книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdf
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
ЬЗ |
0 |
0 |
0 |
сЗ |
0 |
-ЬЗ |
0 |
0 |
0 |
сЗ |
|
|
Ь2 0 -с2 0 |
0 |
0 |
-Ь2 0 -с2 0 |
||||||
|
|
|
g |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-д |
0 |
0 |
|
|
|
|
2d2 |
0 |
0 |
0 |
с2 |
0 |
d2 |
0 |
|
|
|
|
|
2d3 |
0 |
-сЗ |
0 |
0 |
0 |
d2 |
|
|
|
|
|
|
А |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
симметрично |
|
|
ьз |
0 |
0 |
0 |
-сЗ |
|||
|
|
|
|
Ь2 |
0 |
с2 |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d3 |
где |
Ь2=121хг/г2, |
|
Ь3=121хз/г2, |
с2=б1хг/г, |
сЗ=61хз/£, |
||||||
d2=2Ixa# d3=2Ix3f g=GIxi/E. |
|
|
|
|
|
|
|
3.2. ИЗГИБАЕМЫЙ ПЛОСКИЙ ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Сплошная изгибаемая оболочка может моделироваться по верхностью из плоских КЭ. В работе [50] приводятся ре зультаты исследования оболочки с помощью такой модели, которые свидетельствуют о ее приемлемости. Конечные эле менты в оболочке испытывают напряжение как от изгиба, так
Рис. 3.2.1 Мембранные и поперечные обобщенные усилия в треугольном КЭ оболочки.
и от сил в срединной поверхности. Им соответствуют неза висимые друг от друга деформации. Предполагая, что дефор мации в КЭ калы, можно составить по отдельности матрицы жесткости для обоих напряженных состояний (рис.3.2.1).
Существенным является вопрос о достоверности модели при разбиении оболочки на треугольные КЭ. Исследование оболочек с отверстиями с непостоянной толщиной стенки и из ортотропного материала не вызывает затруднений. Ап проксимация перемещений, как правило, осуществляется в локальной системе координат. Можно описать функции формы также и в декартовых координатах [50]. Очень элегантно функции формы описываются для треугольных конечных эле ментов в плоскостных координатах (так называемых Ь-коор- динатах). Они имеют то преимущество, что с их помощью
просто и в |
замкнутом виде могут быть вычислены |
интегралы |
по площади |
КЭ . |
|
Любая точка внутри треугольника соединяется с его вер |
||
шинами и площадь треугольника разбивается на три |
части A L |
(L=i,j,k), причем индекс вершины треугольника должен соответствовать индексу части площади, лежащей напротив этой вершины.
Три безразмерных параметра: |
|
а1-=АL/А |
(3.2.1) |
однозначно определяют точку Р(х 1,х2 ) и называются плос костными координатами (рис. 3.2.2). Они взаимосвязаны
Рис.3.2.2. Плоскостные координаты для описания функций формы в треугольном КЭ.
друг с другом: ai+aj+a]c = 1 ,в то время как в декартовых
координатах положение точки определяется двумя координа тами. Из рис. 3.2.2 следует, что
|
|
|
b.(c+dh)-Ь.с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
-L |
JL |
|
|
|
|
|
|
dai = — ЕГЛГ------ |
|
|
|
|
|
||||
где dh = |
h^da^. |
|
|
х |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая,' |
что dA = |
h.da.b.da. = 2Ada.da., |
вычислим сле- |
|||||||
|
|
1 |
х |
л. |
j |
x |
з |
|
|
|
дующий интеграл (рис. 3.2 .2): |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1р |
1-А а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
lmn" |
a‘!'aIlaPdA=2A |
а Н |
|
т, 1-a^-aj )ndaj jda^. |
(3.2.2) |
|||||
1 3 к |
П |
|
aj( |
|
|
|
|
|
||
А |
|
( |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Внутренний интеграл вычисляется по частям и равен: |
|
|||||||||
|
а |
.n, |
|
|
mini |
|
|
. ,1 |
|
|
|
m. |
|
|
|
а |
m+n+1 |
|
|
||
|
1= х (а-х) dx = ---- ;— |
|
|
|
|
(ш+n+l)I
О
где использованы замены переменных: а=1-а^, х==aj .
Вычисляя интеграл (3.2.2) по частям получим:
|
|
* min! |
1 .л |
.m+n+1 , |
|
||
|
|
|
а.(1-а.) |
da.= |
|
||
|
^ ш Г 2* (m+n+1)1 |
i v |
х' |
х |
|
||
|
mini |
11(ш+n+l)! |
|
mlnil! |
(3.2.3) |
||
|
=2А------------------- =2А-------- |
||||||
|
(m+n+1)1 |
(m+n+1+2 )! |
|
(m+n+1+2 )! |
|
||
Из (3.2.3) видно, |
что |
значение |
интеграла зависит только |
||||
от площади треугольника и не зависит от его формы. |
|||||||
Между декартовыми и плоскостными координатами суще- |
|||||||
ствуют |
следующие зависимости: |
|
|
|
|
||
|
1 1 |
1 |
1 |
|
|
|
(3.2.4) |
|
X “xiai+xjaj+xjc(1-a^-aj ), |
|
|||||
|
х2=х2а^+х2а^+х^(1-a^-aj), |
|
(3.2.5) |
||||
3( |
)/aai=(xf-x^)a( |
)/ а х Ч ^ - х ^ а * |
)/ax2, |
(3.2.6) |
|||
Ц |
)/aaj=(x^-xJ)a( |
j/ax^x^-x^af |
)/Эх2 |
(3.2.7) |
Формулы (3.2.6),(3,2 .7) можно записать в матричной форме:
Da = JDx ' Dx = J 1ра |
(3.2.8) |
Здесь J - матрица Якоби:
где bi=-(Xj-x^)/(2A), с1=(х^-х^)/(2А)г (индексы i,j,k
переставляются циклически).
Вторые производные в декартовых координатах выражаются через производные в плоскостных координатах следующим
образок: |
|
|
|
|
|
Dx (Dx )T = J"lDa (Da )T(J”1)T ' |
(3.2.9) |
||||
или |
|
|
|
|
|
"а2( )/э(хх)2' |
С1 |
2с 1°2 |
с2 |
Э2( ) / д г З |
|
э2( ) / в х 1з х 2 |
а2( )/аа.аа. |
||||
Ь1С1 Ь1С2+Ь2°1 Ь2С2 |
|||||
а2( )/а(х2)2 |
_Э2( )/ва? |
||||
- Ь1 |
2Ь1Ь2 |
Ь2- |
|||
|
|
При деформации оболочки как мембраны перемещения в плос кости КЭ аппроксимируются линейными зависимостями:
{ u \ u 2} = Gsvs , |
(3.2.10) |
G = |
ai |
0 |
aj |
0 |
»k |
О |
S |
О |
а^ 0 |
а^ |
0 |
ак |
|
Деформация оболочки |
равна: |
|
|
|
|
|
Е = D G v = D G v |
|
|
(3.2.11) |
|||
— S |
S S |
Б |
-- S 6 |
|
|
|
где |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
),2 |
• |
|
|
|
|
( |
),1 - |
|
|
|
(3.2.12)
} =НАV V p '
Гз з 3 2 2 2 2 2 2\
\У ak,aiaj'аjakfakai'aiaj'ajak,akai|r
N± 0 |
|
0 |
N. 0 |
0 |
N. 0 |
0 |
|
||
|
0 » 1,2 |
|
0 |
Э |
|
|
k |
|
|
GP |
|
0 Hj,2 0 |
° \ , 2 |
0 |
• |
||||
|
|
||||||||
|
0 0 -IT 1 0 0 -N_. x 0 0 -Nk 1 - |
||||||||
Здесь функции |
формы |
|
имеют |
вид: |
|
|
|
||
N±-a .- (a±a2-aJaj)+ (aka?-a£a.), |
|
(3.2.13) |
|||||||
Nj =aj- ( |
ak-ajak )+ (a^j-a?a^), |
|
(3.2.14) |
||||||
.. |
/ |
2 |
2 ... |
2 |
2 . |
|
(3.2.15) |
||
N, =a, - (a, a .-a, a .)+ (a .a. -a .a. ). |
|
||||||||
k k ' k i |
k i' ' j k j k' |
|
|
||||||
деформация |
равна: |
|
|
|
|
|
|||
|
e |
|
= D |
6 v |
p |
, |
|
|
(3.2.16) |
|
-p |
|
P p |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
- 2 ( ) 11 |
|
|
|
||
|
|
DР |
|
|
|
|
|||
|
|
|
“2( ) 22 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
-2Z( |
>f U J |
|
|
Для описания зависимости между приращениями нагрузки и упругих деформаций воспользуемся законом Гука. Считаем, что свойства материала ортотропны и неизменны по всему
КЭ. Угол между главной осью ортотропии и осью х1 локаль
ной |
координатной системы обозначим |
« (рис. 3.2.3). Пусть |
|
- вектор главных напряжений, а |
сг - вектор напряже |
аг |
ний в локальной координатной системе КЭ. Преобразование одного вектора в другой описывается формулой:
|
|
|
|
|
<r =T<r |
/ |
(3.2.17), |
||
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(£ |
* т |
Г * |
* |
|
|
|
|
|
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ы |
Iн |
|
|
|
|
|
|
|
|
(£)Т = |
{е 11'е22 |
J V 2 ) , |
||
Рис. 3.2.3. Главные |
оси |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
ортотропии |
в КЭ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c o s 2ос |
s i n |
|
ас |
( / 2 ) c o s a |
since |
|
||
Т = |
. 2 |
c o s |
2 |
ос |
-(v^ Jcosoe |
sinot |
|
||
sin |
ос |
|
|
||||||
-(V ^Jcosoc |
sinoc (v'J) cosot |
since |
c o s Оo t-sin 2a |
|
Множители в скобках выбираются из условия ортогональ ности матрицы Т. Вследствие ортогональности матрицы Т
справедлива формула:
|
|
(Г = |
ТТ£* |
|
(3.2.18) |
В силу инвариантности работы справедливы равенства: |
|||||
е |
■р |
= |
Че |
|
j |
а; |
(е )а = (е) Тег |
||||
Аналогичног справедливы |
следующие |
формулы: |
|||
с |
- |
Т е, |
е = |
Тте * |
(3.2.19) |
В координатной системе, оси которой совпадают с главными осями ортотропии, зависимость между напряжениями и дефор мациями имеет вид:
** *
<г “ С е , |
(3.2.20) |
где
|
L |
~V12^2 |
о |
(С* ) |
1/E- |
о |
|
-1 |
I E |
||
|
'V2l/El |
/ 2 |
|
1/(2G)
По |
формуле Максвелла v\2^2~v21^1 |
и' |
следователъно, |
||||
V21E2=V12E1* МатРиЦа |
с |
равна: |
|
|
|
||
|
1 |
' |
E i |
V12E2 |
0 |
|
|
|
0 |
(3.2.21) |
|||||
|
|
V21E1 |
E2 |
2c |
|||
|
V12V21 |
0 |
0 |
(3,3) |
|
||
где |
с*(3,3) |
= / 5 а |
< 1 - А л |
1>/2 * |
|
|
Из формулы (3.2.20) с учетом формул (3.2.17) и (3.2.19)
получим |
следующие зависимости: |
|
|
|
* |
, а = |
т * |
|
Тег = С Те |
Т С Те = Се |
|
Из этих |
формул имеем: |
ТТС *т |
|
|
С |
(3.2.22) |
Компоненты вектора е являются компонентами вектора дефор
маций по направлениям главных осей ортотропии.
Из формул (3.2.11) и (3.2.16) следуют матрицы жестко сти отдельно для мембранных усилий и моментов в пластине для плоского КЗ. При этом матрица упругости С учитывает ортотропные свойства материала с любой ориентацией.
Результирующая матрица жесткости в локальной коорди натной системе КЗ образуется непосредственным сложением
матриц |
жесткостей мембраны |
и |
изгибаемой |
пластины |
(рис. |
3.2.4). |
(МЖ) |
для каждого |
КЗ выби |
При |
расчете матриц жесткости |
рается своя локальная система, координат.
Перед суммированием матрицы жесткостей отдельных КЗ для формирования матрицы жесткости структуры следует преобразовать в глобальную систему координат. Преобра
зование матрицы жесткости КЗ |
|
имеет вид: |
|
|
||||||
где |
|
|
ТтКхТ |
, |
|
|
(3.2.23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(x*,z*) |
/ 1 |
,z |
2 V |
/ 1 |
,z |
3, |
|||
|
cos(x |
|
|
) |
cos(x |
) |
||||
Т - |
cos(x2 |
,z1) |
cos(x2,z2 ) |
cos(x2 |
,z3 ) |
|||||
|
, 3 |
1, |
cos(x |
3 |
|
2 |
) |
/ 3 |
3, |
|
|
cos(x |
,z ) |
|
,z |
cos(x |
,z |
) |
Кs+Кр=К
(ll)s |
<12>s |
(13>s| |
(11,p |
(12)p j (13)p |
|
(21)s |
(22)s |
(23)s | + |
<2 1 >P |
(22)p j |
<23)p |
<3 1 >s |
(32)s |
(33 )s i |
(3i)p |
(32)p | |
(33)p |
i
^11 ^s |
0 |
0 |
(1 2 >S |
0 |
0 |
<1 3 >s |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
(11>p |
0 |
0 |
( 1 2 ) р |
0 |
0 |
( 1 3 ) p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(21)s |
0 |
0 |
(22)s |
0 |
0 |
(23)s |
0 |
0 |
0 |
<2 1 >p |
0 |
0 |
(22 )p |
0 |
0 |
<2 3 >p |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(3 1 )s |
0 |
0 |
(32)s |
6 |
0 |
^33U |
0 |
0 |
0 |
(31)p |
0 |
0 |
(32)p |
0 |
0 |
( 3 3 ) p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Рис. 3.2.4. Схема формирования глобальной матрицы жесткости для треугольного КЭ.
3.3. ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕМНЫЙ КЭ
Для изопараметрического конечного элемента - гексаэдра геометрия КЭ и перемещения в нем описываются одинаковыми
полиномами. |
Локальная система |
координат |
КЭ |
является |
|
трех- |
, двухили однопараметрической в |
зависимости от |
|||
типа КЭ. |
алгоритм формирования |
МЖ является |
одинаковым |
||
Так |
как |
для трех-, двухили однопараметрического КЭ, целесооб разно записать сначала уравнения для трехпараметрического КЭ. Эти уравнения будут содержать неявные связи для двух- и однопараметрических КЭ, которые могут быть раскрыты, если выбрать соответствующие координатные оси и аппрокси мирующие функции.
Рис. 3.3.1. Глобальная и локальная координатные системы объемного КЭ.
Приведен вывод для С° - элемента, вектор деформаций которого содержит три компоненты перемещения. Аппроксинации поля перемещений и координат в общем случае трехпараметрического КЭ записываются следующим образом (рис.3.3.1):
u |
= |
G f X ^ V , |
(3.3.1) |
z |
= |
G(X^)Zif |
(3.3.2) |
G(xj) = flM1(xj),INj(**),...,IN^ (*j )l |
(3.3.3) |
Компоненты вектора перемещений и и компоненты вектора координат точки z описываются в глобальной декартовой системе координат. Здесь компоненты векторов v и z.
являются перемещениями узлов КЗ и их координатами; |
Iх |
G(xJ) |
|
- матрица функций формы для перемещений • и геометрии |
КЗ, |
описываемых в локальных координатах х-* ; I - единичная матрица 3x3; п -число узлов в КЗ.
Соответствие между индексом i в N^(x-5) и комбинацией
индексов р, q, г следует из рис. 3.3.2. Компоненты векто ра перемещений и вектора координат равны:
,,k' |
lmn |
к' |
|
v |
(3.3.4) |
||
u |
=L v (vpqr)N (pqr) |
||
|
p q r |
|
|
|
lmn |
к ' „ |
. j . |
:' г1 |
|||
|
^ |
Z (pqr)N (pqr) |
(3.3.5) |
|
pqr |
|
|
где к'=1,2,3 - обозначают направления координатных осей в
глобальной |
декартовой |
системе |
координат; |
1+ 1, |
т+1, п+1 |
|||
-число точек интерполяции вдоль |
осей |
локальной |
системы |
|||||
координат; |
к' |
|
перемещение |
в |
направлении |
|||
v (pqr )-обозначает |
||||||||
оси zk в точке интерполяции |
р+1, q+1, |
r+1; |
N (pqr)^x"^ |
|||||
-значение функции формы в точке интерполяции |
р+1, q+1/ |
|||||||
г+1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lmn |
1 |
m |
n |
|
|
|
|
|
I |
- l |
l |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pqr p=0 q=0