книги / Теория оптико-электронных следящих систем
..pdfИз условия
7Г 7Г
определяется константа с: |
|
||
с = 2г0. |
|
|
(3.2.17) |
Константа И для случая п = 1 вычисляется из условия |
|
||
Я -4cos2( ——- V |
^ + y ) dx dy = 1 |
(3.2.18) |
|
s |
\ 2 r0 |
/ |
|
и равна |
|
|
|
И = 1,06 го . |
|
(3.2.19) |
|
Теперь аппроксимирующая формула запишется в виде |
|
||
g(x,y) = 1,06 Го 2 cos2^ |
(3.2.20) |
Аппроксимация произведением косинусов четной степени. Распределение освещенности в кружке рассеяния задается формулой
>lcos2" ^ - — ) c0s2" ( ^ ~ ) |
ПРИ |
1*1 |
<>0, |у |< Г о , |
g(x,y) = |
при |
|
(3.2.21) |
0 |
1*1 |
> г0, 1^о I > г0- |
В отличие от (3.2.16) сечение ФРТ в данном случае имеет вид квадрата со сглаженными углами. Величина константы А зависит от показателя степени п и для различных п приведена в [81]. Например, для п = 1 имеем А = Го2. Таким образом, аппроксимация ФРТ формулами (3.2.15), (3.2.20) и (3.2.21) дают близкий результат, что иллюстрируется рис. 3.5, где при
ведены значения аппроксимирующих выражений g ^— , 0^.
Рис. 3.5. Аппроксимация функции рассеяния |
|
точки |
0 |
4 ,0 |
Аппроксимация кружком рассеяния равномерной освещенности. Распре деление освещенности задается выражением
А |
при |
z = у/х2 + у 2 < г0, |
( |
|
(3.2.22) |
|
|
|
О |
при |
z > r0i |
т.е. ФРТ аппроксимируется цилиндром. Условие нормировки дает
A n ri |
= 1, |
|
откуда |
|
|
А= |
=0,318го' 2. |
(3.2.23) |
ЯГО
Аппроксимация равномерной освещенностью используется для оптичес ких систем с пониженным разрешением или с искусственно созданной расфокусировкой.
Наличие аберрации приводит к тому, что пятно рассеяния на краю поля зрения объектива больше, чем в центре, т.е. разрешающая способность на краю меньше. При моделировании ОЭС это явление приходится учи тывать, чтобы получить совпадение реальных характеристик с полученными при моделировании. В этом случае радиус пятна рассеяния г0 делают пере менным в зависимости от величины смещения от оптической оси z = = V P ” + у 1. Хорошие результаты дает описание размера пятна рассеяния линейной зависимостью
г0 |
Г0 |
т щ |
(3.2.24) |
где |
zmax |
= f t g a — максимальное смещение в плоскости |
изображения; |
/3 - параметр, определяемый качеством объектива. |
|
Если заданы размеры кружка рассеяния в центре r 0min и на краю/*отах
(n pH Z= Z max),TO
г0 шах |
- 1 . |
(3.2.25) |
гО min |
|
|
Если разрешающая способность задана в линиях на миллиметр, то |
|
|
0 - ^ лтах |
^ |
(3.2.26) |
|
|
^ л т т
Далее значение кружка рассеяния г0 из (3.2.24) подставляется в аппрокси мирующее выражение для ФРТ.
Описание оптической системы импульсной характеристикой g(x , у) означает описание ее как пространственного двумерного фильтра. Поэто му при теоретическом исследовании и моделировании можно применять методы, разработанные дня одномерных временных фильтров с учетом следующих особенностей. Импульсная характеристика временных фильт ров несимметричная и отлична от нуля только при t > 0 , так как отклик не может появиться раньше приложенного воздействия. Импульсная ха рактеристика пространственного фильтра является четной функцией и су-
182
шествует для всех значений аргументов —00 < х < °°, —00 < >> < °°. Это свойство используется в § 3.5 для моделирования случайных полей. Кроме того, сигнал на выходе временного фильтра запаздывает по отношению к входному; в пространственных фильтрах такого запаздывания (в прост ранстве) не происходит.
