книги / Составные стержни и пластинки
..pdfОбе функции V, и У2 должны удовлетворять указанным гранич ным условиям. Видим, что при этом правая (а следовательно, и левая) часть выражения (7) будет всегда равна нулю. Отсюда сле дует, что при ос1 Фос2
i
) \ у . а . х ~ о .
Таким образом, доказывается, что собственные функции урав нения (5) взаимно ортогональны при любых граничных условиях на концах стержня. Поэтому любая функция может быть разло жена по ним в ряд Фурье. Эти собственные функции, как это сле дует из решения уравнения (5), имеют вид:
|
Y = a sin (ос х +/5), |
где |
- постоянные. |
Их вторые производные равны У',,= a k z sin ( k x + fi), поэтому при подстановке в уравнения (5.17) общий множитель sin ( kx можно вынести за скобки и сократить, причем оставшаяся система будет системой обыкновенных линейных уравнений.
Собственные функции Y можно представить себе как формы выпучивания сжатого прямолинейного стержня постоянного сече ния с упруго поворачивающимися, но не смещающимися в попе речном направлении концами (рис. 29). Длина такого стержня должна быть равна длине рассматриваемого составного стержня, а граничные условия, выражающие зависимость между прогибом У и углом поворота на концах, должны соответствовать задан ным однотипным граничным условиям (4) составного стержня, выражающим ту же зависимость, но между значениями Т. и Т* = 2Г..
Гл а в а 4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
САБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ
15. НЕСИММЕТРИЧНЫЙ СТЕРЖЕНЬ ИЗ ТРЕХ БРУСЬЕВ
Применим полученное выше решение к случаю составного стержня с двумя швами. Характеристические числа и /^опреде лятся из уравнения (11.6):
2 |
2 2 |
^2.^21
Решая это уравнение, получим:
л\ г 7 |
V * * А Р * № |
М |
, г W |
' V |
* л% < | 5 | > |
|
Для определения коэффициентов |
и 1к |
составим уравнения |
||||
(11.5). При Л=Л,: |
|
|
|
|
|
|
< * 1 * 1 ,-* Ы 11 + 1Ь $ 1 й п и* 1 ~ 0 ' |
|
|
||||
|
Л ,г U1t * ( ^ й г 2 - A l ) и г1=0. |
|
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
U-Z1 _ |
h 1 |
$ 1 А 11 |
i |
%1 $ 2 А |
2 1 |
(15.2) |
и 11 |
K T 2 * 12 |
|
|
|
|
|
Для того чтобы нормировать коэффициенты |
и „ и |
UZ1, введем |
||||
обозначение |
|
|
|
|
|
|
“г , / “ „ = < г п
тогда
и г, * и , 1 * 9 *
и, согласно условию (11.7):
Отсюда: |
К , * О |
п |
и« |
' J |
~ & |
1 1 |
= cos %
' и /c o s * ? * 1. = Sin Ч>.
и 22 |
|
(15.3) |
|
и 1Z |
Н ' Ь л г< |
||
Х \ - $г 4 « |
Из (1) видим, что
Аг $1 |
- ~ (^1 ~ $2 ^ 2 2 ) ' |
Полому, сопоставив (2) и (3), найдем, что:
“ гг I й ,г = ' “ гг / и г<= ~ c i 9 *
Отсюда получим, применив условие (11.7):
и 1 г - ~ sin V7; u Z2 - Cos 9.
