книги / Современные методы анализа электрических систем
..pdfТеорему 2-4,6 легко понять без доказательства. Из нее следует, что
p (Q a )> n -l. |
(2-И) |
Правильность теоремы 2-4,в легко |
проверить по |
рис. 2-16 посредством рассуждений, аналогичных приве денным при доказательстве теоремы 2-3,а. Как и при до казательстве теоремы 2-3,6, исходя из выражений (2-10), можно получить, что
p(Q «X«-l. |
(2-12) |
Из сопоставления выражений (2-11), |
(2-12) следует: |
2-4,г. Теорема. Ранг матрицы сечений равен числу |
|
независимых узлов: |
|
Р (Qa) = ti 1. |
(2-13) |
Этим доказана также теорема 2-4,а, поскольку ранг матрицы Q также равен п—1.
Из выражения (2-9) видно, что базисную матрицу сечений можно образовать из матрицы соединений:
Q = A7’A. |
(2-14) |
В самом деле из уравнения (2-10)
'«'■ ч Ц Н
Отсюда получаем
В/ = — Q V |
(2-15) |
Теперь, учитывая соотношение (2-8), имеем:
Q = [I, Qft] = [I, —В*/] = [I, A~’A/,] =
= А7’ [А/, А/,] = А^1А?
2-5. СВОДКА СООТНОШЕНИЙ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ГРАФА
а) Граф можно характеризовать основной матрице соединений А, базисной матрицей контуров В или базис ной матрицей сечений Q (любой из них). Эти матрицы
можно представить следующим |
образом: |
А = [А/, АЛ];Ч В =[В ,, |
I]; Q = [l, Qh). |
41
б) |
Существуют следующие зависимости между прив |
|
денными матричными блоками: |
||
|
В*/ = — |
|
|
B/ = |
Q \; |
|
Q = |
А“ 'А; |
|
Qfc = |
-B * ,; |
|
Ah = - A ,B * f; |
|
|
А = |
A/Q. |
Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
3-1. УРАВНЕНИЯ КИРХГОФА
Электрическую сеть можно рассматривать как на правленный линейный граф, в котором связь между то ками и напряжениями отдельных ветвей определяется первым и вторым законами Кирхгофа и обобщенным законом Ома.
Введем векторы (столбцовые матрицы) токов и на пряжений ветвей:
ii и,
ии2
• , u = •
••
_ _
где ij и (/=1, 2, ..., т) — соответственно ток и на пряжение ветви /.
Первый закон Кирхгофа можно записать следующим образом:
или
42
Согласно теоремам 2-2,а и 2-4,г
р(А0) = p (Q o )-n —1,
поэтому достаточно написать только следующие уравне ния:
А1=0; |
(3-1) |
Q t=0. |
(3-2) |
Второй закон Кирхгофа: Bflu = 0.
Согласно теореме 2-3,6 р(Ва)=р,
поэтому достаточно написать матричное уравнение
|
Ви = 0. |
(3-3) |
З а д а ю щ и м и |
называются токи, |
поступающие из |
вне в отдельные |
узловые точки. Из |
матрицы соедине |
ний А0 будем опускать первую строку, принимая первый узел за базисный. Обозначим вектор задающих токов
I е2
*С5
_ 1с п _
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме при мет вид:
—ic=Ai. |
(3-4) |
Обозначим ис — вектор н а п р я ж е н и й |
узлов, эле |
ментами которого являются напряжения узловых точек
2, 3, |
п относительно базисного узла 1. |
|
На |
основании выражений (2-5) |
ВА*=0. Уравнение |
(3-3) удовлетворяется в том случае, если |
||
|
u = A*uc. |
(3-5) |
Это соотношение указывает, что напряжение ветви определяется разностью напряжений двух узловых то чек, которым отвечают ненулевые элементы соответст вующего столбца матрицы соединений [Л. 40]. Поэтому столбцы матрицы А при умножении слева на ис сле дует заменить строками, следовательно, вектор напря жений ветвей и следует определять из вектора напря
43
жений узлов с помощью транспонированной матрицы соединений А, т. е. с помощью матрицы А*.