Последовательное изложение теории оптических передаточных функций содержится в монографии [81].
П о с т р о е н и е и з о б р а ж е н и я п р о т я ж е н н о г о и с т о ч и и - к а. Импульсная характеристика g (х, у) оптической системы описывает рас пределение освещенности в изображении изолированной точки. Такими точками можно считать малоразмерные объекты на большой дальности, например звезды в системах астроориентации. В большинстве случаев объекты приходится рассматривать как размерные и для вычисления сиг нала на выходе оптической системы использовать двумерный интеграл свертки
Ви (х, у) = /7 Во (pc', y')g (х, у, х \у ') dx |
dy', |
(3.2.27) |
_оо |
|
|
где В0 (х'9у ) — распределение яркости |
объекта |
с учетом масштабного |
преобразования; Ви (х, у) — распределение яркости изображения в фо кальной плоскости оптической системы. Здесь интеграл свертки записан в общем виде для неразделимой пространственно-зависимой функции рас сеяния точки.
Как будет подробно рассмотрено в. § 3.3, при математическом модели ровании изображение задается в дискретных точках X/, у\ с шагом Ах = = Ау = А. Тогда интеграл свертки представляется двойной суммой, ко торая для наиболее часто встречающейся неразделимой пространственноинвариантной ФРТ запишется в виде
Ви (*<> У,) |
'ZBo(xa,y li)g(xi - x a,yj - Ур) Ах Ау = |
|
а |
(3 |
|
= Z 2 B o (x i - x cl,yJ - y p ) g ( x ol,yp)A xAyi |
(3.2.28) |
|
О! |
/3 |
|
где пределы суммирования а и 0 определяются шириной импульсной ха рактеристики оптической системы, т.е. размером кружка рассеяния г0, следующим образом:
^ m i n ~ Рт\п |
“ 7 > а ш а х |
~ 0 ш а х |
7“ • |
(3.2.29) |
|
А |
|
А |
|
Практически это сводится к |
суммированию яркостей точек объекта, ”на- |
крываемых” импульсной характеристикой, с весами, пропорциональными значению ФРТ в соответствующей точке.
Представление преобразования оптического сигнала формулой (3.2.28) соответствует описанию оптической системы как двумерного нерекурсив ного цифрового фильтра. Преобразование изображения цифровым фильт ром можно записать в матричной форме [87]. Распределение яркости объ екта, заданное в дискретных точках, представим двумерной матрицей В0. Импульсная характеристика двумерного фильтра ^(х, у, х \ у ') , задан-
183
ная также в дискретных точках, может быть представлена матрицей G, называемой пакетным оператором. Тогда действие оптической системы можно свести к операции перемножения матриц
Ви = G ^0, |
(3.2.30) |
где В и — матрица, представляющая собой цифровое изображение объекта
ифокальной плоскости оптической системы.
Вслучае разделимой ФРТ матрица G представляется в виде кронекерова произведения матриц
G = Gy [Gx ] \ |
(3.2.31) |
где Gx , Gy —матрицы преобразования по осям х, у соответственно. При этом элементы матрицы G имеют вид
|
Eij, а|3 ” Sia |
5 |
(3.2.32) |
и |
изображение |
на выходеоптической системызаписываетсяследующим |
|
образом: |
|
|
|
|
Bu =Gy B0Gx . |
(3.2.33) |
|
В |
этом случае изображениеобрабатывается отдельно построкам |
и столб |
|
цам, что приводит к экономии вычислений. |
|
||
|
Импульсные |
характеристики оптической системы обычно имеют цент |
ральную симметрию: Gx = Gy = G. Тогда элементы матрицы выходного изображения можно представить в виде [9]
gij = 2 \з С/ Qj< |
(3.2.34) |
где Q = GV, a V& и |
— собственные векторы и собственные числа матри |
цы цифрового изображения В 0. Таким образом, представляется возмож ность использовать не сами цифровые изображения в виде матрицы В 0, а работать с собственными векторами и собствёнными числами изобра жения, рассматривая его как оператор. В ряде случаев такой подход может привести к повышению быстродействия программы и экономии памяти ЭВМ. Подробнее кодирование изображений путем преобразований рас смотрено в § 3.3.
Дискретные значения ФРТ обычно выбирают в количестве 25—30, так что общее машинное время при вычислении двумерной свертки получа ется довольно большим. Поэтому формулу (3.2.28) используют только при построении изображений объектов с переменной яркостью, например случайных полей, описывающих облачный или земной фон. Для объектов заданной геометрической формы и с равномерной яркостью отдельных участков изображение строят с помощью масштабного преобразования (3.2.1), не вычисляя свертки, а ФРТ учитывают только на краях изобра жения в виде краевого следа, т.е. размытого изображения резкой грани цы. В наиболее простом случае равномерной освещенности в кружке рас
сеяния |
(3.2.22) изображение объекта просто увеличивается на величину |
кружка |
рассеяния. Другой крайний случай - моделирование оптических |
систем с высокой разрешающей способностью. В этом случае размер круж ка рассеяния меньше самых мелких существенных деталей изображения
иФРТ можно не моделировать (она вырождается в двумерную б-функцию)
ипроводить только масштабное преобразование.
184
Это можно показать на примере преобразования оптической системой двумерного случайного поля яркости. Пусть весовая функция объектива задана выражением
g(x, у) = g(z) = А е ~ 2у(х2 *у2 * - A e ~lyz2,
где z = у х 2 + у 2 —модуль смещения. Соответствующая частотная харак теристика определяется преобразованием Ганкеля [81]
G(k) = 2 n / g(z)J0(kz)zdz =
|
о |
|
к2 |
= 2 л А f |
ге~ 2у*2/ 0 (kz) dz = — е Ву . |
о |
2у |
Здесь к = ум 2 + v2 —модуль пространственной частоты; и, v — простран ственные частоты по координатам х ,у .
Зададим корреляционную функцию изотропного случайного поля выра жением
Яо(2) = е -* * \
при этом двумерный спектр будет
S0(k) = 2TTfR0(z) J0(kz) zdz =
о
|
к2 |
= 2n f e~az2 J0(kz)zdz - |
— e 4a . |
о |
a |
Как известно, спектр случайного сигнала на выходе линейной системы определяется квадратом модуля ее частотной характеристики, т.е. спектр изображения в фокальной плоскости будет
S„(k) = S0(k)G2(k) =
е |
|
к2 |
л2 _ 3 |
|
к2 |
4 а |
А 2 ж2 -. _ |
|
_ _ |
||
„ € |
4 ^ _ А ._Я. |
|
4 6 |
||
|
4у2 |
|
4ауо |
е |
|
ау |
. |
|
|
|
|
где б = ------- |
|
|
|
|
|
ос + у |
|
|
|
|
|
Соответствующая корреляционная функция равна
1 |
00 |
|
Ди (?) = — |
/ £и (к) Jo (kz) kdk = |
|
2п |
о |
|
|
к2 |
й а |
|
^427г2б |
|
|
46 J o ( k z ) k d k = |
(3.2.35) |
8 с* 7 2 о |
4a72 |
|
Сравним ширину корреляционной функции исходного сигнала и преоб разованного изображения в зависимости от качества оптической системы.
185
При 7 > 5, что соответствует хорошо сфокусированной системе, получим & « а и (z) = / ? 0 (z). В этом случае влияние оптической системы на изоб ражение несущественно и ее учет при моделировании производится только масштабным преобразованием. При у ^ ос, что соответствует сильно рас фокусированной системе, 5 « 7 , корреляционная функция изображения не зависит от входного сигнала и имеет место полное размытие изображения.
Необходимо отметить следующее. Если плоскость объекта и плоскость изображения не параллельны друг другу, т.е. объект визируется под уг лом, то в изображении возникают ракурсные искажения, которые долж ны обязательно учитываться. При этом наряду с масштабным преобразо ванием нужно провести преобразования, связанные с переходом в повер нутую систему координат. Эти преобразования широко известны (см., на пример, [34]) и здесь не рассматриваются.
