книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

162

ГЛ. IY . СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

функция па W*, то для каждого / е

Сь (R d)

Е

{

(X

(

/

(

(Ж)

(s)) -

j- (■А/){и, Ж)/du) F {Ж)

-

Е

|

l

(Жi

^. m (

/*

(Жч) )

(

*-

)(А)Щ {и,-/

£

F (Ж1,| ) ,

)

J

=

(2.10)

где

оператор

АМ определяется подобно оператору А посредством

а г.

и

(5;..

Из уравнения

(2.10)

следует, что

(Ж (

-0

/ {Ж(0)) -

t

/

J (Af) (и, 1 ) du

О

является

{8Tt) -мартингалом,

где

t =

П

(и); u ^ .t

+

е].Таким

г>о

(2.4).

образом, X — процесс, удовлетворяющий условию

меры д

яв­

З а м е ч а н и е

2.1. Условие

компактности

носителя

ляется техническим, и от пего можно избавиться. Действительно,

как следует

из

вышедоказанного,

для

каждого

l e R 1 существует

решение X м такое, что

д =

б*. Пусть!3» =

Р*<х). Если сможем

вы­

брать

Р„

таким

образом,

чтобы

функция

х >-*• Рх

оказалась

&(Rd /&(!P(Wd )-

или ^>(Rd)/J?(^,(W<!) )-измеримой*),

то

Р (•) =

=

J n(dx)Px (-)

была бы вероятностью на (Wd, 3?(Wd)) , — удовлет-

R<*

воряющей условию (2.6). Такой выбор всегда возможен вследствие

общей теоремы о выборе ([160], с. 289).

Предположение

ограниченности

а и ^ может быть ослаблено,

но некоторого рода ограничение порядка роста а и [J является не­

обходимым, чтобы гарантировать существование глобального реше­

ния (т. е. решения, определенного

для всех

t е= [0,

°о)). Мы, одна­

ко, не будем рассматривать проблему этого рода в общем случае

(см., например, [106] и [48]), а только в случае уравнений марков­

ского

типа.

Пусть а (х) — (аЦх)): Rd>-»• Rd <g> Rr и b(x) = (bi(x)): Rd

Rd

не­

прерывны. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциаль­

ное уравнение:

dX(t)=a(X(t))dB(l)+b(X{t))dt,

(2.11)

или, покомпонентно,

dX{(*)=

2ajUX(t))dfi*(t) + b*(X(t))*,

« =

1, 2,

..., d.

fc=i

*)

^ (W d) — множество всех вероятностей

mi

(Wd, 31(Wd) )

с

топологией

слабой сходимости

(см. главу I, § 2).

§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ

163

Цели х

и х^-Ъ(х) непрерывны,

то согласно

теореме 2.2

нам известно,

что существует решение

(2.11) для каждого задан­

Пусть

Rd =

U{Л} — одноточечная

компактификация

R*

и

Wd=

{ик [0, о о ) э ( ь > w(t) е

Rd

непрерывна и такая, что

t}.

если w(t) = А, то w(£') = А для всех t' >

Пусть

Jf(W a) — о-поле,

порожденное

борелевскими

цилиндриче­

скими множествами. Для w е W d мы полагаем

е(ш) =

inf(f; w(t)— A)

(2.12)

и называем e(w) моментом взрыва траектории w.

уравнения

О п р е д е л е н и е

2.1.

Под

решением

X = {X(t))

(2.11)

мы

подразумеваем

(Wd, 3$(Wd )-значный

случайный

эле­

мент,

определенный

на

вероятностном

пространстве

(Q,

ST,

Р)

с

ПОТОКОМ

такой,

что

(&~,)-броуновское движение B = (B(t))

(I)

существует

/ мерное

С Й(0)~ 0;

согласован с

(^”<), т. е. для каждого t отобра­

(I!) Х ^ (Х (1 ))

жение со

X (t, ©) е

Rd

Т г измеримо;

(III) если е ( © ) = e(X(to)) — момент взрыва X (© )e W ‘I, то для

почти всех ©

г

*

*

4 (X (*)) dBk (s) +

X l(t )~ X* (0) =

2

j

Ь1 X(s))J ds,

i =

1 , 2 , . . . ,

d,

,l~l о

0

для всех t s [0, e (©)).

З а м е ч а н и е

2.2. Стохастический интеграл

t

f e [ 0 , e ( c o ) ) ~ $ai{X{s))dBh(s)

0

определен

корректив, так

как

если o „ ( w) = inf { t : |X(1) I S* n),

TO

ok (X (s))/{0n((o)>s)

ограничен no

(s, ©)

и, следовательно,

t

<Лстп(и)

j

el (X {$)) I{on(a>)>s} dB

(s) =

J

(X (s)) dB

(s)

о

о

определен для

t e= [0, °°). Таким образом,

отображение t e

[0, o„) ►-»■

t

►-*•| ol(X (s)) dB (s)

определено

для всякого n = 1,

2,

...,

и поэто-

о

И*

164

ГЛ. ГУ. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

му оно определено на [0,

е ( и ) ), так как е (со) = lim оп (ш). е (со) на-

зывается моментом взрыва решения.

nfoo

Единственность решений, потраекторпая единственность реше­

ний и т. д. определяются так же,

как и в § 1

(лишь с

заменой

W dна W a) .