Н а п р я ж е н и я в е т в е й можно определить и по напряжениям сечений. В этом случае следует восполь зоваться зависимостями (2-10):
U = Q *U q, |
(3-6) |
где uQ — вектор н а п р я ж е н и й б а з и с н о г о |
с е ч е |
ния. Естественно, такое же выражение можно написать и для другого сечения порядка п—1. Базисное сечение было взято лишь для упрощения. В этом случае напря жения сечений определяют напряжения ветвей дерева
uQ= u/, |
(3-7) |
так как первый блок матрицы Q является единичной матрицей.
Э л е к т р о д в и ж у щ и е с илы ( конт уров можно определить по э. д. с. отдельных 'ветвей. Пусть вектор э. д. с. ветвей будет:
v2
V т
Если ветвь не содержит э. д. с., то соответствующая компонента этого вектора равна нулю. Э. д. с. каждого контура определяется:
Vh= Hv. |
(3-8) |
На основании (2-5) к о н т у р н ы е токи |
можно |
определить с помощью зависимости АВ* = 0. Уравнение (3-1) удовлетворяется только в том случае, если
|
1 = В*1Л, |
|
(3-9) |
где \h — вектор |
контурных токов, |
элементами которого |
|
являются токи |
независимых контуров (обычно |
базис |
|
ных). Зависимость (3-9) можно |
получить также |
с по |
мощью матрицы контуров [Л. 40]. По ненулевым эле ментам фиксированного столбца матрицы В, которому соответствует некоторая ветвь сети, можно определить, какие контуры замыкаются через даннную ветвь, а так же направления относительно ветви отдельных контур ных токов.
44
3-2. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ОМА |
|
|
|
Обобщенный закон Ома для ветвей |
линейной |
сети |
|
в переходном процессе имеет вид: |
|
|
|
u = |
t |
vc (0), |
(3-10) |
L ^ - i + Ri + F j i d f + v + |
|||
|
о |
|
|
где элементами симметричной матрицы L являются ко |
|||
эффициенты |
самоиндукции ветвей и |
взаимоиндукции |
между ними (главные миноры матрицы, образованные из ненулевых элементов, положительны);
элементами диагональной матрицы R являются со противления отдельных ветвей;
элементами диагональной матрицы F являются об ратные значения емкостей ветвей; если ветвь не содер жит емкости, то соответствующий элемент матрицы ра вен нулю;
vc (0) — вектор, образованный из напряжений кон денсаторов в момент времени ^ = 0.
В матричном интегро-дифференциальном уравнении (3-10) элементы матриц L, R и F не зависят от векто ров и и i, поскольку сеть линейна. В дальнейшем будет также считаться, что элементы этих матриц постоянны во времени.
3-2,а. Пример. Обобщенный закон Ома для сети, приведенной на рис. 1-3, в матричной форме можно за писать так:
К1 |
0 0 0 |
d |
"1 |
|
|
0 0 |
■ ' i1 ‘ |
|
+ |
|
|
||||||
И2 |
О Z-2 0 |
~dt |
0 R, 0 |
h |
||||
- «3 . |
0 |
0 0 |
|
.0 |
0 |
R, |
. h m |
|
Fi 0 0 |
t |
h |
|
- 0 |
■ |
r*c(°) 1 |
||
+ 0 0 0 |
Jf |
h |
dt-\- |
0 + |
|
0 |
||
0 |
0 0 |
0 |
|
- y3 . |
|
0 |
Переходный процесс можно выразить и в оператор ной форме (см. § 1-5; здесь изображение переменных по
Лапласу обозначено знаком ~ ) : |
|
и (5 ) = Z (s) i (s) — Li (0) + v (s) + -i- vc (0), |
(3-11) |
где |
|
Z (s)= sL + R + ^ - F . |
(3-12) |
45
Для установившегося режима при комплексной форме записи (см. гл. 1) матрица полных сопротивле ний ветвей будет:
Z = |
/toL —f- R— jj- F. |
(3-13) |
Зависимость между напряжениями и токами ветвей: |
|
|
u = Z i-(- v + vc (0). |
(3-14) |
|
Матрица |
Y — Z~l |
(3-15) |
|
||
называется матрицей |
проводимостей ветвей. |
|
Из уравнения (3-14) получаем: |
|
|
i = |
Yu — Yv — Yvc (0). |
(3-16) |
Если между ветвями нет взаимной индукции, то матри ца L, так же как и матрицы Y и Z, будет диагональной, следовательно, обращение (3-15) легко выполнить. В дальнейшем мы не будем учитывать начальные на пряжения на емкости Vc(0); в тех случаях, когда это напряжение необходимо учесть, это специально будет оговорено (например, при рассмотрении переходных про цессов в обмотке трансформатора (§ 11-3)].