Моделирование |
анализаторов |
изображения. О б щ и й |
м е т о д м о |
д е л и р о в а н и я |
а н а л и з а т |
о р о в и з о б р а ж е н и я . |
Для опреде |
ления координат объекта изображение, создаваемое оптической систе мой, подвергается анализу с помощью специальных устройств, называе мых, как известно, анализаторами изображения. Анализаторы изображе ния (АИ) располагаются в фокальной плоскости оптической системы и соответствующим образрм перемещаются относительно изображения (или изображение относительно их). При этом световой поток модулирует ся или развертывается во времени. Часто анализатор изображения одно временно является и фотоприемником.
Анализаторы изображения решают три основные задачи.
1.Преобразование пространственного распределения светового пото ка в функцию времени (электрический сигнал) для дальнейшего усиле ния и преобразования средствами электроники.
2.Выделение полезного сигнала от объекта из фоновых помех, т.е. осуществление пространственной фильтрации, в результате чего повы шается отношение сигнал/шум,
3.Определение координат объекта в системе координат оптико-элект ронной системы, т.е. внесение в электрический сигнал определенным об разом закодированной информации о положении. Это дает возможность осуществить автоматическое слежение за объектом.
Рис. 3.6. Преобразование сигнала анализатором изображения
В общем виде преобразование сигнала анализатором изображения и фо топриемником показано на рис. 3.6.
Различные типы анализаторов изображения рассмотрены в [14, 67, 121]. В соответствии с табл. 3.1 по степени разложения оптического изображе ния на отдельные элементы анализаторы изображения можно разделить на следующие группы.
1. Модулирующие АИ без разложения изображения с интегральным фотоприемником.
186
2.Матричные АИ, простейшим примером которых является четырех площадочный анализатор изображения.
3.Растровые АИ, производящие развертку изображения, частным слу чаем которых является телевизионный анализатор изображения.
В дальнейшем будут рассмотрены методы моделирования анализаторов
каждой группы.
Моделирование анализаторов изображения является центральным мо ментом в модели оптико-электронной системы. Отметим, что этот вопрос
Рис. 3.7. Оценка точности модели рования анализатора изображения
практически не освещен в литературе, за исключением небольшого раз дела в [99]. Основная трудность заключается в вычислении доли сигна ла, прошедшего через анализатор изображения сложной формы на фотоприемник.
Электрический сигнал на выходе фотоприемника при условии постоян ства его чувствительности S по полю зрения равен
u = S f fE a (х, у) dx dy, |
(3.2.36) |
D |
|
где Еи (х, у) — освещенность в |
точке фотоприемника с координатами |
(х, у); D — площадь засвеченной части фотоприемника или прозрачной части анализатора изображения.
При сложной форме анализатора изображения интеграл (3.2.36) анали тически не вычисляется, поэтому его приходится находить численным ме тодом, записав выражение (3.2.36) в виде двойной суммы
пI
u - S 2 2 Еи (xh yA А х Ау. |
(3.2.37) |
1- 1 / = 1 |
|
Здесь ЕИ(Х(, yj) — изображение объекта в дискретной форме с шагом
Ах = Ау = А, т.е. цифровое изображение.
Вэтом случае для каждой точки изображения с координатами (*,-, уу) производится проверка попадания ее в область D и суммирование выпол няется только для значений изображений Eu (Xj, yj), попавших в эту об ласть. Границы области D задаются аналитическими выражениями, вид которых зависит от конструкции анализатора изображения.
Очевидно, что точность выражения (3.2.37) возрастает с увеличением л и / , т.е. с уменьшением шага дискретизации А. Однако при этом сущест венно возрастают вычислительные затраты. Оценим точность этого мето да в зависимости от шага дискретизации. Рассмотрим простейший анализа тор изображения в виде вращающегося полудиска, приведенный на рис. 3.7, а. Изображение точечного объекта примем в виде кружка рассея-
187
ния радиуса г0 с равномерным распределением освещенности. На рис. 3.7, б в более крупном масштабе показан момент прохождения края
модулятора через |
изображение объекта, заданное в дискретных точках |
с шагом Ах = Ау |
- А. При использовании формулы (3.2.37) максималь |
ная ошибка получается, когда элементарная полоса шириной Ах распо ложена параллельно краю модулятора. Эта ошибка пропорциональна пло щади полосы
A umax=2Sr0A. |
(3.2.38) |
Амплитуда сигнала на выходе модулятора пропорциональна площади пятна рассеяния
^шах “ Злго • |
|
(3.2.39) |
Тогда максимальная относительная ошибка равна |
||
Аишах |
2 |
А |
5max |
я |
(3.2.40) |
wmax |
Г0 |
Минимальная ошибка, очевидно, равна нулю.
Поскольку ориентация изображения объекта относительно края модуля тора произвольная, примем распределение ошибки равномерным. Тогда среднее значение ошибки равно
т8 |
^шах |
^min |
1 |
А |
(3.2.41) |
2 |
|
||||
|
|
я |
г0 |
|
|
а дисперсия |
|
|
|
|
|
<75 |
(^max + ^m in) |
|
± у . |
(3.2.42) |
|
12 |
|
■ |
|||
|
|
и Го/ |
|
||
Среднеквадратическое значение ошибки равно |
|
||||
оь - |
1 |
А |
|
|
(3.2.43) |
|
|
|
|
4 у/Ъ 'о
Выразив радиус пятна в относительных единицах г0/А, найдем количест во точек изображения в кружке рассеяния
N = я |
') . |
|
(3.2.44) |
Например, для г0/А = 3 получим |
|
||
т8 = 0,106, |
о8 = 0,061, |
N = 28. |
Таким образом, при количестве точек в кружке рассеяния около 30 получаем среднюю ошибку порядка 10%. Повышение точности вычислений достигается увеличением отношения г0/А, однако при этом, как видно из (3.2.43) и (3.2.44), точность вычислений повышается пропорционально
188
первой степени этого отношения, а количество точек, т.е. объем вычисле ний, пропорционально квадрату отношения. Следовательно, повышение точ ности вычислений влечет за собой резкое возрастание вычислительных затрат. Поэтому при математическом моделировании всегда нужно нахо дить разумный компромисс между точностью и объемом вычислений.
Рассмотрим алгоритмы моделирования некоторых наиболее распростра ненных анализаторов изображения.
В р а щ а ю щ и й с я п о л у д н е к. На рис. 3.8 приведен анализатор изображения в виде вращающегося непрозрачного полудиска. Такой анали затор изображения определяет координаты объекта в поле зрения оптико электронной системы по сравнению фазы модулированного сигнала с фазой опорного [67].
Введем системы координат: О к хк у к — система координат, связанная с оптической системой (система координатора), оптическая ось перпенди кулярна к плоскости рисунка; Ок хму м — подвижная система координат, связанная с вращающимся модулятором; Оху —система координат, свя занная с центром изображения объекта. Для определенности будем рас сматривать в качестве объекта точечный источник, тогда его изображение
будет |
кружком |
рассеяния радиуса г0, освещенность внутри которого |
g (x,y) |
задается |
в дискретных точках с шагом А. Модулятор вращается |
с угловой скоростью сом .
При моделировании прохождения оптического сигнала через АИ нужно для каждого момента времени t определить положение модулятора и затем определить точки изображения, попавшие на прозрачную часть. В этом случае алгоритм выглядит следующим образом.
Для известных координат центра хц(г), у ц (t ), вычисляемых по отдель
ной программе, находим координаты точки |
ац изображения в системе |
|||||
^к*к.Ук • |
|
|
|
|
||
*/ = *ц(0 + г'Д, |
У} = ^ ц(0 |
+ /А. |
(3.2.45) |
|||
В подвижной системе модулятора координаты этой точки будут |
||||||
•^мi |
%i COS |
t |
+ уj sin |
t , |
(3.2.46) |
|
Ум} = yj cos coMr |
- Xi sin 00Mr. |
|||||
|
||||||
Легко |
видеть, |
что |
точка изображения ац |
только тогда находится на |
189
Рис. 3.9. Блок-схема моделирования полудискового анализатора изображения