Таким образом, матрица коэффициентов и. имеет вид
“ гг |
cos У |
- sin |
|
|
|
|
|
и ы и &г |
sin Ч* |
cos |
Ч> |
|
|
|
Теперь можно написать выражения для обобщенных неизвест ных (H .I8):
= ( 1 / / 4 ^) cos tPT, + ( 1 / УТ2 ) s i п V Тг ; |
(15.4) |
|
|
f z ~ - ( l / ' f ? i )sir\4>T1 + (7/V%)COS4' Tz J |
|
и для обобщенных нагрузочных членов ( I Ы 4 ) : |
|
R, =A10 ^ и„ +й20 Щ и,2 |
co sV - A ^sin V ); ' |
|
|
|
(15.5) |
“г,+йго |
“г г ^ г |
( ^ S h v + A ^ c o w ) . |
Основная система уравнений составного стержня:
т,т/*гя Л „ тг + *ггтг + Аг>'>\ |
(15.6) |
тг ' К г = & Ж1т, * л г г тг * Л** / |
|
Тг " = Л\ Т + * г-
Решения этих уравнений следующие:
Т -A sh^x+dchA.x + Y ЛfR1(tJsh[A1(x-t)]ctt,
1 |
1 |
7 |
7 |
7 |
Лл |
* |
' |
|
|
|
|
|
|
О |
|
f |
-A2sh*2X + B£ chA^x * у |
JКRz (tJsb (\2 ( x - t ) ] d t . |
Обратный переход от функций Г, и Т2 к сдвигающим усилиям Tf и Т2 производится по формулам (П .19) :
^ cos Ч>Т1 ~ VTjStn V Т2 ;
Tz = |
sin |
cos4>T2 . |
Таким образом, для расчета составного стержня из трех брусьев с помощью линейных преобразований (4) и (5) вводятся такие обобщенные неизвестные силы и нагрузки, при которых основная система дифференциальных уравнений распадается на два независи мых уравнения, и задача (в случае однотипных граничных усло вий) сводится к расчету двух составных стержней, каждый^ с од ним ’’обобщенным швом”, по которому действуют усилия т1 или У2 В частном случае симметрично составленного стержня эти два расчета соответствуют случаям симметричной и антисимметрич ной работы стержня.
Вместо алгебраического решения характеристического уравне ния (I) можно использовать графический способ, известный под названием круга Мора, позволяющий находить компоненты тензо ра второго ранга в пространстве двух измерений и в произвольной системе ортогональных осей координат (напряжения или деформа ции в точке, моменты инерции площадей плоских фигур, кривиз
ны нормальных сечений поверхности и пр.). Круг Мора дает графи ческую интерпретацию линейного преобразования любой сим метричной матрицы или квадратичной формы второго ранга при повороте осей и, в частности, может служить для решения векового уравнения второй степени.
Откладываем по горизонтальной оси отрезки длины, которые в определенном масштабе равны ^ Д1ли $Z A 22$MC. 3 0 ).От получен ных точек А и в соответственно вверх и вниз откладываются отрез ки AM W.BNв том же масштабе, равные ^Л гЧ г-Затем на линии MN,
как на диаметре, строится окружность, которая отсекает на оси ОХ отрезки А* и А2г 2 Для доказательства определим геометрически длины отрезков А
и А]
I2 QA + OB |
(АН _ |
\ i i $1 ^ 1 1 |
» |
л, |
j. |
А? — г - |
+ ~ г -----------1 |
+ V\ |
/ ъ Ь й,г > |
||
аналогично |
|
|
|
|
|
Д * ^ 3 » . |
|
^ |
^ |
4 , |
Полученные выражения совпадают с формулами 0 ).
Из этого же круга легко находится угол V, с помощью которого выражаются коэффициенты "л - Этот угол образован осью ОХ и ли нией MD. Действительно,
tg V s |
AtA |
AM |
/$« 4я. |
f |
АТ) |
FB |
Л* - §2^22 |
|
что совпадает с выражением (2). Линия AWповернута относительно оси ОХна угол 2Ч>.
Положим теперь, что все брусья, входящие в составной стер жень, имеют одинаковое сечение и расположены на равных расстоя ниях одни от других. При этом коэффициенты дифференциальных уравнений составного стержня, согласно формулам (5.14), равны:
A* |
|
* |
£ f______ (о |
+ .. |
|
)• |
|||
F E |
/пЕЗ7EJ |
“ |
FE |
V |
|
t n v z r |
|||
A\£-1 |
|
FE |
* |
tnED |
FE |
\ m r : |
|
||
A |
- |
|
C‘ |
|
1 |
C --- 1> |
|\ k - i \ y l ) |
||
A i' * ~ m £ 3 - F E |
t n v z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
M°c |
_ |
j |
|
|
A “>------- F£ |
|
fnE J |
“ |
FE |
V |
с т т z / |
|||
Здесь т - |
число отдельных брусьев; |
р =* fj/F |
_ радиус инерции площади |
поперечного сечения каждого бруса; ANc — разность продольных сил в двух брусьях основной системы, находящихся по обе стороны t -го шва.