3-3. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ИСТОЧНИКИ ТОКА
Если имеются источники тока, а источники напряже ния отсутствуют, то
v = 0.
Чтобы упростить рассмотрение вопроса, все элемен ты в дальнейшем будут представлены для установив шегося режима; для переходных процессов следует рас сматривать уравнения в операторной форме (3-11).
Р а д и а л ь н а я сеть образует дерево. Для такой се ти по задающим токам можно непосредственно рассчи тать токи ветвей с помощью матрицы соединений А/. Ввиду того, что А/ неособенная,
f= - A |
7 'l c. |
(3-17) |
В сети, с о д е р ж а щ е й |
к о н т у р ы , |
при наличии |
источников тока целесообразно исходить из 'матрицы со единений или из матрицы сечений.
46
3-3,а. Применение матрицы соединений целесообраз но в том случае, когда источники тока присоединены к узловым точкам. На основании выражений (3-4) и (3-16)
—ic=AYu.
Подставив сюда выражение (3-5), получаем:
—ic=AYA*uc. (3-18)
Введем обозначение:
YC=AYA*. (3-19)
Эту матрицу называют матрицей узловых проводимо стей. Соотношение (3-19) показывает, что матрица узло вых проводимостей определяется контрвариантным пре образованием матрицы проводимостей ветвей [Л. 22, 23, 41]. Поэтому обобщенный закон Ома для узловых вели чин будет иметь вид:
—ic = Ycuc. |
(3-20) |
Вектор токов ветвей из выражений (3-16) и (3-5) будет:
i = Yu = YA*uc.
Вектор ис получается в результате решения уравнения (3-20). Имея в виду, что матрица Y~‘ определяется как
обратная к матрице Yc (см. гл. 5), из выражения (3-20) получаем:
i = — YA*Y“ ‘ ic. |
(3-21) |
3-3,6. Применение матрицы сечений целесообразно, если все источники тока включены в ветви, а задающие токи равны нулю:
1С= 0.
Дерево сети целесообразно выбрать так, чтобы ис точники тока были контурными ветвями (далее обозна чаются индексом 1; остальные ветви обозначаются ин дексом 2). Предположим, что между блоком, соответст вующим ветвям дерева, и блоком, соответствующим контурным ветвям, обозначенными индексами 1 и 2, нет индуктивной связи. Матрицу сечений представим сле дующим образом:
Q =[l|Q i, СЬ].
Преобразуя уравнение (3-2) так, чтобы известный век тор тока it, соответствующий токам источников, был рас
47
положен справа, получаем: |
|
1/+СЫ2= —Qih- |
(3-22) |
Для ветвей с индексом 2 |
|
i2 = Y22ll2, |
(3-23) |
так как у этих ветвей нет индуктивной связи с другими ветвями.
На основании выражений (3-6) и (3-7) получаем:
u2=Q*2UQ= Q*2U/. |
(3-24) |
С учетом (3-23) и (3-24) выражение (3-22) можно записать так:
»/+ Q,YslQ*Iu/ = - Q * 1i1.
Поскольку согласно предположению у ветвей дерева нет индуктивной связи с ветвями контуров, можно написать:
u/= z //5/- |
|
Подставив это выражение в предыдущее |
матричное |
уравнение, получим после преобразования: |
|
- ! / = (! + Q.Y..QVW)-1Q.'Y |
(3-25) |
Далее из выражений (3-23) и (3-24) получаем: |
|
Ь — Yi2Q*2Zyyiy. |
(3-26) |
Эту зависимость можно использовать также и при наличии задающих токов в узлах. В этом случае сеть необходимо дополнить ветвями между узлами с задаю щими токами и базисной точкой.
3-4. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ТОЛЬКО ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ
В этом случае
ic = 0.
Здесь целесообразно применять матрицу контуров, исходя из выражения, полученного подстановкой (3-3) и (3-8) в (3-14):
—v ^B Z i.
Подставив сюда равенство (3-9), получаем |
контур |
ные уравнения: |
|
—vfc = BZB*ift. |
(3-27) |
48
Матрицу
Zft= BZB* |
(3-28) |
называют матрицей контурных сопротивлений. Согласно (3-28) эта матрица определяется контрвариантным пре образованием матрицы сопротивлений ветвей. Поэтому обобщенный закон Ома для контуров в матричной фор ме будет иметь вид:
—v/i= Z/,i;v. |
(3-29) |
Вектор токов ветвей определяется из |
выражений |
(3-9) и (3-29): |
|
i = B xz ; V |
(з-зо) |
Контурные уравнения можно использовать также для решения задачи, изложенной в разд. 3-3,6. Пусть в не которых ветвях имеются источники тока. Будем исхо дить из базисных контуров, полагая, что заданные токи относятся лишь к ветвям контуров; обозначим их индек сом 2. Контурные ветви с неизвестными токами обозна чим индексом 1. Группируя в соответствии с этими обо значениями контурные уравнения (3-29), запишем:
Г Z/m |
Z/U21 |
Г i/i1 I____ Г Vhi 1 |
|
L Z/i21 |
Z/122 J |
L i/12 J |
L VЛ2 J |
В соответствии с принятой группировкой
VM = 0.
Токи ih2 известны, поэтому
*hi= ZftiiZ/ll2ih2.
С учетом выражения (3-9) вектор токов ветвей будет:
|
L h \\ |
Z/ij |
|
В* |
- 7 ~ 1 |
1^2* |
(3-31) |
|
Сравним эту зависимость с уравнениями (3-25) и (3-26). В уравнении (3-25) фигурирует обратная матри ца порядка п—1, а в уравнении (3-31) обратная матри ца имеет порядок р= т —п + 1. Более удобным является то выражение, для которого порядок обращаемой мат рицы меньше. Часто дипломатическое число \х меньше п—1, поэтому целесообразно пользоваться уравнением (3-31). Это уравнение можно использовать и при нали чии задающих токов, если заменить последние соответ ствующими (содержащими идеальный источник тока) контурными ветвями,
49
В сети, не содержащей задающих токов, только кон туры могут образовать цепь тока, поэтому источник то ка можно размещать только в ветвях контуров. Для ра зомкнутой токовой цепи, содержащей источник тока, решения не существует. С другой стороны, для контура невозможно наперед задать напряжения всех ветвей. Источники напряжения следует соответственно этому размещать в дереве.
3-5. РАСЧЕТ РЕЖИМА СЕТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ ИСТОЧНИКИ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ
Источники тока и напряжения должны быть идеаль ными активными ветвями (не должны обладать сопро тивлением, индуктивностью и емкостью). Задающих то ков нет, вернее, эти токи отображаются отдельными контурными ветвями, подключенными между узловыми и базисной точками. Ветви дерева, содержащие источ ники напряжения, обозначим индексом 1, ветви конту ров, содержащие источники тока, — индексом 3, осталь ные ветви дерева и контуров обозначим индексом 2. Уравнения (3-1), (3-3) и (3-14) можно записать в сле дующей гиперматричной форме:
Ai |
А2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
N 1 |
0 |
0 |
ем
Аз 0 0 0 0 Bi В2 Вз 0 I 0 0 0 0 I 0
0 0 0 I
— — |
— |
— |
|
|
0 |
| 2 |
|
0 |
*3 = |
|
I |
«1 |
“ |
UCo ~ WLo |
щ |
|
|
113 |
|
V3 |
Введем следующие обозначения для известных век торов напряжения и тока:
V g = v b ig = i3.
Тогда исходное уравнение примет вид:
А, |
А2 |
0 0 |
|
0 |
|
0 |
В2 Вз |
_ 0 |
1 |
N |
0 |
|
смсм |
|
1, |
—Ajig |
|
и |
—B,vg |
(3-32) |
щ |
s uCo ^io |
|
Из |
|
В этой системе матричных уравнений заданными явля ются: v g, fg\ неизвестными — u3, u3, ii, i%. Пусть число ис
50