассмотрим его, а также проведем исследование асимп тотической устойчивости для наиболее простого случая, когда система (V.19) является линейной:
y ):= ^ i AiUl / = 1, Р (V.23a)
или в матричной |
форме: |
(V.236) |
|
Y' = A Y |
|
Система (V.23) |
может рассматриваться |
как приближенная |
для системы (V.22) в окрестностях стационарной точки (у,- = 0). Действительно, разлагая / (ух, ..., ур) в ряд по степеням у1? ..., ур и обрывая его на линейных членах (что допустимо ввиду ма лости ух, ..., ур вблизи стационарной точки), перейдем к уравне нию (V.23 б), где
d h |
а/х |
9/х |
дух |
дуъ |
дур |
dfp |
dfp |
dfp |
дух |
дУг |
• дур |
Поэтому систему (V.23) называют системой первого приближе ния. Для ее асимптотической устойчивости необходимо и доста точно, чтобы все решения стремились к 0 при х сю. Наиболее
простым будет случай, когда матрица А постоянна. В этом случае функцию Ляпунова оказывается удобно представить в виде эллипса с центром в точке (0, ..., 0), причем
v — YTPY |
(V.24) |
где Ут — матрица, транспонированная к Y; Р — постоянная,
симметричная и положительно определенная матрица. Для про верки условия dv/dy ^ 0 при у ф 0 продифференцируем уравне ние (V.24):
у ' = утр г +(1лТ) 'р г
165
и подставим yf из (V.236). Найдем:
V'= YrPAY+ YTArPY=Ут{РА +АТР) Y= — YTQY
Из последнего уравнения вытекает, что производная V ’ будет отрицательно определенной, если матрица
Q=-(PA+ATP) |
(V 25) |
будет положительно определенной. Таким образом, чтобы дока зать асимптотическую устойчивость, нужно суметь построить две положительно определенные матрицы Р и ф , связанные условием (V.25). Продемонстрируем такое построение для системы второго порядка вида [9]:
y'i~—l/i—2f/2 |
(—1 |
—2] |
|
|
|||
y^iOUi-гл |
Т‘ е*^ I-Ю |
-lj |
(Рц |
/^12*1 |
|||
Очевидно, что Р — симметричная матрица вида Р |
|||||||
= \ |
г» |
||||||
|
|
|
(i |
O') |
1Р2Х |
Ру>) |
|
а для Q испытаем единичную матрицу |
|
|
|||||
|Q L |
|
|
|||||
Тогда из условия (V.25) |
имеем: |
|
|
|
|
||
(Pxi РиН-1 -21 {-1 |
ри |
Л») |
Г~1 |
01 |
|
||
\Рп РгаП Ю —lJ |
I—2 —lJW |
P22I |
I 0 —lj |
|
или систему четырех линейных уравнений (из них три — незави
симых):
—Рхх+Юрхг—Рхх+10рхг=—1
—Рх2+ Юрга— 2рц—р и = 0
—2рц—Рх2—Р12+ Юрга = 0
—2рхг—Р22—%Pi2—Ргг ——1
Решение этой системы дает:
1
Р= 42
v— -fir (61y* -f 8^хУ2+ 13у|)
Таким образом, матрица Р положительно определенная, и исход
ная система устойчива.
Доказывается [13] и более простое условие асимптотической устойчивости при постоянной А . Для этого необходимо и доста точно, чтобы все корни % характеристического уравнения
d etU —U|=»det|M—А |= 0 |
(V.26> |
имели отрицательную вещественную часть *.
*Напомним, чтоI — единичная матрица, аX, удовлетворяющие харак теристическому уравнению, называют собственнымизначениямиматрицыА*
166
Если, |
например, |
исследуется |
система |
второго |
|
порядка и |
||||||
(CLyi |
то |
решение |
характеристического |
уравнения * |
||||||||
А — | |
||||||||||||
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«11+ «22 . |
1 |
^ ( « 1 1 |
|
22)2 — 4 11 2 2 |
12 |
2l |
) |
||||
|
Al.2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ « |
(« |
« |
~ « « |
|||
Видно, |
что |
и |
1 г |
отрицательны, |
если |
|
|
|
|
|||
|
*11+ «22<С0 |
«11«22— «12«21 |
О |
|
|
(V.27) |
||||||
Докажем условие (V.27) следующим образом. Пусть все корни |
||||||||||||
А — вещественные, |
и для v можно исследовать выражение: |
|||||||||||
|
|
|
” (У1> |
. |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим устойчивость по знаку производной |
|
Учитывая |
||||||||||
исходную систему |
Y ' = |
А У, получим: |
|
|
|
|
|
v' = —2 2^/У/ + 0 1У21
/
где 0 |у2 |— пренебрежимо малый член. Тогда г/ < 0, и условие асимптотической устойчивости выполнено. Аналогично мояшо показать, что если хотя бы один корень уравнения (V.26) имеет положительную вещественную часть, то решение неустойчиво.
Некоторые другие качественные методы приведены в литера туре [14].
Температурная устойчивость физико-химических процессов в проточных аппаратах
Из изложенного выше ясно, что для аппарата идеального пере мешивания возможно три стационарных режима, из них два (при низкой и высокой температурах) устойчивы, а один (при проме жуточной температуре) неустойчив. Действительно, проверка условий (V.26) отрицательности вещественной части корней харак теристического уравнения приводит к условию dQ^dT ]> dQ-JdT (Qi и Q2 — те же, что и на стр. 158), т. е. наклон линии отводи мого тепла в устойчивой точке должен быть больше наклона линии подводимого тепла. Вообще исследование устойчивости в таких аппаратах не вызывает затруднений при использовании методов, описанных выше (стр. 160, 163).
Для аппаратов идеального вытеснения необходимо исследо вание устойчивости только в случае сложных краевых граничных условий.
* det (Ai—«и |
— «12 |
= А** — («л + «23) А + («Ц«22 — «12«2l) ™ 0. |
I «21 |
А—Яда |
|
167
Наиболее общий случай представляют процессы со сложной кинетикой, протекающие в аппаратах с ограниченным перемеши ванием. Хотя критерий единственности для таких систем получен выше (с. 166) и позволяет создать устойчивый процесс, рассмот рим удобный метод исследования и неустойчивых режимов, по скольку они могут возникнуть в производственных условиях.
При этом |
не будем прибегать к линеаризации, |
описанной на |
||
с. 165, |
а |
применим усреднение переменных, |
которым |
поль |
зуются |
многие авторы. В частности, Вольперт |
и Худяев |
[15] |
широко используют усреднение для перехода от задач с распреде ленными параметрами (аппараты с ограниченным перемешива нием) к задаче с сосредоточенными параметрами (аппараты идеаль ного перемешивания).
Рассмотрим случай, имеющий практическое значение, когда состояние системы можно охарактеризовать концентрациями двух веществ и температурой, т. е. для реакций типов:
и т. п
Для реакции последнего типа в аппарате с продольным переме шиванием запишем уравнения материальных балансов по вещест вам А и В и уравнение теплового баланса (эти уравнения характе ризуют нестационарный процесс в реальных реакторах). Для общности перейдем к безразмерным переменным:
где
Е
в
е пт„
168
Здесь gi — массовые доли компонентов; р , р — плотности потока и твердой фазы; е — доля свободного объема; б?с — поток
сырья (кг/я); GT — тепловой |
поток |
(кДж/ч); |
к\ = |
kie~Ei'nT — |
константы скорости р'еакций; |
А = Х/рс; остальные обозначения |
|||
те же, что и выше (см. главу II). |
|
|
|
|
Эта модель описывает достаточно |
общий |
случай, |
но удобна |
и в качестве примера исследования сложной системы. Поставим задачу: оценить значения параметров процесса, прй которых возможно скачкообразное увеличение стационарной температуры в реакторе при условии, что на входе аппарата температура
задана: |
(V.31) |
^(т, 0)=Г0 |
а на выходе происходит свободный теплообмен с внешней средой:
Г дТ |
— |
П |
|
|
|
b |
r |
+ '* < r - !r5 j (_t |
-О |
(V-32) |
|
где Т 0 — температура |
холодильника; |
h — отношение |
коэффи |
циента теплообмена с внешней средой к коэффициенту внутрен ней теплопроводности.
Таким образом, краевые условия для безразмерной темпера туры имеют вид:
0 (t. °) = ° [ - £ + (°- е а Ц = о
Метод решения поставленной задачи состоит в следующем. Интегрируя уравнение теплового баланса, получаем обыкновен ное дифференциальное уравнение
d f |
— — |
(V.33) |
— |
вф [Т)—б (т—т°) |
для «средней» температуры
_ L
r = J т (т, i)v(i)di
о
где v (I) — функция, подобранная таким образом, чтобы уравне ние (V.30) перешло в (V.33); Г°, б — параметры, зависящие от
.физических параметров процесса; Ф (Т) — линейная комбина ция экспонент из (V.30).
Оценки величин показывают, что реальным перепадам темпе ратуры по длине реактора может соответствовать только мини мальное (устойчивое)* положение равновесия уравнения (V.33). Функция Ф (Т) такова, что минимальное положение равновесия Т при некотором «критическом» значении 6 = 6 * имеет скачок к Г *
* Неустойчивые стационарные режимы не представляют в нашей задаче практического интереса.
169
(рис. V-5), причем величина Г* соответствует практически недо пустимым температурам.
Если параметр S > 6 * , в возмущенной системе устанавли вается «низкотемпературный» стационарный режим, отвечающий
Т <5 Т*. Если параметр б, уменьшаясь вследствие внешних при чин, достигнет критического значения б*, то в системе произойдет тепловой взрыв: распределение температуры при т — со будет
быстро приближаться к стационарному, отвечающему Т ^ Т*. Таким образом, для полного решения поставленной задачи
нужно найти критическое значение б = 6*-
Рис. V-5. Скачкообразное изменение стационарного решения уравнения (V.33) при б=
=6 »:
а— для а = 1; б — для 0 < а < 1.
Излагаемый ниже подход развит Л. А. Острером. Тепловое уравнение можно записать в виде:
i r = £ i°i+ f <e) |
в* - .= ° |
[ - 5 г + '‘ <е - а д ] „ 1= о |
fe> 0 |
||||
(V.34) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Показано |
[15, 16], что справедливо |
условие: |
|
||||
|
|
JГ L [0] v d x - a v (1) hQi+ |
Jл1 0LJ [у] dx |
(V.35) |
|||
|
|
о |
|
|
о |
|
|
Здесь L — линейный дифференциальный оператор: |
|
||||||
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
г * г |
1 |
d*v , г |
dv |
|
|
|
|
L o И |
- « |
dxZ |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
„=„(*> |
*<0)=0 |
[ - s r + ^ + v ) ! , , ’ |
|
||||
причем имеются |
только отрицательные собственные |
корни А^- |
|||||
(к — 1, 2, |
...). Первая собственная функция LJ отлична от нуля |
170