Дифференциальные уравнения (5.18) принимают вид :
|
|
|
|
|
|
|
11Т2 + ~ |
Т |
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
т ? 2- |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Сг |
о |
М°с |
|
|
|
|
|
|
|
|
trip2 |
|
mpz * |
|
|
|
||
" |
E F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tz |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ -----T T +AN. - |
M°c |
> |
|
0 6-1) |
|||
|
|
|
|
|
Пi r z |
h |
2. |
mr* 2 |
|
|
|
" |
EF |
|
v |
mTm |
v |
|
|
|
|
|
|
Tn |
|
4 |
m r z |
1 + |
/77r.2 |
2. + |
|
r5 + |
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
A |
|
— |
|
\ |
о |
M c |
|
|
|
|
|
|
i-Z)Tn + A N ^ - |
m r z |
|
|
|
|||||
|
|
\ m vz |
|
|
л |
|
|
J |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения; |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
E F /$ = J 3; |
c z/ m v 2 ~ V |
M 0c f m T Z =/л. |
( 16.2) |
|||||||
|
|
Тогда уравнения (1) можно переписать:
р г " |
= 0> * 2) Гг * ( 9 - Щ * »Г3 *..* 1Тп +ДМ° * ^ ; |
£ Т “= (1-1>Тг * <)>*Z)r2 * (* -D T3 +.. + >>T *A N °+A<; |
|
|
И16.3) |
A T " |
= *rt +iIT2 * . .. * ( 1 > * г ) Г а * A N ° * M . |
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
|
9 - / |
|
V |
V |
V - 1 |
№-AzJ |
V- 1 |
|
|
|
3 |
|
||
|
9 +£-AZfi... |
|
||
У> |
1 - 1 |
|
9 |
|
9 |
9 |
|
)> |
Sf+г |
Простые формулы для А |
получаются при |
т ~ 2 , т - 3 и т - 4 . |
При / д - 2 единственный корень характеристического уравнения
(16.4)
что, очевидно, является частным случаем формулы (8.4). При т.=3 получим:
Аг= fv +г Т Ц - 1 ) У Р \ Л* =3/1Ь -, Л*= [21*1)1fi
или, подставляя значения 9 и^Зиз (2) и |
3, |
|
1 |
|
(16.5) |
Эти формулы соответствуют частным |
случаям формул (9,5) |
для стержня симметричного сечения, составленного из трех брусь ев. Первое значение Лг соответствует симметричному загружению, авторов обратно симметричному.
При четырех брусьях характеристическое уравнение системы (3) приобретает вид
9+2 - X 1f i |
9 - 1 |
9 |
|
|
|
9-1 |
|
9 + 2 ~ * Zf l |
9 - 1 |
= О |
|
V |
|
9 - 1 |
9+2~A2j3 |
|
|
или после раскрытия определителя |
|
|
|
||
(9+2 - f y ) 3+29(9~if-(i>+2-AzJ i)[9 2 + 2 ( 9 - l f " l = 0 , |
(16.6) |
||||
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
9 |
+ |
2 |
- |
(16.7) |
можно представить уравнение (6) в виде |
|
|
|||
у 3- у [ 9 г+2( 9-1)г] + 29(9-1)г =0, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
У^9; |
у2 3 |
± 1/2(-9±1Э9г~1&+ 8 '). |
(16.8) |
||
Определяя из |
(7) |
|
|
|
|
|
Л2 = {•) +z - y ) f f l |
|
|
|
|
и подставляя в это равенство значения 9 и)3 из |
(2) и /77—4, полу |
||||
чим из формул (8): |
|
|
|
|
а2 = г /А = - г $ 1 ( е т
гэ>> + *±\/9>>*-1е>>+в'
'* .з = |
Тр |
(16.9) |
|
■Мт |
|
С*1 |
|
" 4 6Н |
г 41 |
||
£ |
Каждому А* соответствует определенное тождественное соотноше ние между сдвигающими усилиями во всех трех швах. Эти соотно шения выражаются коэффициентами и с>к , вычисляемыми с по мощью уравнений (11.5) и (11.6).