Т е о р е м а

2.3. Для заданных

о(х)='(оЪ{х))

и Ъ(х) = (Ъ‘ (х))

рассмотрим уравнение (2.11). Тогда для любой

вероятности

р, на

(Rtf, ^ (R '')) с

компактным носителем существует решение

X =

= (Х(£)) уравнения (2.11) такое,

что распределение Х(0)

совпа­

дает с р.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как и в предложении 2.1, достаточно по­

на вероятностном пространстве

(Q,

Р) с

потоком

t)

такого,

что

X

t)-согласован,

Р ( Х ( 0 ) е dx)= p(da;)

и

для

каждых

/ е

Сь (R d)

и

п =

1, 2, .. .

<Д

/ ( X( t

Д ст„)) -

/ (X (0)) — J

(Aj) (X (s)) ds

О

является

(^"j)-мартингалом. Здесь

<jn = inf {f*, 1X (f) |^ п} и

(Af) (х) =

4

2

ail (х)

(*) +

2

bi м

^

и .

r

i,0—l

i — 1

aij (x) — 2

CTfe (x) ¥)■

ft=l

Rd, та­

Пусть

p ( x ) — непрерывная

функция,

определенная

на

кая,

что

0 < р(х) «S 1

для каждого

i s R ' a

ограничены

все функ­

ции

p(x)aij(x)

и

р (х) Ъ1(х). Ясно,

что мы можем выбрать такую

функцию. Пусть

(Jf)(x)=p(x){Af)(x) .

Согласно теореме

2.2 су­

ществует d-мерный непрерывный

процесс X = (X(t)J

(т.

е. W d-

значный

случайный элемент)

на пространстве (О,

Р)

с пото­

ком

(#■,)

такой,

что P ( X ( 0 ) ^ dx)== p(dx)

и

для

каждого / е

е

С% (R d)

,

/ (X (0) -

/ (Х(0)) -

J (Л/) Сх (s)) ds

О

является (&"t)-мартингалом. Положим

t

A ( t ) ~

f p ( * ( . ) ) *

(2.13)

И

О

оо

е =

j р (X (s)) ds.

(2.14)

О

§ 3. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

169

t

E(\X(t A a n)|a)< £ (| X (0 )| a) +

Cj { l + £ ( | X ( s /\o„)|a)}ds.

О

Отсюда мы можем заключить, что

£ (| Х (* Д<т„)|2) < { 1 +

£(|Х(0)|2) } е « - 1 .

Устремив в к « , получаем

Я (|Х (<)|2< { 1 +

£(|Х (0)|2)}е“ - 1,

что и завершает доказательство.

является

достаточным условием

Таким

образом,

условие (2.18)

отсутствия

взрыва

у решений.

Более общий

критерий отсутствия

взрыва будет дан в § 4 главы VI.

Итак,

предположим, что

заданы

о (х) = (ok (*)):

Rd^ R d<g>Rr и

b(x) = (b‘(х)): Rd -*■Rd,

которые

предполагаются

непрерывными,

если

только

не оговорено

противное. Рассматриваем

следующее

стохастическое дифференциальное уравнение:

dX(t)=o{X(t))dB(t)+ b(X(t))dt,

(3.1)

или, покомпонентно,

dX*(«)-

2 ak{X(t))dBk{t)+y(X(t))dt,

i -

1, 2, ... ,d .

fc=t

Т е о р е м а

3.1. Предположим,

что о{х)

и

Ь(х) удовлетворяют

локальному условию Липшица, т. е. для каждого N > 0 существует

константа KN> 0 такая, что

KN| х — у

| а

IIо(х) — а(у) |

2+

1 Ъ(ж) — Ъ(у) |2 <

(3.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть (X, В)

и (X', В' ) — любые два

решения уравнения (3.1),

определенные

на одном и том же веро­

ятностном пространстве

с

одним

и тем же потоком, такие, что

Х ( 0 ) = Х ' ( 0 ) = х и B(t)=B'(t).

Достаточно показать, что

если

о* — inf { t : lX(f) I >N )

и (TJV =

inf {t: X' ( f ) ^ N}, TO ON =

O’ N и

170

ГЛ. IV. СТОХАСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

X (t) =

X' (t)

для всех t

Од-, N =

1 , 2 , . . . Но

/

(ДОд'ДСТд-

X ( i Д

Од- А

Од-) —

X ' { t А Од- Д Од ) =

j

[О ( X (у)) —

о

/

*АаЛ'АaiV

-

о (X' (у))] йВ (у) +

f

[Ь (X (у)) - Ь (X' (у))] ds

о

и, следовательно, если t

[0, Г],

£ ( | X (г Л од- Л «АО - X ' (г Л од Л А ) 1*1 <

<2Е\

S

[о (X (у)) — о (X' (у))] dB (у)

+

«Дстд-Дстд-

+ 2Е

[Ь (X (у)) - Ь ( Х ' (y))]ds

< 2 Е

J

\\a(X'(S ) - a (X ' (s ) )f d s

+

It/\°.X/\°N

i

\b (X (y)) — b (X' (y)) |2 <Ы ^

o

)

<

2E jj ||o(X (у А Од- Л A )) — о (X' (у A Ov Л А )) 1Г dsj +

+ 2ТЕ { f |b (X (y A o . v

A A )) - b (X' (y A o . v A A )) l2

<

t

< 2Хд (1 + T) J E {I X(y A o.v A OJV) -

X' (y A o* A A)l*l

0

Из этого перавепства легко следует, что

Е ( |X (t А оЛ- Л А) — X ' (гЛ o . v

Л А) I2} =

о для

всех

t е [0,Л*

и поэтому, устремив Т t °°, получаем

X (г А Од- Л А) = X' (г A

Л Од) П. и. для всех г > 0 .

Так как X

и X '

непрерывны

по t

п. н„

то мы

заключаем,

что

X (<) =

X' (t)

для всех t е

[О, од А А) п. н.

Отсюда, очевидно,

еле-