Проделав соответствующие вычисления, найдем, что элементы
матрицы |
|
|
и а |
U12 |
U13 |
U21 |
и г г |
и г з |
U 31 “ зг |
и з з |
|
равны: |
|
|
|
|
|
|
0,7071 i UZ1 - 0 \ |
и j / = _ 0,7041-,'' |
||||
u |
- |
. |
J~ * + fg i> z - ievT h |
|
||
* |
w * > * - « * +4 ’ « i ^ r r № 9 t e ’ |
|
||||
U |
M + ' f e >> - /6V +6 |
|
|
s>>2 - |
+ 5 |
г 06.Ю) |
2i |
T F ty w ~ i6 \> + s ' ’ 23 |
T F |
VT)>*-isi>+s |
9 |
||
|
-'*+tf9$i-169+ 8 |
, „ _ |
|
|
+ e |
|
|
г У9 У2 -161+6 |
J зз |
ZS[ 9 )>г - |
is$+ 8 |
|
Используя эти коэффициенты можно перегруппировать неизвест ные таким образом, чтобы система уравнений (3) разделилась на независимые одни от других уравнения. Новыми обобщенными неизвестными при этом станут (11.18):
% = г г |
(а » т> * и*<г* * и*1Г*> ’ |
|
у!| = |
( Un |
* и 22 ^2 + tli2 Q 3 |
5 е ^ |
<“ » т, + * я 1к * и з & ) - |
Видим, что Т, является симметричной неизвестной, а Та и % -о б ратно симметричными. Свободные члены уравнений (3) должны быть при этом также сгруппированы, согласно формулам Q1.14). Новые обобщенные свободные члены выражаются через первона чальные следующим образом:
|
|
А ю * U2 i ^21 * и 31 А 3 0 ) |
У |
|
/?2 |
“ |
^ t^iz А Ю + ^ 22 ^ 2 |
0 * ^ 32 ^30^ ^ |
> |
Й3 |
” |
(Ui s A 10 + Uz з &2в |
+ |
|
Нагрузочный член Я* группирует симметричные внешние усилия, а нагрузочные члены’ и /?з - обратно симметричные.
Основная система уравнений теперь распадается на три незави симых уравнения: •
которым отвечают решения |
|
|
|
|||
Т . - А - s h A 'X + B .c h A .x |
A. |
Г R . ( t ) s h l b ; U - t ) \ c L i |
||||
t t |
L |
f |
i |
J i |
«• |
( i = 1 , Z 3 ) .
О братный переход от усилий 7^ к суммарным сдвигающим си лам в швах TL может быть произведен по формулам:
7z |
~ |
( U Z1 Т1 |
* и 22 Т2 + UZ3 73 ) ^ |
' |
Т3 |
= |
(u 3i т1 |
+ и.г г \ + и зг тз ) / |
т |
Для практически важного частного случая пакета, составленного из прямоугольных брусьев без прокладок, все найденные величины принимают следующие значения.
Обозначая ширину пакета через d , а высоту каждого бруса или листа, входящего в состав пакета, через h , получим:
г = |
г = \ f W |
c zl r z = n t |
для двухлистового пакета из формулы (4)
Ь = ) 6 1 ; / ( е м ) ; для трехлистового пакета из формул (5)
л ,= \ = b k K e d h Y - , |
(i6.li) |
для четырехлистового пакета из формул (9):
Х ^ \ l2 $ l( E d h ) '= 0 ,7 1 7 l{ $ /( E d h ) ';
V i ^ |
- Ь - M e f i j w o i |
|||
J 13- $ 7 |
i |
1 |
/---------------- - |
|
A3 = V |
2 |
Edh |
s |
1 , 8 1 & U / ( E * A > - |
Причем матрица коэффициентов u ik (10) получит значения: